拓展资料：相似三角形中的基本策略

6/6相似三角形中的基本策略1．相似三角形判定的基本图形(1)平行线型的相似三角形，如图①②③，其中DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)相交线型的相似三角形，如图④⑤⑥⑦，其中有一个公共角，另有∠1＝∠2.(3)旋转型的相似三角形，如图⑧⑨，在图⑧中，∠1＝∠2，∠D＝∠B，则△ADE∽△ABC，△ADE是绕点A顺时针方向旋转∠1的度数而得；在图⑨中，∠1＝∠2，AD⊥BC，AB⊥BE，则△ADC∽△ABE，是将△ADC绕点A逆时针方向旋转∠BAD的度数而得．熟悉上述基本类型的相似三角形，将有助于在复杂图形中，正确而迅速地识别图中的相似三角形．2．分类讨论思想在相似三角形中的应用举例数学思想是数学的灵魂，是打开数学学习与研究之门的金钥匙．其中分类讨论思想是数学思想中的一种重要的思想方法，下面举例说明分类讨论思想在相似三角形中的应用．(1)对应边不确定【例1】△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经几秒钟△PBQ与△ABC相似？分析：本题是一道动态开放探索性问题，解决这类问题的思路是：动中求“静”，“一般”中见特殊．由于点P、Q在移动过程中的路线都是∠B(即∠ABC或∠PBQ)的两边，所以只需夹住∠B的两边对应成比例，则这两个三角形就相似，但没有明确∠B(即∠ABC或∠PBQ)的两边的对应关系，所以就存在两种关系：△PBQ∽△ABC或△QBP∽△ABC.解：设经过ts△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10－2t.①当△PBQ∽△ABC时，有，即，解得t＝2.5；②当△QBP∽△ABC时，有，即，解得t＝1.所以经过1s或2.5s时△PBQ与△ABC相似．(2)对应角不确定【例2】如图，∠A＝50°，∠B＝60°，一直线l与△ABC的AC、AB边分别相交于D、E两点，当∠ADE为多少度时，△ABC与△ADE相似？分析：显然∠C＝70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC与△ADE相似．解：①当∠ADE＝∠C＝70°时，△ABC∽△AED.②当∠ADE＝∠B＝60°时，△ABC∽△ADE.所以当∠ADE等于70°或60°时，△ABC与△ADE相似．(3)图形的位置不确定【例3】如图①，直角三角形铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，在这个三角形铁片中剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料最少，你有怎样的剪法？分析：要使剩下的边角料最少，就是要使剪出的正方形铁片面积最大，需要利用相似三角形的性质求出正方形的边长，但剪出正方形的方法有两种，要进行讨论．解：(1)按图②的剪法，设正方形的边长为xcm，则AD＝(4－x)cm.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(DE,CB)，即eq\f(4－x,4)＝eq\f(x,3)，解得x＝eq\f(12,7)cm.∴正方形DCFE的面积S1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)))2＝eq\f(144,49)(cm2)．(2)按图③的剪法，设正方形的边长为ycm，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，交DE于点M.∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(CM,CH)，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5(cm)．又∵CH·AB＝BC·AC，∴CH＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)(cm)．∴CM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)－y))(cm)．∴eq\f(y,5)＝eq\f(\f(12,5)－y,\f(12,5))，即eq\f(12,5)y＝12－5y，解得y＝eq\f(60,37)(cm)．∴正方形DEFG的面积S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60,37)))2＝eq\f(3600,1369)(cm2)．∵eq\f(144,49)＞eq\f(3600,1369)，∴S1＞S2.∴采用图②的剪法可使正方形的面积最大，即剩下的边角料最少．3．坐标系中的相似形把相似形与坐标系联系在一起是中考考查的新内容之一，解决这类问题要注意坐标符号与线段之间的转化．【例1】如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0,6)，点B(8,0)，AB＝10.动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．分析：(1)根据A、B两点坐标，可直接用待定系数法列方程组求解；(2)△APQ与△AOB相似，有两种情况，一是△APQ∽△AOB，这时∠APQ＝∠AOB；二是△AQP∽△AOB，这时∠AQP＝∠AOB，可根据相似三角形对应边成比例列方程求解．解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,8k＋b＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,4)，,b＝6.))∴直线AB的解析式为y＝－eq\f(3,4)x＋6.甲(2)由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，如图甲．∴eq\f(t,6)＝eq\f(10－2t,10)，解得t＝eq\f(30,11)(s)．∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(36,11)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,11)，\f(36,11))).乙②当∠AQP＝∠AOB时，有△AQP∽△AOB，如图乙．∴eq\f(t,10)＝eq\f(10－2t,6)，解得t＝eq\f(50,13)(s)．∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(28,13)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,13)，\f(60,13))).【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数关系式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？解：(1)∵OA＝12cm，OB＝6cm，由题意，得BQ＝t，OP＝t，∴OQ＝6－t.∴y＝eq\f(1,2)×OP×OQ＝eq\f(1,2)×t×(6－t)＝－eq\f(1,2)t2＋3t(0≤t≤6)．(2)当△POQ和△AOB相