沪科版九年级上册数学 二次函数中的存在性问题考点题型专项突破练习（含详解）

二次函数中的存在性问题考点题型专项训练【题型1二次函数中面积问题的存在性问题】【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0,−3，−b,c两点，其中a(1)求a，c的值；(2)若该二次函数的最小值是−4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使S△PCES△CBE【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B

(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+83x+c的图像与y轴交于点B(0，4)，与(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于52【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+m−12⋅x+m2m>0与x(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的215？若存在，请求出点P(3)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2二次函数中周长最值的存在性问题】【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点(1)求△ABC的面积；(2)直线y=2x−3与抛物线交于点C、D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？如果存在，请求出点P坐标；如不存在，请说明理由．【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD(1)求这条抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点P的坐标和△AMP面积的最大值．【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(1)求抛物线的解析式(2)①求出当−6≤x≤2时，y的最大值和最小值；②如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D，使△DMF【题型3二次函数中全等三角形的存在性问题】【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P

(1)求点A、P的坐标；(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线L：y=x2+3x−4与y轴交于点A，抛物线L′与(1)求抛物线L′(2)O为坐标原点，点B是y轴正半轴上一点，OB=OA，点C是x轴负半轴上的动点，点P是第二象限抛物线L′上的动点，连接OP,BP,是否存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等？若存在，请求出点P【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于A−1,0，B两点，与

(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点Pm,n在抛物线上，当−1<m<3时，直接写出n(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l

(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．【题型4二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3，0)，B(1，0)(1)求抛物线的顶点坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M是线段OA上一动点（不与点O，A重合），连接AC，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，在点M的运动过程中，是否存在线段DE=CE？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线w:y=ax2+bx−3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C(1)求抛物线w的函数表达式；(2)连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线y=−x2+bx+c（b，c是常数）的顶点坐标为A(1,4)，与y(1)求b，c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，(1)求抛物线的解析式；(2)求△DBC的面积；(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型5二次函数中直角三角形的存在性问题】【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1，0和点B3，0(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，当点D在线段BC上时，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数为y2的图象上，同时二次函数y2(1)若二次函数y1=x2−2x−3(2)如图，已知二次函数y1=14(x+1)2−2的图象的顶点为M，点P是x轴正半轴上的一个动点，将二次函数y1的图象绕点P旋转①求二次函数y2②点Q为y轴上一点，是否存在一点Q，使得△MNQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点A−2,0，点B8,0，点C0,4，抛物线y=ax2+bx+c过A，(1)求抛物线的解析式；(2)若∠CAP=45°，求点P的坐标；(3)当∠CAP=45°时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使△PBM为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A−1，(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y=−x2+bx+c过点A和点C，与x(1)求这个二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴与直线AC交于点D，若P是直线AC上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求△PAD面积的最大值；(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，过动点D0,m作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线

(1)求抛物线的表达式；(2)求m的取值范围；(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点D，E．求证：△ACD≌△CBE；【类比迁移]（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为0,−4，点A的坐标为8,0，求B，D两点的坐标；【拓展延伸]（3）如图3，抛物线y=12x2−2x−6与x轴交于点A−2,0，点B6,0，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平分线交线段AC于点(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7二次函数中平行四边形的存在性问题】【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接BC、AC．已知A(−1,0)，B(5,0)(1)求抛物线的表达式；(2)已知点D为线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BD、CD．连接AD，分别交y轴与BC于点E、F．当四边形ABCD的面积最大时，求直线AD的表达式及此时△BEF的面积；(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形ABCD的面积最大时，抛物线的对称轴x=m上是否存在点Q，使得四边形CDPQ为平行四边形？若存在，请求出平行四边形CDPQ的面积；若不存在，请说明理由．【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,−5,C−4,0，以OC,OA为边作矩形OABC，点D−32,−5为边AB上一点，将△BCD(1)求经过O,D,C三点的抛物线的解析式；(2)求四边形CDEO的面积；(3)一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；(4)若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为A−2,0、B4,0，点C的坐标为0,6．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为m0<m<4(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形BOCD的面积最大时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型8二次函数中矩形的存在性问题】【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0),B(0,−3)两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N．设点P(1)分别求直线AB和这条抛物线的解析式；(2)若点P在第四象限，若PM=ON，求此时点P的坐标；(3)点C是平面直角坐标系中的一点，当点M在第四象限时，是否存在这样的点M，使得以A、C、B、M为顶点组成的以AB为边的矩形?若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−2a≠0交x轴于A−1，0、B(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−2a≠0向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线y=ax2+bx−4a≠0交x轴于点A4,0和点B

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值．(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足SΔRAC=(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【题型9二次函数中菱形的存在性问题】【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴负半轴上.(1)如图1，已知点O0,0，B−1,−1，C1,m在抛物线上y=ax2(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且AD∥x轴，是否存在四边形ABCD为菱形？请说明理由；(3)如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y=ax2（a为常数，且a<0）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y=12x2+2x−6与x轴交于A，B两点（点A在点B(1)求出直线AC，BC的函数表达式．(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点【变式9-3】（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于A−2,0、B4,0两点，与(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；②当CD=CE时，求CE的长．(3)过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型10二次函数中正方形的存在性问题】【例10】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线y=x2+2x−3的图像与坐标轴分别交于A、B、C三点，连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；(2)若点P为直线FM下方抛物线上动点，过点P作PQ∥y轴，交直线FM于点Q，当△PQM为直角三角形时，求点P的坐标；(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．【变式10-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线y=14x2−12x−3的对称轴l与(1)求点A、B的坐标；(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,2，连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B．(1)求经过B,O,A三点的抛物线L的表达式；(2)将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L′，在抛物线L′上是否存在点D，使得以【变式10-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A−3，0，

(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点Mm，0是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线①当S△EOG=1②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【题型11二次函数中定值的存在性问题】【例11】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线y=ax²+bx−3a≠0与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求△HMN周长的最大值；(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1FS2【变式11-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B(1)填空：b=________，c=________，点B的坐标为________；(2)如图1，在抛物线上存在一点N，使S△AMN=S(3)如图2，点C是x轴下方的抛物线上任意一点，D是线段AB上的一个定点（点D不与点A、B重合），过点D作y轴的平行线与射线BC，AC分别交于E，F两点，若DE+5DF为定值，求ADBD【变式11-2】（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线y=x(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．(2)当a=−1时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．①如图（1），若点P是x轴上的动点，当PD−PC取最大值时，求△PBD的面积；②小聪研究发现：如图（2），E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线CE与直线BF的交点始终在直线y=2x−9上，那么在直线EF存在点Q，使得△QCE，△QAC，△QAF中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【变式11-3】（2024·广东·一模）综合应用．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．【题型12二次函数中角度问题的存在性问题】【例12】（2024·云南红河·一模）已知抛物线y=−12x2+bx+c，经过点−2,2和点0,2(1)求此抛物线的解析式；(2)求OA的长；(3)若点P是x轴上方、y轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使∠POA=45°？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．【变式12-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2−83x+c与x轴交于A(−3,0),B两点，与(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)连接AC，当∠CEA=90°时，求所有符合条件的点E的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式12-2】（2024春·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【变式12-3】（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A−2,0，B4,0两点，与y(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1：P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC，求四边形PBOC面积的最大值以及此时点(3)如图2，将抛物线沿射线AC的方向平移22个单位长度得到新抛物线y1，Q为新抛物线y1上一动点，作直线BQ交AC所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件∠ADB+∠ABC=∠CAB，若存在，请写出所有符合条件的点Q【题型13二次函数中线段问题的存在性问题】【例13】（2024春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−8,0，C2,0两点，与y轴交于点D0,4．点E是第二象限内抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为n，过点E作直线EB⊥x轴于点B

(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标；(3)如图2，连接CD，过点E作直线l∥CD，交y轴于点H，连接BH．试探究：在点E运动的过程中，是否存在点E，使得FD=BH，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式13-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c过A−1,0，(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接PB、PC，求△PBC面积的最大值和此时点P(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点M，使MB−MC的值最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【变式13-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)三点，点D是二次函数图象上一点，点D的横坐标是m，直线x=12m与(1)求二次函数的表达式；(2)过点D，作DG⊥直线x=12m于点G，作DF⊥x轴于点F，并交BC①当m=32时，求②是否存在点D，使DG+DH最大？若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．【变式13-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G的坐标．(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P

答案详解【题型1二次函数中面积问题的存在性问题】【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0,−3，−b,c两点，其中a，b(1)求a，c的值；(2)若该二次函数的最小值是−4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使S△PCES△CBE【详解】（1）解：∵y=ax2+bx+c∴c=−3，∴0,−3和−b,∴0−b2∵b≠0，∴a=1，∴a=1，c=−3．（2）解：①∵a=1，c=−3，∴y=x∵y最小值∵解得b=±2，∵ab>0，且a>0，∴b>0，∴b=2，∴该二次函数的解析式为：y=x当y=0时，x2解得x1=−3，∴A(−3,0)，B1,0②设直线AC的表达式为：y=k则−3k解得k1∴直线AC的表达式为：y=−x−3，当点P在点A右侧时，作CF⊥PD于F，如图所示：设P(m,m2+2m−3)−3<m<0，则则PE=−m−3CF=0−m=−m,∴S∵AB=1−−3=4，OC=3，∴S===−2m，∵S△PCE∴1解得：m1=−3+∴点P横坐标为−3+32或当点P在点A左侧时，作CF⊥PD于F，如图所示：设P(m,m2+2m−3)m<−3，则则PE=mCF=0−m=−m,∴S∵AB=1−−3=4，OC=3，∴S===−2m，∵S△PCE∴−解得：m1=−3−∴点P横坐标为−3−15综上所述，P点横坐标为：−3+32或−3−3【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B

(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：将B1,0，C0,3代入−1+b+c=0解得：b=−2∴y=−（2）解：对于y=−x2−2x+3，令y=0,解得，x1∴A−3,0∴OA=3,∵C0,3∴OC=3，过点P作PE⊥x轴于点E，如图，设Px,−x2∴OE=−x,AE=3+x,∴S===−∵−3∴S有最大值，∴当x=−32时，S有最大值，最大值为27【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+83x+c的图像与y轴交于点B(0，4)，与(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于52【详解】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0，4)代入二次函数y=ax0解得：a=−所以二次函数的解析式为：y=−4（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），y=−43x∴顶点坐标为（1，163(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣∵S△BOP＝12•BO•∣x∴52＝12×4•∣解得：∣x∣＝54所以x＝±把x＝54代入y=−y=−即：y＝214把x＝－54代入y=−y=−即：y＝－17∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(54，214)、P2(【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+m−12⋅x+m2m>0与x(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的215？若存在，请求出点P(3)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵A−1,0，OC=2OA，点C位于y∴C0,2将点C0,2代入得：m解得m=4，则抛物线对应的函数表达式为y=−1（2）解：由（1）可知，B4,0∵A−1,0，C∴AB=5,OC=2，设点P的坐标为Pa,−∴△PAB的面积为12×5−12∵△POC的面积等于△PAB面积的215∴a=2解得a=1或a=−4<0（不符合题意，舍去），∴−1所以存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的215，此时点P的坐标为1,3（3）解：①如图，在y轴上方作∠DAE=∠DAB，交直线CD于点E，交y轴于点P1，则∠∵CD∥x轴，∴∠ADE=∠DAB，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，当y=2时，−1解得x=0或x=3，∴D3,2设点E的坐标为Eb,2∴−1−b2解得b=1∴E1设直线AE的解析式为y=kx+c，将点A−1,0，E12,2代入得：则直线AE的解析式为y=4∴点P1的坐标为0,②如图，在y轴下方作∠P2AB=2∠DAB，交y∴∠P又∵AB⊥P∴∠AP∴△AP∴点P2与点P1关于∴点P2的坐标为0,−综上，存在点P，使得∠PAB=2∠DAB，此时点P的坐标为0,43或【题型2二次函数中周长最值的存在性问题】【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点(1)求△ABC的面积；(2)直线y=2x−3与抛物线交于点C、D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？如果存在，请求出点P坐标；如不存在，请说明理由．【详解】（1）解：令y=0，即x2解得x=3或x=−∴A−1,0，B则AB=4，当x=0时，y=−3∴C0,−3，OC=3∴S△ABC（2）存在这样的点P，理由如下，联立y=x解得x1=0y∴D4,5∵B3,0∴BD=26连接PB、PA，如图，则C∵PB=PA∴C△PBD∴当P、A、D三点共线时，C△PBD设直线AD的解析式为：y=kx+b，则0=−k+b5=4k+b解得k=1b=1则直线AD的解析式为：y=x+1，∵x=−b2a=−∴P1,2【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：把A1,0，B−3,0代入−1+b+c=0−9−3b+c=0解得：b=−2c=3∴该抛物线的解析式为：y=−（2）存在，连接BC交对称轴于M，则此时，△MAC的周长最小，在y=−x2−2x+3中，令x=0∴C0,3设直线BC的解析式为y=kx+m，∴−3k+m=0m=3解得：k=1m=3∴直线BC的解析式为y=x+3，∵抛物线y=−x2−2x+3∴当x=−1时，y=2，∴M点的坐标为−1,2【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD(1)求这条抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点P的坐标和△AMP面积的最大值．【详解】（1）∵OB=OC=3，OA=OD=1，∴点B的坐标为−3,0，点C的坐标为0,−3，点A的坐标为1,0，点将A1,0，B−3,0，a+b+c=09a−3b+c=0c=−3，解得：∴这条抛物线的解析式为y=x（2）∵y=x∴抛物线的对称轴为直线x=−1，连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，∵点A，B关于直线x=−1对称，∴AN=BN，∴AN+CN=BN+CN∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，设直线BC的解析式为y=kx+dk≠0将B−3,0，C−3k+d=0d=−3，解得：k=−1∴直线BC的解析式为y=−x−3，当x=−1时，y=−−1∴在这条抛物线的对称轴上存在点N−1,−2（3）∵A1,0，D∴直线AD的解析式为y=−x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：y=−x+1y=解得：x1=−4y∴点M的坐标为−4,过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，设点P的坐标为m,m2+2m−3(−4<m<1)∴PE=−m+1−m∴S△APM=1=−5S△APM∵−5∴当m=−32时，△AMP的面积取最大值，最大值为∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为−32,【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(1)求抛物线的解析式(2)①求出当−6≤x≤2时，y的最大值和最小值；②如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D，使△DMF【详解】（1）解：把点A0,5和B1,12代入y=x∴b=6c=5∴抛物线解析式为y=x（2）解：①∵抛物线解析式为y=x∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−3，顶点坐标为−3，∴当x=−3时，y有最小值−4，且离对称轴越远函数值越大，当x=2时，y=2当x=−6时，y=−6∴−6≤x≤2时，最大值为21，最小值为−4；②在y=x2+6x+5中，当y=x2∴C−5设直线AC的解析式为y=kx+b∴−5k+b∴k=1b∴直线AC的解析式为y=x+5，设点D的坐标为m，m2∴DF=m+5−m∵A0∴OA=OC=5，∴∠OAC=45°，∵DF⊥OC，∴DF∥OA，∴∠DFM=∠OAC=45°，∴△DFM是等腰直角三角形，∴DM=FM=2∴△DMF的周长=DM+FM+DF=2∴当DF最大时，△DMF的周长最大，∵DF=−m+52∴当m=−52时，∴m2∴点P的坐标为−【题型3二次函数中全等三角形的存在性问题】【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P

(1)求点A、P的坐标；(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）∵二次函数y=−12x2+x+4的图象与x轴交于A、B∴0=−1解得：x1=−2，∴点A−2,0，B∵y=−1∴顶点P1,（2）存在，理由如下：∵点H在二次函数y=−12x∴点H1,0∵A−2,0，P∴AH=3，PH设点Da,−∵过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，∴点Ea,0∴ED=∵以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等，∴当①△AHP≌△DEF时，AH=DE∴3=解得：a1=1+15∴当a=1+15时，−∴点D1+当②△AHP≌△FED时，PH=ED∴92解得：a1=32∴当a=32+1时，∴点D3综上所述，当点D的坐标为：1+15,−3或32+1,−92时，存在以点D、【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线L：y=x2+3x−4与y轴交于点A，抛物线L′与(1)求抛物线L′(2)O为坐标原点，点B是y轴正半轴上一点，OB=OA，点C是x轴负半轴上的动点，点P是第二象限抛物线L′上的动点，连接OP,BP,是否存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等？若存在，请求出点P【详解】（1）解：∵抛物线L:y=∴抛物线L的顶点为−3∵抛物线L′与L关于x∴抛物线L′的顶点为−∴抛物线L′的函数表达式为y=−（2）∵抛物线L：y=x2+3x−4与y∴A0,−4，即∴OB=0A=4，∵点B是y轴正半轴上一点，∴B由题意可知，△OPC与△OPB有一条公共边OP，设点P的坐标为p,−p分两种情况：当ΔOPB≌ΔPOC∴PB∥x轴，即点P与点B的纵坐标一样，令−p2−3p+4=4∴P当ΔOPB≌ΔOPC时，此时点P与点P′重合，点C与点∴OP′平分∠BOC，即点P′到x∴−p=−p2−3p+4∴综上，存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等，点P的坐标为−3，4或−【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于A−1,0，B两点，与

(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点Pm,n在抛物线上，当−1<m<3时，直接写出n(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：把A−1,0和C0,−3代入0=a+2+c−3=c，解得：a=1∴抛物线的函数解析式为y=x（2）解：把x=3代入y=x2−2x−3∴B3,0∵y=x2−2x−3=∴当x=1时，该函数有最小值−4，∵Pm,n∴当−1<m<3时，n的取值范围为−4≤n<0；（3）解：∵y=x−1∴抛物线解析式为直线x=1，∵D2,3∴点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3，∵△ABP≌△ABD，点P在抛物线上，∴点P在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3，∴点P2,−3或P把y=−3代入y=x2−2x−3解得，x1∴P2,−3或P综上：存在，P2,−3或P【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l

(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵抛物线y=14x2−2x+3与x∴令y=0，则14x2−2x+3=0，解得∴A2,0，B∵抛物线y=1∴C4,−1（2）解：如图所示：

∵C4,−1∴对称轴l:x=4，∴l交x轴于点D2,0，则CD=1，BD=2根据题意可得∠CDB=∠PMN=90°，若以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，则点M与点D是对应点，设点P的坐标为m,14m①当PM与BD是对应边时，则PM=BD=2，MN=DC=1，即m=2∴m=2或−2，当m=2时，14当m=−2时，14∴P12,0、N10,1，②当PM与CD是对应边时，则PM=CD=1，MN=BD=2，即m=1∴m=1或−1，当m=1时，14当m=−1时，14具体情况，如图所示：

∴P31,54、N3综上所述，存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，点P、N的坐标为P12,0、N10,1或P2−2,8、N20,9或【题型4二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3，0)，B(1，0)(1)求抛物线的顶点坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M是线段OA上一动点（不与点O，A重合），连接AC，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，在点M的运动过程中，是否存在线段DE=CE？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0)，将C(0，3)代入得，解得，a=−1，∴y=−(x+3)(x−1)=−x∴顶点坐标为−1，（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线x=−1，则H−1设P−1，m，则PH2由题意知，当△PHC是等腰三角形，分①PH=HC，②PH=PC，③HC=PC，三种情况求解；①当PH=HC时，则m2解得，m=±10∴点P的坐标为(−1，10)②当PH=PC，则m2解得，m=5∴点P的坐标为−1，③当HC=PC时，则10=1+m−3解得，m=6或m=0（舍去），∴点P的坐标为−1，综上所述，存在，点P的坐标为(−1，10)或(−1，−（3）解：如图，作EK⊥OC于K，设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(−3，0)，解得，k=1b=3∴直线AC的解析式为y=x+3；设Mn，0，则E∴DE=−n2−3n∵OA=OC=3，∴∠OCA=45°，∴CE=−2∴−n解得，n=2−3或∴存在，点M的横坐标为2−3【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线w:y=ax2+bx−3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C(1)求抛物线w的函数表达式；(2)连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P【详解】（1）解：将点−1,0，3,0代入y=ax0=a−b−30=9a+3b−3解得：a=1b=−2∴抛物线w的函数表达式为y=x（2）解：存在由（1）知：抛物线w的对称轴为：x=1，C0,−3∴抛物线w′的对称轴为：x=2令P2,y∴AC2=10，A①当AC=AP时，10=9+y解得：y1=1，∴P12,1，②当AC=CP时，10=y解得：y3=−3+6∴P32,−3+6③当AP=CP时，9+y解得：y5∴P综上，满足要求的点P的坐标为2,1，2,−1，2,−3+6，2,−3−6，【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线y=−x2+bx+c（b，c是常数）的顶点坐标为A(1,4)，与y(1)求b，c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）∵抛物线y=−x²+bx+c的顶点坐标为A(1,4)，∴−b∴b=2,c=3；（2）存在，

由（1）得y=−x²+2x+3，∵当x=0时，y=3，∴B0,3存在点P，使得△ACP是等腰三角形，设P1,a则AP2=a−42情况1：当AP=BP时，即a2解得a=3，所以，P1情况2：当AP=AB时，即a2解得a=4±2所以P21,4+2情况3：当BP=AB时，即a2解得a=2或a=4，所以P41,2，综上得：满足条件的P点有P11,3，P21,4+2【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，(1)求抛物线的解析式；(2)求△DBC的面积；(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解∶由抛物线y=x²+bx+c经过A−1,0、B则0=1−b+c0=9+3b+c，解得：b=−2所以抛物线的函数关系式是：y=x²−2x−3．（2）解：∵y=x∴D1当x=0时，y=−3，即C0由待定系数法可得直线BC的解析式为y=x−3．如图：过D作x轴的垂线交BC于E，垂足为F．则E1,−2∴DE=−2−−4∴S△BDC（3）解：存在．如图：设点P1，aPB2=1−32①若PC=PB，则PC2=P解得a=−1．即P1②若PC=BC，则PC2=BC2解得：a1=−3+17③若PB=BC，则PB2=B解得：a1=14综上，符合条件的P点坐标为1，−1，1,【题型5二次函数中直角三角形的存在性问题】【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1，0和点B3，0(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，当点D在线段BC上时，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：将A(−1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c解得：a=−1&&∴二次函数的表达式为y=−x（2）解：如图1，连接PC，作PE⊥x轴交BC于点E，∵DP∥AC，∴S△APD∵S=S∴S=S设直线BC的解析式为y=kx+e，将B(3,0),C(0,3)代入得，3k+e=0e=3解得，k=−1e=3∴直线BC的解析式为y=−x+3，设Pm,−m2+2m+3(0<m<3)∴S=1∵−32<0∴当m=32时，S取得最大值．此时（3）解：设D(n,−n+3)，则AC2=10，C①当∠ACD=90°时，AC解得，n=0（舍去）；②当∠CAD=90°时，AC2+A解得，n=5，∴D5③当∠ADC=90°时，CD2+A解得，n1=0（舍去），∴D(1,2)；综上所述，存在点D，点D的坐标是5，【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数为y2的图象上，同时二次函数y2(1)若二次函数y1=x2−2x−3(2)如图，已知二次函数y1=14(x+1)2−2的图象的顶点为M，点P是x轴正半轴上的一个动点，将二次函数y1的图象绕点P旋转①求二次函数y2②点Q为y轴上一点，是否存在一点Q，使得△MNQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵二次函数y1∴该函数的图象的顶点坐标为(1,−4)，∴将(1,−4)代入y2=−x解得b=4．∴二次函数的解析式为y2∴二次函数y2=−x∴将(2,−3)代入入y1=x∴b=4符合要求，故答案为：4；（2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，∴y2的图象的顶点N必在二次函数y∵y2的图象是二次函数为y1=14∴这两个函数图象的顶点M,N关于点P对称，如图，分别过M,N作MA⊥x轴，NB⊥x轴，垂足分别为A,B，在△APM和△BPN中，∠MAP=∠NBP,∴△APM≌△BPN(AAS)∴NB=AM=2．当y2=2时，解得x1∴点N的坐标为(3,2)，当点N是y2的图象的顶点时，设y把M(−1,−2)代入y2解得a=−1∴二次函数y2的解析式为为y②设点Q的坐标为(0,m)，则MNNQ当∠QNM=90°时，MN∴32+m解得m=5；当∠QMN=90°时，MN∴32+m解得m=−3；当∠NQM=90°时，MQ∴m2解得m1综上所述，存在一点Q，使得△MNQ为直角三角形，点Q的坐标(0,5),(0,−3),(0,7)或【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点A−2,0，点B8,0，点C0,4，抛物线y=ax2+bx+c过A，(1)求抛物线的解析式；(2)若∠CAP=45°，求点P的坐标；(3)当∠CAP=45°时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使△PBM为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【详解】（1）解：把将点A−2,0，点B8,0，点可得0=4a−2b+c0=64a+8b+c解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：如图，过点C作CF⊥AC交AP与点F，过点C作x轴的平行线，过A,F作DE的垂线段，分别交于点D,E，，∵∠CAP=45°,AC⊥CF，∴CA=FC，∠DCA+∠ECF=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECF，∵∠ADC=∠CEF=90°，∴△ADC≌△CEFAAS∴AD=CE,DC=EF，根据A−2,0CE=AD=4,EF=DC=2，∴F4,2设直线AF的解析式为y=kx+b，把A−2,0,F4,2解得k=1∴直线AF的解析式为y=1故可得13解得x1y=1∴P20（3）解：−b∴抛物线的对称轴为直线x=3，设M3,m则MP2=3−20①当∠PMB=90°时，P可得方程3−20方程无解，故不成立；②当∠MPB=90°时，PM可得方程3−解得m=140③当∠PBM=90°，BM可得方程25+m解得m=−30综上所述，m=140117或【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A−1，(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵点A−1，0∴AC=5，OC=4，∵AC=BC=5，∴B4把A−1，0和B1−b+c=016+4b+c=5解得：b=−2c=−3∴二次函数的解析式为：y=x（2）解：如图1，∵直线AB经过点A−1，0设直线AB的解析式为y=kx+b，∴−k+b=04k+b=5解得：k=1b=1∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=∴设点Et,t+1，则F∴EF=t+1∴当t=32时，EF的最大值为∴点E的坐标为32∴S（3）解：存在，∵y=x∴对称轴为直线x=1，设P1,m①点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB∴4−12解得：m=8，∴P1②点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA∴1+12解得：m=−2，∴P1③点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB∴1+12解得：m=6或m=−1，∴P1，6综上，点P的坐标为1，8或1，−2或【题型6二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y=−x2+bx+c过点A和点C，与x(1)求这个二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴与直线AC交于点D，若P是直线AC上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求△PAD面积的最大值；(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：对于直线y=x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=−4；∴A−4，0，C0，4，把−16−4b+c=0c=4解得b=−3c=4∴y=−x（2）解：过P作PK∥y轴交AC于在y=−x2−3x+4当x=−32时，∴D−设P(m,−m2−3m+4)∴PK=−m∴S=−5∵−5∴当m=−2时，SΔ∴△PAD面积的最大值为5；（3）解：∵A−4，0设Nt,−当∠ANM=90°，AN=MN，过点N作x轴的平行线交对称轴于点F，过点A作y轴的平行线交NF于点E，如图，∴∠ANE=90°−∠FNM=∠NMF，∴△ANE≌△NMFAAS∴AE=NF，EN=FM，∴AE=NF=x整理得t2解得t=−2±∴点N坐标为−2−262,当∠MAN=90°，AM=AN，过点N作x轴的垂线交x轴于点F，对称轴直线x=−32交x轴于点同理△AME≌△NAF，则AE=NF，即−3整理得t2解得t=−3±∴点N坐标为−3+262,综上，点N坐标为−3+262,52或−3−【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，过动点D0,m作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线

(1)求抛物线的表达式；(2)求m的取值范围；(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−2经过点A∴a−b−2=0，解得a=∴抛物线的表达式为y=1（2）解：y=1∴y的最小值为−25∵直线l与抛物线有两个交点，∴m>−25（3）解：存在．当x=0时，y=1∴点C的坐标为0,−2．①如图，当∠BCP=90°，BC=PC时，过点P作PG⊥y轴于G，∴∠BOC=∠CGP=90°．∵∠BCO+∠PCG=90°，∠GPC+∠PCG=90°，∴∠BCO=∠CPG．

在△BCO和△CPG中，∠BOC=∠CGP，∴△BCO≌△CPG．∴CG=BO=4．∵CO=2，∴m=OG=4−2=2．延长PC至P′使得CP′易得，此时m=−6．（不合题意，舍去）②如图，当∠CBP=90°，BC=BP时，过点P作PM⊥x轴于M，

∵∠BOC=∠BMP=90°，∠BCO+∠OBC=90°，∠PBM+∠OBC=90°，∴∠BCO=∠PBM．∴△BCO≌△PBM．∴PM=BO=4．∴m=PM=4．延长PB，使得BP′=BP同理可得，m=−4．（不合题意，舍去）综上所述，直线l上存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形．m的值为2或4．【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点D，E．求证：△ACD≌△CBE；【类比迁移]（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为0,−4，点A的坐标为8,0，求B，D两点的坐标；【拓展延伸]（3）如图3，抛物线y=12x2−2x−6与x轴交于点A−2,0，点B6,0，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M【详解】（1）证明:∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°.∵AD⊥CE,∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE,∠ADC=∠CEB,AC=CB∴△ACD≌△CBE（2）解:如图,过点B作BF⊥y轴于点F.

由题意,得OC=4,OA=8.∵∠BFC=∠AOC=∠ACB=90°，∴.∠BCF+∠ACO=90°,∠BCF+∠CBF=90°,∴∠ACO=∠CBF又∵CB=CA,∠CFB=∠AOC,∴△CFB≌△AOCAAS∴.BF=CO=4,CF=AO=8∴OF=4∴.B−4,4.设直线AB的解析式为y=kx+bk≠0将A8,0,B−4,4代入y=kx+b解得k=−∴直线AB的解析式为y=−1当x=0时，y=8∴D（3）解:∵y=∴抛物线的对称轴为直线x=2,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作MN⊥x轴于点N，①当点M在x轴的下方时,如图，

∵∠PBM=90°,PH⊥AB,∴∠BPH+∠PBH=∠MBN+∠PBH∴∠BPH=∠MBN又∵∠PHB=∠BNM,PB=BM，∴△PBH≌△BMNAAS∴.BH=MN,PH=BN.设P2,t∴BN=PH=t,MN=BH=6−2=4，∴ON=t−6，∴M6−t,−4将M6−t,−4代入y=得12解得t=4+22或∴.点M的坐标为2−22,−4或②当点M在x轴的上方时,如图,

同理可得，点M的坐标为2−26,4或综上所述,点M的坐标为2−22,−4或2+22,−4或【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平分线交线段AC于点(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：依题意，x=−b∴b=−4a，∴抛物线解析式为y=ax将点B1,0代入得解得：a=1，∴抛物线的解析式；y=x（2）如图2，设P(m，∵OE平分∠AOB，∠∴∠∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，设直线OE的解析式为y=kx，∴3=3k，解得：k=1，则直线OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点∴G(m,m)，∴PG=m−(m∴S=12×3×3+12=92+12=−32m2+15=32m−52∵−32<0∴当m=52时，S有最大值是75（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，∵∠OMP=∠OPF=∠FNP=90°∴∠MOP=90°−∠OPM=∠NPF∴△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P(m,m则−m解得：m=5+52∴P的坐标为(5+52,1+52)或(5−52如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，连接PF．同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则−m解得：x=3+52P的坐标为(3+52，1−52)或(3−综上所述，点P的坐标是：P1(3+52,1−52)，P2(3−52,1+52)，P3(5+5【题型7二次函数中平行四边形的存在性问题】【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接BC、AC．已知A(−1,0)，B(5,0)(1)求抛物线的表达式；(2)已知点D为线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BD、CD．连接AD，分别交y轴与BC于点E、F．当四边形ABCD的面积最大时，求直线AD的表达式及此时△BEF的面积；(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形ABCD的面积最大时，抛物线的对称轴x=m上是否存在点Q，使得四边形CDPQ为平行四边形？若存在，请求出平行四边形CDPQ的面积；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵B(5,0)，tan∠BCO=∴C设抛物线的表达式的抛物线为：y=ax+1将C0,5解得：a=−∴y=−（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则b=5解得：b=5∴直线BC的解析式为：y=−1过点D作y轴的平行线交直线BC于点G，如图所示：设点Dm,−12m∴S∴当m=52，即点D52,∵S四边ABCD=∴此时S四边设直线AD的解析式为：y=k则−k解得：b′∴直线AD的解析式为：y=5令x=0可得y=514联立y=−12∴F∴S（3）解：由A(−1,0)，B(5,0)可知：抛物线的对称轴为直线x=−1+5由（2）可得D5设P若四边形CDPQ为平行四边形，则0+p=5解得：p=∴Q设直线CD的解析式为：y=k则b′解得：b′∴直线CD的解析式为：y=−1过点Q作y轴的平行线交直线CD于点H，如图所示：则H2,−1∴S【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：由题意得：y=a(x+1)(x−3)=a(x则−3a=3，则a=−1，则抛物线的表达式为：y=−x（2）解：如图1，设直线CD切⊙P于点E．连接PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，由y=−x对称轴为直线x=1，C(0，∴DF=4−3=1，∴DF=CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF=45°，∴∠EDP=∠EPD=45°，∴DE=EP，∴△DEP为等腰三角形．设P(1,m)，∴EP在△APQ中，∠PQA=90°，∴AP∴12整理，得m2解得，m=−4±26∴点P的坐标为(1,−4+26)或（3）解：存在，理由：设点E(m,−m2+2m+3)，点当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3=m+13=t−m2则点E、F的坐标分别为：(2,3)、(1，当BF或BE为对角线时，同理可得：3+1=mt=−m2解得：m=4t=−2或m=−2则点E、F的坐标分别为：(4,−5)、(1,−2)或(−2,−5)、(1,−8)；综上，E、F的坐标分别为：(2,3)、(1，0)或(4,−5)、(1,−2)或【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,−5,C−4,0，以OC,OA为边作矩形OABC，点D−32,−5为边AB上一点，将△BCD(1)求经过O,D,C三点的抛物线的解析式；(2)求四边形CDEO的面积；(3)一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；(4)若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由【详解】（1）解：设过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=axx+4∵D−∴−5=−3∴a=4∴经过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=4（2）点A0,−5,C−4,0，D−32,−5∴CE=CB=OA=5，CO=AB=4，AD=3在Rt△COEOE=C∴E0,−3∴AE=5−3−2，∴S==49（3）由运动时间为t秒，则EQ=t，CP=2t，则BP=5−2t∵△BCD沿直线CD折叠得到△ECD，∴BD=ED，若DP=DQ，则Rt△PBD≌∴PB=QE，即CB−CP=EQ．∴5−2t=t，解得t=5（4）①如下图，当M点在对称轴右侧，即为M1当M1N∥CE且M1过M1作M1F垂直对称轴于点F∴FM1=OC=4∴此时点M1对于y=4当x=2时，y=16，∴点M1的坐标为2,16②如下图，当M点在对称轴左侧，即为M2当M2N∥CE且M2过M2作M2F垂直对称轴于点F∵FM2=OC=4∴此时点M2的横坐标为−6对于y=4当x=−6时，y=16，∴点M2的坐标为−6,16③如解图，当M点在抛物线的顶点上，即为点M3当CN∥M3E且CN=CE与NM3相交于点O'，则O'为线段又∵点M3在对称轴上，则M3的横坐标为对于y=4当x=−2时，y