15.3 角的平分线 教案 沪科版数学八年级上册

15.3角的平分线1.认识角平分线的性质定理和它的逆定理的区别，分清它们的题设和结论.2.理解角平分线的性质定理和它的逆定理.3.掌握角平分线的性质定理和它的逆定理的证明，并能利用它们证明两个角相等和两条线段相等.1.角平分线的性质定理.2.角平分线的判定及应用.1.角的平分线：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.2.尺规作图：几何中，只用没有刻度的直尺和圆规来作图，这种作图的方法叫作尺规作图.3.线段垂直平分线的性质与判定：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.知识点一作已知角的平分线1.先用量角器量出已知角的度数，然后计算出这个角的一半是多少，最后借助量角器画出这个角的平分线.2.折叠法：在半透明的纸上任意画一个角，再对折使角的两边重合，然后以角的顶点为端点，在角的内部沿折线画一条射线，这条射线即为这个角的平分线.3.尺规作图法：（1）以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；（2）分别以这两点为圆心，大于连接这两点的线段长的12长度为半径在角的内部画弧，两弧交于一点；（3）以角的顶点为端点，过两弧的交点画射线，则所画射线即为这个角的平分线特别提示：（1）折叠法的理论依据：角是轴对称图形，角的平分线所在直线是它的对称轴.（2）尺规作图中，以“大于连接这两点的线段长的12长度为半径”画弧，是为了使所作的两条弧有交点（3）在角的外部也有交点，若如此，则作出的是一条过点O的直线，其中在角内部的部分（射线）才是所求作的.为了简明起见，这里明确在角的内部画交点.【例1】“关爱环卫工，共建休息点”，某爱心企业决定在马路AB边上为环卫工人修建一个休息室D.如图，已知休息室D在马路AC和马路BC夹角∠ACB的平分线上.请在图中作出修建该休息室D的具体位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.【解析】根据作角平分线的步骤解题即可.【解】如图，点D即为该休息室的具体位置.知识点二角的平分线的性质角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图所示，若点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，则PD＝PE.特别提示：（1）定理的证明，要先分清条件部分及结论部分.条件：点在角平分线上、点到角两边的距离；结论：距离相等.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题（定理）的几个基本步骤.（2）该定理的功能是产生相等线段.在具体应用角平分线性质解题时，应注意合理表述，不要漏写点到角两边的距离的条件.若图中没有点到角的两边的垂线段，则需要作出点到角的两边的垂线段.性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长度，而不是过点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线与角两边相交所得的线段的长度.【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝3cm，则点D到AB的距离是（）A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm【解析】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E.∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD.∵CD＝3cm，∴DE＝3cm.【答案】C【迷津指点】本题主要考查角平分线的性质.作出辅助线是正确解答本题的关键.知识点三角平分线的性质定理的逆定理逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.特别提示：（1）角平分线性质定理的逆定理即角平分线的判定定理，其实质是在角的内部凡满足到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上.（2）逆定理的作用：通过线段相等证明角相等.【例3】如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，且OB＝OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.【解析】要证点O在∠BAC的平分线上，只要证OD＝OE即可，为此需要先证明△BOD≌△COE.【解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°.又∵OB＝OC，∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴点O在∠BAC的平分线上.【迷津指点】应用角平分线的判定定理可以证明某个点在某个角的平分线上或证明两个角相等.知识点四三角形三条内角平分线的交点三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.特别提示：（1）证明三条直线交于一点，常先找到其中两条直线的交点，再证明第三条直线也通过该点即可.（2）推论的作用：可以用来找到三角形内到三角形三边距离相等的点.【例4】如图所示，直线l，l'，l″表示三条相互交叉的公路.现计划建一个加油站，要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处 B.二处C.三处 D.四处【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等作出图形即可得解.如图所示，加油站的地址有四处.【答案】D【迷津指点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.【例1】下列说法错误的是（）（1）把一个角分成两部分的一条射线叫作角的平分线；（2）与一个角两边上的点距离相等的点在这个角的平分线上；（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；（4）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2）（4） D.（3）（4）【解析】根据角平分线的定义可知，只有把角分成相等的两部分的射线才是角的平分线，故（1）错误；（2）中所述“距离相等”指的是两点之间的距离，而角平分线的性质定理中指的是角平分线上的点到角两边的距离，故（2）错误；由性质定理易知（3）正确；由角平分线的判定定理可知（4）正确.【答案】A【迷津指点】角平分线性质定理中的“距离相等”指的是角平分线上的点与角两边之间的距离，不能理解为两点之间或角两边上的点与角平分线之间的距离.【例2】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E.若BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A.10 B.7C.5 D.4【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F.根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，故△BCE的面积等于12BC·EF＝12×5×2＝【答案】C【例3】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请说明理由.【解析】要判定AM是否平分∠BAD，思路有两种：一是判断∠DAM＝∠BAM是否成立；二是过点M作ME⊥AD于点E，判断ME＝MB是否成立.【解】AM平分∠DAB.理由如下：如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E.∵∠1＝∠2，MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC.又∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴ME＝MB.∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠BAD.【迷津指点】要证明角平分线，一般要结合图形，灵活选择证明方法.例如本题中通过证明MB＝ME，依据角平分线的性质定理的逆定理作出判断.【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，P是∠BAC，∠ABC的平分线的交点.试求点P到AB边的距离.【解析】由条件易求出△ABC的面积.根据题意可知，点P到△ABC的三边的距离相等，连接PC将△ABC分割成三个小三角形，再利用S△ABC＝S△APC＋S△BPC＋S△APB可求点P到AB边的距离.【解】如图，连接PC.∵P是∠BAC，∠ABC的平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等.设点P到△ABC三边的距离为h，则S△ABC＝S△APC＋S△BPC＋S△APB＝12AC·h＋12BC·h＋12AB·h＝12BC·AC，即12×（4＋3＋5）h＝1∴h＝1，即点P到AB边的距离为1.【迷津指点】求三角形的角平分线到三边的距离的方法：三角形角平分线的交点与三角形三个顶点的连线，把原三角形分割成三个小三角形，利用小三角形面积之和等于原三角形的面积列式，是求角平分线交点到三边距离的常用方法.【例5】如图，要在A区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处600m远.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶30000）？【解析】要使集贸市场到相交铁路和公路的距离相等，市场应建在铁路和公路的角平分线上.【解】这个集贸市场应建在铁路和公路夹角的平分线上，且距交叉处600m远的地方.如图，OB为公路与铁路夹角的平分线，且OC＝600×10030000＝2（cm），点C即为集贸市场所在地【迷津指点】可以把交叉的公路和铁路看作两条直线，集贸市场的位置看作一点，转化为求作一点，使它到角两边距离相等，且到角顶点的距离为600m这样一个几何问题.【例6】育新中学校园内有一块直角三角形（Rt△ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20m，AC＝10m.求一串红与鸡冠花两种花草分别种植的面积（提示：利用角平分线的性质）.【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F.根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，再根据△ABC的面积求出DE，最后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解.【解】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC