【九上BS数学】安徽省宿州市泗县2024-2025年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024－2025学年第一学期教学质量检测一九年级数学北师大版（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（）A. B. C. D.2.如图，在矩形中，若，则（）A. B. C. D.3.如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（）．A. B. C. D.4.若是一元二次方程的根，则（）A5 B.7 C. D.5.如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（）A. B. C. D.6.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）．A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮7.春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A. B.C. D.8.数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容．如图，四边形是平行四边形，①当※时，平行四边形是矩形．②当时，平行四边形是矩形．③当▲时，平行四边形菱形．④当时，平行四边形是正方形．则回答不正确的是（）A.※可以代表 B.◎可以代表C.▲可以代表 D.可以代表9.在解关于x的一元二次方程时，嘉嘉将抄成了，因此解得两个相等的实数根，则原方程（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法判断根的情况10.如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（）A.24 B.25 C. D.26二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．12.如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是______．13.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：甲：量得窗框两组对边分别相等；乙：量得窗框对角线相等；丙：量得窗框一组邻边相等：丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．14.对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：（1）方程的解为________；（2）方程的解为________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.按要求解下列一元二次方程：（1）（配方法）；（2）（因式分解法）．16.如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹已保留），连接．求证：四边形为菱形．嘉淇将上题总结为如下不完整的已知和求证．已知：如图，在平行四边形，________，________．求证：四边形为菱形．（1）在方框中填空，补全已知条件；（2）嘉淇的想法是：利用平行四边形的性质判定四边形为平行四边形，再判定四边形为菱形，请按嘉淇的想法写出证明．18.小明同学解方程的过程如下：解：∵，，，…第一步∴，…第二步∴，……第三步∴，……第四步（1）小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答过程．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.在正方形中，对角线，E为上一点，连接．（1）求证：．（2）延长交于F，当时，求的度数．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若，是该方程两个实数根，且，求a的值．21.如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．22.根据以下销售情况，解决销售任务．销售情况分析素材1某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价为每件150元，平均每天可售出20件．素材2为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．素材3这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元．市场调查经调查发现，如果每件衬衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出4件．任务解决任务1当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利多少元？任务2若商场平均每天盈利2750元，每件衬衫售价应定为多少元？23.如图，在中，，，垂足为是的外角的平分线，于E，连接交于F．（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）试判断线段与的关系，并证明你的结论；（3）当四边形是一个正方形时，试判断的形状，并证明．

2024－2025学年第一学期教学质量检测一九年级数学北师大版（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得？部分一定是只含有未知数x，且未知数x的最高次为2的整式，据此可得答案．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴？部分一定是只含有未知数x，且未知数x的最高次为2的整式，∴四个选项中只有D选项符合题意，故选：D．2.如图，在矩形中，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据矩形对角线相等且互相平分得到，再由等边对等角得到，据此利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：如图所示，设交于O，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，故选：B．3.如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此解答即可．【详解】解：如图：连接，∵公路的中点M，∴，∵，∴，∴M，C两点间的距离为．故选B．4.若是一元二次方程的根，则（）A.5 B.7 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，当关于x的一元二次方程有解时，则，由此根据题意可得，再代值计算即可．【详解】解：∵是一元二次方程根，∴，∴，故选：D．5.如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出的长度．【详解】解：四边形菱形，，，，，，，故选：C6.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）．A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．【详解】解：，方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确；由等式的性质可得，所以，∴，故小红出错．故选C．7.春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元列出方程即可．【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，由题意得，，故选：D．8.数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容．如图，四边形是平行四边形，①当※时，平行四边形是矩形．②当时，平行四边形是矩形．③当▲时，平行四边形菱形．④当时，平行四边形是正方形．则回答不正确的是（）A.※可以代表 B.◎可以代表C.▲可以代表 D.可以代表【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键.【详解】解：①∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意；②∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意；③∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意；④∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意；故选：D。9.在解关于x的一元二次方程时，嘉嘉将抄成了，因此解得两个相等的实数根，则原方程（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法判断根的情况【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则由判别式可得k的值，再利用判别式判断原方程的解的个数即可．【详解】解：由题意得，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴原方程为，∴Δ=∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．10.如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（）A.24 B.25 C. D.26【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接、、，由三角形的三边关系可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案．【详解】解：取的中点，连接、、，如图所示：，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，是直角三角形，点是的中点，，，四边形是矩形，，由勾股定理得，的最大值为，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点、、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．【答案】【解析】【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，∴原方程为解得x1=-7,x2=2,故另一个解为.故答案为：．【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解．12.如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是______．【答案】8,4【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长．延长交y轴于A，根据菱形的性质得到N的纵坐标和P的纵坐标相同，都是4，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到N的横坐标，即可得到答案．【详解】解：延长交y轴于A，∵菱形，∴轴，，∵点P坐标是，∴，，点N的纵坐标为4，∴，∴，∴，即N的横坐标是8，∴．故答案为：8,4．13.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：甲：量得窗框两组对边分别相等；乙：量得窗框对角线相等；丙：量得窗框的一组邻边相等：丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．【答案】丁【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．【详解】解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误；对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误；一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误；两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确；故答案为：丁．14.对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：（1）方程的解为________；（2）方程的解为________．【答案】①.②.或【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；（2）当时，由新定义可得方程，解方程即可得到答案；当时，由新定义可得方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴，解得，故答案为：．（2）当时，∵，∴，∴，∴，∴或，解得或（舍去）；当时，∵，∴，∴，解得或（舍去）；综上所述，或；故答案为：或．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.按要求解下列一元二次方程：（1）（配方法）；（2）（因式分解法）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可；（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得．16.如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．本题的关键是要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．【详解】证明：平分，，，，，又，四边形是矩形，，矩形是正方形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹已保留），连接．求证：四边形为菱形．嘉淇将上题总结为如下不完整的已知和求证．已知：如图，在平行四边形，________，________．求证：四边形为菱形．（1）方框中填空，补全已知条件；（2）嘉淇的想法是：利用平行四边形的性质判定四边形为平行四边形，再判定四边形为菱形，请按嘉淇的想法写出证明．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，角平分线的尺规作图，菱形的判定：（1）根据作图方法可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案；（2）先由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，进而可知，据此证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形．【小问1详解】解：根据题意可知，已知：如图，在平行四边形，，，故答案为：；【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．18.小明同学解方程的过程如下：解：∵，，，…第一步∴，…第二步∴，……第三步∴，……第四步（1）小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答过程．【答案】（1）一（2）过程见解析，【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误；（2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误，故答案为：一．【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．（1）求证：．（2）延长交于F，当时，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键．（1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论；（2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴；【小问2详解】解：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若，是该方程的两个实数根，且，求a的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解；（）利用根与系数的关系，，求解即可．【小问1详解】证明：，∴方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：题意得，，∵，∴，∴，解得：．21.如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．【答案】（1）详见解析（2）当时，四边形是菱形，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．（1）由矩形可得，结合平分、平分得，即可知，根据即可得证；（2）当时，四边形是菱形，由角平分线知、，结合可得，即，即可得证．【小问1详解】证明：四边形是矩形，∴，，∴，∵平分、平分，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】当时，四边形菱形，∵平分，∴，∵四边形是矩形，，，，，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．22.根据以下销售情况，解决销售任务．销售情况分析素材1某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价