2025年江苏省常州市中考数学试卷（解析版）

常州市二0二五年初中学业考试

数学试题

注意事项：

1．本试卷共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生应将答案全部填写在答题卡

相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不

允许使用计算器．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．

3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，只有

一项是正确的）

1.如图，数轴上点P表示的数的相反数是（）

1

A.B.-1C.0D.

22

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为2，根据只有符号不同的两个

数互为相反数，进行求解即可．

【详解】解：由图可知：点P表示的数为2，

∴数轴上点P表示的数的相反数是2，

故选：A．

5

2.若分式有意义，则实数x的取值范围是（）

x+1

A.x1B.x1C.x1D.x1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．

根据分式的分母不为0即可求解．

5

【详解】解：要使分式有意义，

x+1

则x10，

解得x1，

故选：A．

3.下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图．

根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择．

【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形，

故选：D．

4.如图，O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则弧BC的长是（）

ππ

A.B.C.πD.2π

42

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．先利用直径AB、CD互相垂直，

得出BOC90，再利用弧长公式计算即可．

【详解】解：∵直径AB、CD互相垂直，

∴BOC90，

90π2

∴BC的长是π，

180

故选：C．

5.如图，在Rt△ABC中，A90，AB3，AC4，则sinB的值是（）

3344

A.B.C.D.

5453

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾

AC

股定理求出BC，再在Rt△ABC中利用sinB即可求解．

BC

【详解】解：∵在Rt△ABC中，A90，AB3，AC4，

∴BCAB2AC25，

AC4

∴sinB，

BC5

故选：C．

6.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB5．若ABD30，则AC的长是（）

A.4B.5C.6D.10

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是菱形的性质，含30角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．

根据菱形的性质可得ACBD，AOCO，根据含30角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从

而得到结果．

【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴ACBD，AOCO，

∴AOB90，

∵ABD30，AB5，

15

∴AOAB，

22

∴AC2AO5，

故选：B．

7.如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（）

A.垂线段最短

B.内错角相等，两直线平行

C.两点确定一条直线

D.平行于同一条直线的两条直线平行

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，

两直线平行直接得到答案．

【详解】解：由题意得AD，

根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．

故选：B．

8.小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、

图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟

的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2分钟的速度

5

匀速前往图书馆，小华先以v米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同

41

前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得

小丽家到图书馆的距离为1500米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速

63

度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出vv，可得现在小华开始的速度为v（米/分钟）,

15222

3

设小华t分钟后与小丽相遇后，由题意得vtvt300，得vt600，则相遇时小华到图书馆的距离为

2222

33

1800vt900（米），再结合小华开始的速度为v米/分钟，大于后面的速度v2米/分钟，即可求解．

2222

【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离米），

∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好

同时到达，

18001500

∴，

v1v2

6

∴vv，

152

5563

∴现在小华开始的速度为vvv（米/分钟）,

4145222

设小华t分钟后与小丽相遇，

3

由题意得vtvt300，

222

得v2t600，

3

则相遇时小华到图书馆的距离为1800vt900（米），

22

剩余路程为1800900900（米），

3

再结合小华开始的速度为v米/分钟，大于后面的速度v2米/分钟，

22

则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，

可知只有选项A符合题意，

故选：A．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请将答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.4的算术平方根是________．

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根定义，进行求解即可．熟练掌握算术平

方根定义，是解题的关键．

【详解】解：∵224，

∴4的算术平方根是2．

故答案为：2．

3

10.计算：a2_______．

【答案】a6

【解析】

【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的法则，进行计算即可．

3

【详解】解：a2a23a6；

故答案为：a6．

11.分解因式：x29y2_____________．

【答案】x3yx3y

【解析】

【分析】套用平方差公式分解即可．

本题考查了因式分解，熟练掌握套用公式分解是解题的关键．

2

【详解】解：x29y2x23yx3yx3y，

故答案为：x3yx3y．

12.太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为________．

【答案】7105

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数．确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解

即可．

【详解】解：数据700000用科学记数法表示为7105．

故答案为：7105．

xy

13.若则xy______0．（填、或）．

33

【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一

个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘

以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答．

xy

【详解】解：∵，

33

∴xy，

∴xy0，

故答案为：．

14.若关于x的一元二次方程x22xm0有两个相等的实数根，则实数m_________．

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程ax2bxc0(a0)的0，方程有两个不相等的实数根；当0，

方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程

x22xm0有两个相等的实数根，则有0，得到关于m的方程，解方程即可．

【详解】解：关于x的一元二次方程x22xm0有两个相等的实数根，

2

0，即241m0，

解得m1．

故答案为：1．

15.如图，AB∥CD，ACAD，ACD50，则_________．

【答案】40##40度

【解析】

【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用

AB∥CD，ACD50，得出EACACD50，结合CAD90，再利用平角的性质得出

180EACCAD，即可求解．

【详解】解：如图，

∵AB∥CD，ACD50，

∴EACACD50，

∵ACAD，

∴CAD90，

∴180EACCAD180509040，

故答案为：40．

16.如图，在ABCD中，E是AD上一点，DE2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB2，则

AF________．

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先

AFAE

利用平行四边形的性质得AB∥CD，CDAB2，证明△AEF∽△DEC，得出，结合

CDDE

DE2AE，即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，CDAB2，

∴△AEF∽△DEC，

AFAE

∴，

CDDE

∵DE2AE，

AF1

∴，

22

∴AF1，

故答案为：1．

17.如图，AB是O的直径，CD是O的弦．若DCB45，AD1，则AB_________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据直径所对的圆周角为90，可知ADB90，求出DCBDAB45，得到

BDAD1，利用勾股定理求解即可．

【详解】解：∵AB是O的直径，

ADB90，

∵DCB与DAB对应同一段弧BD，

DCBDAB45，

ABD90DAB45，

∴BDAD1，

∴ABAD2BD22．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为90，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性

质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．

4

18.如图，在VABC中，tanC，D是边BC上一点，将ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC

3

相交于点F，若CF5，EF2，则AC________．

21

【答案】

2

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过

FG4

点F作FG^AC于点G，由tanC，设FG=4x，则CG3x，结合CF5，求出FG4，

CG3

CG3，由翻折得ACAE，设ACAEy，则AGACCGy3，AFAEEFy2，

在Rt△AFG中，利用AF2AG2FG2，求解即可．

【详解】解：过点F作FG^AC于点G，

FG4

∴tanC，

CG3

设FG=4x，则CG3x，

∴CFCG2FG25x5，

得x1，

则FG4，CG3，

由翻折得ACAE，

设ACAEy，

则AGACCGy3，AFAEEFy2，

在Rt△AFG中，AF2AG2FG2，

22

即y2y342，

21

解得：y，

2

21

即AC，

2

21

故答案为：．

2

三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解

答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

2

19.先化简，再求值：xx2x1，其中x3．

【答案】2x21，7

【解析】

【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是

解题的关键．

首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后

的式子进行计算得出答案．

2

【详解】解：xx2x1

x22xx22x1

2x21，

2

当x3时，原式2317．

x

10

20.解不等式组2并把解集在数轴上表示出来．

2x33

【答案】2x0，解集在数轴上表示见解析

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出

每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式

组的解集，再将解集表示在数轴上即可．

x

10①

【详解】解：2，

2x33②

解不等式①，得x2，

解不等式②，得x0，

在数轴上表示如图：

∴不等式组的解集为2x0．

21.甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：

人员环数

甲6768768697

乙57510586987

对以上数据进行分析，绘制成下表：

人平均中位众

方差：

员数数数

甲x甲7m1

乙7n52.8

（1）填空：x甲______，m______，n_______；

（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．

【答案】（1）7；6；7

（2）甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查数据的分析，涉及求平均数、中位数、众数，方差的意义，熟练掌握相关概念和求法是

解题的关键．

（1）利用平均数的定义求x甲，利用众数的定义求m，利用中位数的定义求n；

（2）利用方差越小越稳定解答即可，

【小问1详解】

6768768697

解：x甲7，

10

在甲射击成绩：6,7,6,8,7,6,8,6,9,7中，出现次数最多的是6，

故甲射击成绩的众数是6，即m6，

乙的射击成绩按从小到大排列为：5,5,5,6,7,7,8,8,9,10，

位于中间的两个数是7,7，

77

故乙射击成绩的中位数是n7，

2

故答案为：7；6；7；

【小问2详解】

解：甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由如下：

∵甲的方差1小于乙的方差2.8，

∴甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定．

22.在5张相同的小纸条上，分别写有：①1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，

①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．

（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是；

（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率．

1

【答案】（1）

3

1

（2）

3

【解析】

【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握．

（1）利用概率公式求解；

（2）利用画树状图或列表法求概率．

【小问1详解】

解：∵①1；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，

1

∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是，

3

1

故答案为：；

3

【小问2详解】

画树状图，如图：

共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种，

21

∴抽到的数与文字描述相符合的概率．

63

23.某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用

的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？

【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨

【解析】

【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．

设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水x1吨，根据“20吨水可以使用

的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．

【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水x1吨，

2020

根据题意，得2

xx1

解得：x1，

经检验，x1是原方程的解，且符合题意，

答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．

24.如图，在ABC中，ABAC，点D，E在BC上，BDCE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）用直尺和圆规作DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形

的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键．

（1）先利用ABAC得出BC，再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；

（2）利用根据角平分线的作图方法作图即可．

【小问1详解】

证明：∵ABAC，

∴BC，

在△ABD与△ACE中，

ABAC

BC，

BDCE

∴ABD≌ACESAS；

【小问2详解】

解：如图，AF即为所求作．

m

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxb的图像与反比例函数y的图像相交于点

x

A1,n、B3,2，且与y轴交于点C．

（1）求一次函数、反比例函数的表达式；

（2）连接OA，求OAC的面积．

6

【答案】（1）y2x4；y

x

（2）2

【解析】

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次

函数、反比例函数交点问题的解法．

m6

（1）先将B3,2代入y求出反比例函数解析式，再将A1,n代入y，求出A1,6，将A1,6，

xx

B3,2代入ykxb，求解即可；

1

（2）先求出C0,4，再利用SOCx求解即可．

OAC2A

【小问1详解】

m

解：∵一次函数ykxb的图像与反比例函数y的图像相交于点A1,n、B3,2，

x

m

∴将B3,2代入y，

x

m

得：2，

3

解得：m6，

6

∴反比例函数的解析式为y，

x

6

将A1,n代入y，

x

得：n6，

∴A1,6，

将A1,6，B3,2代入ykxb，

6kb

得：，

23kb

k2

解得：，

b4

∴一次函数的解析式为y2x4；

【小问2详解】

解：当x0时，y2x44，

∴C0,4，

∴OC4，

11

∴SOCx412．

OAC2A2

26.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB2，AD1．

（1）若△ABD是等腰三角形，则BD_______；

（2）已知OBOD，ACBD．

①若OAOC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；

②如图，在ACD中，CD2AD2AC2，求AC的长．

【答案】（1）2

（2）①四边形ABCD是矩形，理由见解析；②7

【解析】

【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB2，AD1，分别讨论：当BDAB2时和当BDAD1

时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；

（2）①利用OAOC，OBOD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用ACBD，即可判定四边

形ABCD是矩形；②过点B作BEAC于点E，利用CD2AD2AC2，得出ACD是直角三角形，

且DAC90，证明AOD≌EOB，得出BEDA1，AOEO，利用勾股定理求出AE3，

137

得出AOEOAE，再利用勾股定理求出OD，得出BD2OD7，即可求解．

222

【小问1详解】

解：∵△ABD是等腰三角形，AB2，AD1，

∴当BDAB2时，此时满足三角形三边关系，符合题意；

当BDAD1时，112，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；

综上，BD2，

故答案为：2；

【小问2详解】

解：①四边形ABCD是矩形，理由如下：

∵OAOC，OBOD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵ACBD，

∴四边形ABCD是矩形；

②过点B作BEAC于点E，

∵CD2AD2AC2，

∴ACD是直角三角形，且DAC90，

∴DAOBEO90，

在△AOD和EOB中，

DAOBEO90

AODEOB，

ODOB

∴AOD≌EOB，

∴BEDA1，AOEO，

∴在Rt△ABE中，AEAB2BE23，

13

∴AOEOAE，

22

7

∴在RtAOD中，ODAD2AO2，

2

∴BD2OD7，

∴ACBD7．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定

义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．

3

27.如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx3的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C

2

是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数yax2bxc（a，b，c是常数，且a0）的图像经过点

B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，B、C分别是B、C的对应点，且点B落在x

轴正半轴上，点C的纵坐标为2．

（1）OB______；

（2）求点C的坐标；

5

（3）已知新抛物线与y轴交于点G0,，点D3,y1、Ex2,y2在新抛物线上，若对于满足

2

mx2m1的任意实数x2，y2y1总成立，求实数m的取值范围．

4

【答案】（1）3（2）C,1

3

（3）m0或m3

【解析】

【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的

求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键．

3

（1）求出x0时，函数yx3的函数值，得到B点坐标，即可得出结果；

2

（2）根据点B落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与

C的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可；

（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移hh0个单位，再向下平移3个单位得到新

2

94

的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：yxh2，把D点坐标代入，求出解析式，进而根

83

据二次函数的图像和性质，进行求解即可．

【小问1详解】

3

解：∵yx3，

2

∴当x0时，y3，

∴B0,3，

∴OB3；

故答案为：3；

【小问2详解】

解：∵B0,3，点B的对应点B落在x轴正半轴上，

∴点B向下平移3个单位，

∴点C向下平移3个单位后，与C的纵坐标相同，

∵点C的纵坐标为2，

∴点C的纵坐标为231；

3

∵点C在线段AB上，即点C在直线yx3上，

2

34

∴当yx31时，x，

23

4

∴C,1；

3

【小问3详解】

4

解：∵B0,3，C,1，二次函数yax2bxc（a，b，c是常数，且a0）的图像经过点B，顶

3

点是C．

22

44

∴yax1，把B0,3代入，得：a013，

33

9

∴a，

8

2

94

∴yx1，

83

∵平移后点B的对应点B落在x轴正半轴上，

∴设抛物线向右平移hh0个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，

2

94

∴新的抛物线的解析式为：yxh2，

83

2

5945

把G0,代入，得：0h2，

2832

210

解得：h或h（舍去）；

33

2

94292

∴yx2x22，

8338

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x2，

∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D3,y1关于对称轴的对称点为D1,y1，

∵对于满足mx2m1的任意实数x2，y2y1总成立，

∴m11或m3，

∴m0或m3．

28.在平面xOy中以下两种不同方式所得线段的关系．

方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90，

方式二：先绕原点O按逆时针方向旋转90，然后向右平移1个单位长度．

如图1小明将线段AB按方式一和方式二运动：分别得到线段A1B1、A2B2，发现它们除长度相等外还有其

他关系．

【实践体验】

（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C1D1．请你利用网格，在图2中画出线段CD

按方式二运动得到的线段；

【探索发现】

（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a1、a2，则线段a1、a2所

在直线可能_______________（写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线

【综合应用】

（3）如图3，已知点G2,3，Hx,y是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，

分别得到线段G1H1、G2H2（G1、G2是G的对应点．H1、H2是H的对应点）．

①若点H1与点G2重合，求点H的坐标；

②若线段G1H1与线段G2H2有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．

【答案】（1）见详解；（2）②③；（3）①H1,2；②yx1，0x1或x3

【解析】

【分析】（1）按顺序应用旋转和平移的性质画图即可；

（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后再根据待定系数