《电力系统分析》课件-第4章 电力系统潮流的计算机算法

12025/8/22第4章电力系统潮流的计算机算法4.1电力网的数学模型4.3牛顿—拉夫逊法潮流计算4.2功率方程及节点分类4.4P-Q分解法潮流计算4.5潮流计算MATLAB程序实现122025/8/224.1电力网络的数学模型用计算机进行潮流计算的步骤：建立电力网的数学模型；确定求解数学模型的计算方法；制定计算流程图；编制计算程序；上机调试及运算。对潮流计算方法的要求：计算速度快，内存需要小，适应性好（即能处理变压器变比调整、系统元件的不同描述、与其他程序配合的能力强），简单。232025/8/221.节点导纳矩阵的节点电压方程

一、节点电压方程其矩阵形式为：节点注入电流列向量节点导纳矩阵说明：节点注入电流为各节点电源电流与负荷电流之和，且规定流入节点为正，流出节点为负。节点电压列向量342025/8/22节点导纳矩阵的物理意义：YB阵的第i列元素等于在第i节点上加单位电压，其余节点全部接地时，在各节点产生的节点注入电流。自导纳Yii：等于节点i加单位电压，其余节点全部接地时，从节点i注入网络的电流，即

显然，它应等于连到i节点的各支路导纳之和，即：节点i的对地导纳452025/8/22

此时，节点j的电流实际上是从网络流出（即注入大地），所以它应等于i、j节点之间支路导纳的负值，即当节点i与节点j之间无之路连接时，互导纳Yji：等于节点i加单位电压，其余节点全部接地时，从节点j注入网络的电流，即

显然有对称矩阵稀疏矩阵562025/8/22矩阵形式：

2.节点阻抗矩阵的节点电压方程将左乘得：节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵的物理意义：ZB阵的第i列元素等于在i节点注入单位电流，其它节点全部开路（注入电流为零）时，在各个节点产生的电压值。672025/8/22自阻抗Zii：等于在i节点注入单位电流，其它节点的注入电流为零时，节点i的电压值，即互阻抗Zji：等于i节点注入单位电流，其它节点的注入电流为零时，节点j的电压值，即Zii实际上是从节点i向整个网络看进去对地等值阻抗。注意：由于网络中各节点之间总是有相互电磁联系的，因此当节点i注入单位电流，而其它节点开路时，所有节点电压都不为零，即。且有对称矩阵满矩阵782025/8/22二、节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵为阶复数方阵，其阶数等于电力网络中除参考点以外的节点数；节点导纳矩阵的对角元素（自导纳）等于相应节点所连支路的导纳之和，非对角元素Yij（互导纳）等于节点i

和j之间支路导纳的负值，即节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非对角非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数；892025/8/22节点导纳矩阵是对称矩阵，通常只存储其上三角或下三角元素，又因是稀疏矩阵，甚至可以只存储其中的非零元素；对网络中的变压器支路，采用计及非标准变比时以导纳表示的等值电路代替。

在实际程序中，往往直接计算变压器支路对节点导纳矩阵的影响，即当新接入非标准变比的变压器支路i、j时，对原来的节点导纳矩阵修正如下：图4-1变压器的π型等值电路9102025/8/22增加非零非对角元素（i、j之间的互导纳）为：节点i的自导纳，增加一个改变量为：节点j的自导纳，增加一个改变量为：返回图4-110112025/8/22

三、节点导纳矩阵的修改从原有网络中引出一条新的支路，同时增加一个新的节点j（见图4-2a），则导纳矩阵增加一阶，且图4-2电力网络接线改变示意图a）增加支路和节点；b）增加支路；c）切除支路；d）改变支路参数原来的自导纳自导纳的增量11122025/8/22在原有网络节点i和j之间增加一条支路（见图4-2b），节点导纳矩阵的阶数不变，各元素修正为：在原有网络节点i和j之间切除一条导纳为yij的支路：相当于增加一条导纳为-yij的支路（见图4-2c），则各元素修正为：原有网络i和j之间的导纳由yij改变为：相当于在节点i和j之间切除导纳为yij的支路，并增加导纳为的支路（见图4-2d）。各元素修正为：12132025/8/22原有网络节点i和j之间的变压器变比由K

变为:相当于在节点i和j之间切除一变比为K的变压器并增加一变比为的变压器支路，各元素修正为：图4-3改变变压器支路用图4-1等效13142025/8/22

【例4-1】（P63）求图4-4所示网络的节点导纳矩阵。图4-45节点电力系统接线图14152025/8/22解：

以节点2为例，导纳矩阵中各元素为152025/8/22162025/8/224.2功率方程及节点分类

一、功率方程由节点电压方程可得节点i的注入电流为根据因此或写成功率方程162025/8/22172025/8/22若，，则功率方程为直角坐标形式的功率方程若，则功率方程为极坐标形式的功率方程其中，为i、j节点电压的相角差。17182025/8/22

二、节点分类

对n个节点的电力系统，每个节点都有4个运行变量（Pi

、Qi

、Ui

、δi

或Pi

、Qi

、ei

、fi)，因此全系统共有4n个变量。功率方程只有2n个，所以每个节点的4个变量中，一般给定两个，求解另外两个。PQ节点：已知节点注入功率Pi和Qi，待求节点电压幅值Ui和相角δi

。系统中大部分节点都属于这一类型。PV节点：已知Pi和Ui

，待求Qi和角δi。这类节点必须有足够的可调无功电源以维持给定的节点电压幅值（又称电压控制点）。系统中这一类节点的数目很少，甚至可有可无。18192025/8/22平衡节点（Vδ节点）：已知Ui和δi

，待求Pi和Qi

。平衡节点在潮流计算结束后担当功率平衡的任务，一般将平衡节点和电压基准节点合选成一个节点，通常取。这类节点必不可少，且只设一个。必须指出：这三类节点的划分并不是绝对不变的。当PV节点的无功功率出力达到其可调无功功率出力的上限或下限时，就不能再使电压保持在设定值，此时PV节点将转化成PQ节点。三、潮流计算的约束条件电压数值的约束：为保证供电电压质量，各节点电压都应满足：19202025/8/22发电机输出功率的约束：发电设备都有最小功率和额定功率的限制，运行中电源发出的功率应满足：电压相角的约束条件：为保证系统运行的稳定性，系统中任意两个节点之间的相位差应满足：20212025/8/224.3牛顿-拉夫逊法潮流计算

一、牛顿-拉夫逊法的基本原理

用泰勒级数在附近展开：

设是一维非线性方程的初值，它与真实解的偏差为。其真实解为，所以原非线性方程可表示为修正量21222025/8/22

忽略二次项及以上的高次项，则可简化为：∴则一次近似解为：不断进行上述迭代，第k+1次的修正方程为：——修正方程

它与真实解的偏差为。因此其真实解又可表示成22232025/8/22修正量为：近似解为：迭代过程的收敛判据：＜＜或

若不等式满足要求，迭代收敛，即可用得到的近似解作为真实解。（、为预先规定的任意小数）牛顿—拉夫逊法可用几何图形做如下解释：23242025/8/22

可见，牛顿—拉夫逊法是用切线来寻找真实解的，因此又叫切线法。下一步迭代第k+1步迭代24252025/8/22将牛顿—拉夫逊法推广到多变量非线性方程：

设各变量的初值为，各变量的修正量分别为，则原非线性方程组可表示为25262025/8/22求出修正量，则可得到新的近似解为：雅可比矩阵

将这n个方程都用泰勒级数在初始值附近展开，并忽略二次项及以上的高次项，则有26272025/8/22第k+1次迭代求出的解为：或缩写成

第k+1次迭代时的修正方程为：雅可比矩阵27282025/8/22迭代收敛条件：若任一不等式成立，则就是方程组的解。＜

【课堂练习】

用牛顿法求解非线性方程组:

解：

（设初值）或28292025/8/22

第1次迭代（k=0）：

第1次迭代时的修正方程为：29302025/8/22即有第1次迭代的结果是：

第2次迭代（k=1）：

第2次迭代时的修正方程为：30312025/8/22即有第2次迭代结果是：依次类推，可求得第3次迭代的结果是：31322025/8/22二、牛顿-拉夫逊法潮流计算直角坐标系下的牛顿-拉夫逊法潮流计算

当两次迭代之间的解的差值小于（如取）时停止迭代。（真解为）直角坐标形式的功率方程可改写为由4.2节，功率方程可改写功率误差方程32332025/8/22对PQ节点，给定Pis和Qis，功率方程写成如下形式：即把潮流问题叙述为：对于给定的Pis、Qis，找出一组电压相量ei、fi，使按上式得到的功率误差在允许的范围之内。

设系统中n有个节点，其中m个是PQ节点，n-(m+1)个是PV节点，1个是平衡节点（节点n），则总的有功方程为n-1个，无功方程为m个，电压方程为n-(m+1)个，总方程数为2(n-1)个。33342025/8/22

设电压初值为，对应的修正量为，则，代入上式中，在初值附近展开，并忽略二次以上高次项，得到修正方程为：对PV节点，给定Pis和Uis

，功率方程写成如下形式：电压误差方程34352025/8/2235362025/8/22当时，雅可比矩阵中的非对角元素为：当时，雅可比矩阵中的对角元素为：36372025/8/2237382025/8/22雅可比矩阵具有以下特点：雅可比矩阵中的各元素都是节点电压的函数，因此，在迭代过程中，它们将随着节点电压的变化而不断改变，即每迭代一次，雅可比矩阵中的各元素要改变一次。雅可比矩阵不是对称矩阵。当导纳矩阵中的非对角元素时，雅可比矩阵中与之相对应的非对角元素也为零，且因此，雅可比矩阵是非常稀疏的。38392025/8/22牛顿—拉夫逊法潮流计算的步骤输入原始数据：各支路导纳；所有节点的有功注入功率；PQ节点的无功注入功率；PV节点的电压幅值；节点功率范围（约束条件）；平衡节点电压等。形成节点导纳矩阵。给定各节点电压初值和。求雅可比矩阵中的各元素。求解修正方程，求出各节点电压的修正量。将各节点电压初值代公式中，求出修正方程中各节点功率和节点电压的偏移量。置迭代次数k=0。39402025/8/22检查是否收敛，收敛条件为：

若不收敛，返回到第5步重新迭代；若收敛，转下一步。求平衡节点的功率及各支路的功率分布。求节点电压新值：将i=n代入功率方程得：因假设节点n为平衡节点平衡节点注入功率40412025/8/22各条线路上流动的功率为：各段线路上的功率损耗为：图4-6线路功率计算

牛顿—拉夫逊法潮流计算的框图。41422025/8/22输入原始数据形成节点导纳矩阵按公式计算雅可比矩阵各元素计算平衡节点功率及全部线路功率输出

给定节点电压初值

用公式计算

解修正方程式，求是否启动42432025/8/22牛顿—拉夫逊法潮流计算的几点说明：牛顿法对初值要求较高，若初值和真实解相差较大，可能会不收敛。常取对PV节点，迭代过程中要监视其无功功率。若越限，即或

说明PV节点转换成了PQ节点，则以后的迭代应按PQ节点进行。

牛顿法具有平方收敛特性，越接近真值其收敛速度越快。（一般迭代5~6次即可）43442025/8/22极坐标形式的功率方程可改写为即把潮流问题叙述为：对于给定的Pis、Qis，找出一组电压相量Ui、，使按上式得到的功率误差在允许的范围之内。对PQ节点，给定Pis和Qis，功率方程写成如下形式：极坐标系下的牛顿-拉夫逊法潮流计算44452025/8/22

修正方程为：

设n节点系统中有m个PQ节点，n-(m+1)个PV节点，节点n

是平衡节点，则有n-1个有功方程，m个无功方程，总方程数为n+m-1个。比直角坐标少2(n-1)-(n+m-1)=n-m-1个。对PV节点，给定Pis和Uis，仅有有功功率误差方程。45462025/8/22

简写为H是(n-1)×(n-1)阶方阵；N是(n-1)×m

阶矩阵；J是m×(n-1)阶矩阵；L是m×m阶方阵。当时，雅可比矩阵中的非对角元素为：46472025/8/22当时，雅可比矩阵中的对角元素为：计算步骤及框图与直角坐标形式相似。注意：计算过程中当PV节点因无功功率越限而转化成PQ节点时，修正方程式需增加一个对应于该节点的无功功率误差方程。47482025/8/22【例4-2】（P75）用直角坐标形式的牛顿法计算潮流分布。图4-8例4-2图解：计算步骤及结果见教材（P75-76）。48492025/8/224.4P-Q分解法潮流计算

P-Q分解法又叫改进牛顿法，是以极坐标表示的牛顿-拉夫逊法潮流修正方程的基础上提出来的。牛顿-拉夫逊法的缺点：雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，计算速度慢。P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，使有功功率和无功功率的迭代计算分开进行。49502025/8/22一、P-Q分解法的修正方程极坐标形式的牛顿-拉夫逊法修正方程展开为：简化一：由于各元件的电抗远大于电阻，以致使系统中有功功率分布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所以可忽略电压幅值变化对有功功率的影响和电压相位变化对无功功率分布的影响，即将修正方程式中的子阵N和J略去不计：使P、Q分解开50512025/8/22简化二：电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化不大（小于），再计及Gij<<Bij，因此则有

简化三：在Hii和Lii表达式中的项应为各元件电抗远大于电阻的前提下，除节点i以外其他节点都接地时，由节点i注入的无功功率，该功率远大于正常运行时节点i的注入的无功功率Qi，即：

因此有51522025/8/22

经以上简化，雅可比矩阵两个子阵H、L中的元素具有相同的表达式，但阶数不同。52532025/8/22修正方程变为：以上两式等号两边均左乘矩阵：得：53542025/8/22说明：为电纳矩阵，由节点导纳矩阵的虚部构成，是对称、稀疏的常数矩阵，在迭代过程中保持不变。

为n-1阶，不含平衡节点对应的行和列，

为m阶，不含平衡节点和PV节点所对应的行和列。或缩写为P-Q分解法的修正方程54552025/8/22二、P-Q分解法潮流计算的步骤和特点

P-Q分解法潮流计算的步骤形成系数矩阵；设各节点电压初值，计算有功功率不平衡量，并求出；解修正方程，求各节点电压相位的变量；修正各点电压相位角，得新值

；计算各PQ节点无功功率不平衡量,并求；解修正方程，求PQ节点电压幅值的变量；修正PQ节点电压幅值，得新值

；55562025/8/22用各节点电压的新值自第3步开始进入下一次迭代，直到各节点功率误差满足收敛条件；若收敛，转下一步计算；计算平衡节点的功率及各支路的功率分布。PQ分解法潮流计算框图如图4-9所示（见教材P80）。图中

分别为有功、无功功率迭代状态的标志。

（收敛时，置0；未收敛时，置1。）作用：

保证在和两个收敛条件相继都得到满足时，才开始计算平衡节点功率和线路功率。56572025/8/22

P-Q分解法潮流计算的特点方程P-Q解耦后，将高阶问题变成两个低阶问题，提高了计算速度，降低了对计算机存贮容量的要求