东莞威远职中文化课数学教案：极限与导数

东莞威远职中文化课数学教案：极限与导数

一、基础知识

1.极限定义：(1)若数列｛u.｝满足，对任意给定的正数£,总存在正数m,当

n〉m且n《N时，恒有|u「A|〈£成立(A为常数)，则称A为数列u.当n趋向于无

穷大时的极限，记为lim/(x),lim/(x),另外limf(x)=A表示x大于x()且趋向

x->+coX->XQ

于X。时f(x)极限为A,称右极限。类似地lim/(x)表示x小于X。且趋向于x。时

X—>%0

f(x)的左极限。

2.极限的四则运算:如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么lim[f(x)±g(x)]=a

x—>x0x—>X0

±b,lim[f(x)*g(x)]=ab,lim=—(b0).

g(x)b

3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且limf(x)存在，并且limf(x)=f数0),

X—>xoX—>XQ

则称f(x)在X=Xo处连续。

4.最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f(x)在［a,b］

上有最大值和最小值。

5.导数：若函数f(x)在xO附近有定义，当自变量x在X。处取得一个增量Ax时

(Ax充分小)，因变量y也随之取得增量Ay(Ay=f(x°+Ax)-f(X。)).若lim包存

心f。Ax

在，则称f(x)在X。处可导，此极限值称为f(x)在点X。处的导数(或变化率)，

记作/'(X。)或y卜=/或立，即尸(Xo)=lim"x)—"砧。由定义知f(x)在

dx%』一o

点X。连续是f(x)在X。可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点

可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点X。处导数［(X。)

等于曲线y=f(X)在点P(X。,f(X。))处切线的斜率。

6.几个常用函数的导数：(1)(c)=O(c为常数)；(2)(x/=ax〃T(a为任意常

数)；(3)(sinx)'=cosx;(4)(cosx)f=-sinx;(5)(axy=ax]na;(6)(exy=ex;(7)

(logxy=-logx；(8)(lnx)'=-.

flXflX

7.导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导,且u(x)W0,则

(1)[“(％)±v(x)]'=u\x)±v\x)；(2)[w(x)v(x)]*="'(])(%)+u(x)v\x)；(3)

［cu(x)］'=c-u\x)(c为常数)；(4)［―］,=^^；(5)

M(X)U(X)

产,,_M(X)V'(X)-(X)V(X)

M(X)M2(X)

8.复合函数求导法：设函数y=f(u),u=0(x),已知0(x)在x处可导，f(u)在对

应的点u(u=0(x))处可导，则复合函数y=f［°(x)］在点x处可导，且

(f［°(x)］)'=1n9(x)］°'(x).

9.导数与函数的性质：(1)若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；(2)

若对一切xE(a,b)有尸(x)〉0,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切xe(a,b)

有尸(x)<0,则f(x)在(a,b)单调递减。

10.极值的必要条件：若函数f(x)在X。处可导，且在X。处取得极值，则f'(x0)=0.

11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在X。邻域(x。-6,x0+6)内可导，

(1)若当xG(x-6,x。)时尸(x)«0,当xW(x°,Xo+6)时广⑺20,则f(x)在

X。处取得极小值；(2)若当XG(XO-6,Xo)时广(x)20,当xe(Xo,Xo+3)时

f'(x)<0,则f(x)在x。处取得极大值。

12.极值的第二充分条件：设f(x)在X。的某领域(x。-6,x°+6)内一阶可导，在

x=x。处二阶可导，且/'(Xo)=OJ"(Xo)#O。(1)若/”(/)〉0,则f(x)在x。处

取得极小值；(2)若/"(/)<0,则f(x)在X。处取得极大值。

13.罗尔中值定理:若函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)上可导，且f(a)=f(b),

则存在&e(a,b),使尸6)=0.

［证明］若当x©(a,b),f(x)=f(a),则对任意x©(a,b),尸(%)=0.若当*6

(a,b)时，f(x)Wf(a),因为f(x)在［a,b］上连续，所以f(x)在［a,b］上有最大值

和最小值，必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m,则cG(a,b),

且f(c)为最大值，故尸(c)=0,综上得证。

14.Lagrange中值定理：若f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上可导，则存在&G

(a,b),使「(0=/(切―/(°).

b-a

［证明］令F(x)=f(x)-―△2(x-a),则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上可

b-a

导，且F(a)=F(b),所以由13知存在&G(a,b)使尸0=0,即「©/⑸”⑷.

b-a

15.曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，(1)如果

对任意X©I,/"(X)〉0,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；(2)如果对任意XG

I,/"(x)<0,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为

凹函数。

+

16.琴生不等式：设a1，a2,…，anGR,aa2+---+an=l0(1)若f(x)是［a,b］

上的凸函数，则Xi,X2,…，XnG［a,b］有f(aiXi+a/X2+…+anxjWaif(xj+a2f(X2)+…

+anf(xn).

二、方法与例题

1.极限的求法。

例1求下列极限：(1)lim［二+之+…+=］；(2)lim/L(a〉0)；(3)

n

(2)当a>l时，lim--a--=lim=1.

n—>oo]+n—>oo

lim+1

n—>co

〃limann

当0<a〈l时，=——=，-=0.

〃-°°1+Q"l+1+0

n—>oo

当a=l时，lim———二lim一一.

+foi+i2

(3)因为7^-

例2求下列极限：(1)lim(l+x)(l+x2)(l+x22)***(l+x2)(lxl<l)；

n-»oo

(2)limf-r-----—；(3)lim.————：。

-管1-xJa1j3-x-Jl+x

[解](1)lim(l+x)(l+x2)(l+/)・・・(1+，”)

n—>oo

(1—X)(l+X)(l+/)...(1+%2'j1-X2，，+I1

=lim-------------------------------------=lim----------=------.

381-X281-X1-X

J12A

A3—1—x—x2、l—X+1—X

(2)-=lim=lim3

3x->l3x-^1Il-^J

1-x1-xk1-x7

[.2+x

=lim----------T=1.

—i1+x+x

x2-1(x2-l)(j3-x+Jl+x)

(3)lim=lim

X->1(，3—x-A/1+X)(A/3—x+Jl+x)

(x—l)(x+1)(A/3—X+y/1+x).—(x+1)(J3-X+Jl+x)

lim------------------------------------=lim-------------------------------

Xf12(1-X)—I2

=-2A/2.

2.连续性的讨论。

例3设f(x)在(-8,+8)内有定义,且恒满足f(x+l)=2f(x),又当xG[0,1)

时,f(x)=x(l-x):试讨论f(x)在x=2处的连续性。

[解]当xG[0,1)时,有f(x)=x(l-x)2,在f(x+l)=2f(x)中令x+l=t,则x=t-l,

当xG[l,2)时，利用f(x+l)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因为t-lG[0,1),再由

f(x)=x(1-X)2得f(t-l)=(t-1)(2-t)2,从而tG[1,2)时，有f(t)=2(t-1),(2-t)2；

同理，当xG[1,2)时，令x+l=t,则当tG[2,3)时，有

f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=|2(%T)Q-%)：，%e[U);所以

4(x-2)(3-x)2,xe[2,3).

limf(x)=lim2(x-1)(2-x)2=0,limf(x)=lim4(x-2)(3-x)2=0,所以

x—^2—x—^2—x-^2+x—^2+

limf(x)=limf(x)=f(2)=0,所以f(x)在x=2处连续。

x->2—x―^2+

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

［解］因为点⑵0）不在曲线上，设切点坐标为（x°,y。），则为=,，切线的斜率

%

为“=-1，所以切线方程为y»=-」（x-/），即广,

—(x-xo)O又

40

因为此切线过点(2,0),所以一上=一3(2-/)，所以x°=l,所以所求的切线

方程为y=-(x-2),即x+y-2=0.

4.导数的计算。

5+3xcos2x

例5求下列函数的导数：(l)y=sin(3x+l)；(2)y=^~^.(3)y=e；

X

(4)y=ln(x+7x2-1)；(5)y=(l-2x)"(x>0且x<；)。

[解](1)y'=cos(3x+1)-(3x+l)f=3cos(3x+l).

(5%2+3x——(5%2+3x—Vx),(x)1

尸----------------------5---------------

10%+3——512+3%+-\J~X

(3)y'=*s2].(cos2x)'=ecos2x・(—sin2x)・(2x)'=—2*s2%・$缶2工

(4)y=——^==.a+7x2-iy=——^==

x+Vx2-1x+Vx2-1

1

(5)y=[(l-2x[]'=[]皿1-2])]，=2x)(xin(i_2x)y

2x

=(l-2x)xln(l-2x)------.

_l-2x_

5.用导数讨论函数的单调性。

例6设a>0,求函数f(x)=Vx-ln(x+a)(x^(0,+°°))的单调区间。

［解］f\x)=-^=———(x>0),因为x〉O,a〉O,所以

2jxx+a

1(x)>0<4>X2+(2a-4)x+a2>0；f\x)<0<4>x2+(2a-4)x+a+<0.

(1)当a>l时,对所有x〉0,Wx2+(2a-4)x+a2>0,即/'(x)>0,f(x)在(0,+8)

上单调递增；(2)当a=l时,对xWl,有x?+(2a-©x+a?>。，即尸(x)〉0,所以

f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内递增，又f(x)在x=l处连续，因

此f(x)在(0,+8)内递增;(3)当0〈a〈l时，令/'(x)〉O,即x'+(2a-4)x+a2>0,

解得x〈2-a-2VlW或x〉2-a+2VT^,因此，f(x)在(0,内单调递

增，在(2-2+271二］,+8)内也单调递增，而当2-a-2&^〈x〈2-a+2VT工时，

x?+(2a-4)x+a2〈0,即f\x)<0,所以f(x)在(2-a-2Jl-a,2-a+2jl-a)内单调

递减。

6.利用导数证明不等式。

TT

例7设x£(0,—),求证：sinx+tanx>2x.

［证明］设f(x)=sinx+tanx-2x,则r(x)=cosx+sec、-？，当(0,()时，

1Ii2

cosxd--------->2/cosx----------=,>2(因为0<cosx<l),所以

cosXVcosXVCOSX

/*(x)=cosx+sec2x-2=cosx+一---2>0.又f(x)在(03］上连续，所以f(x)在

cosxI2)

1°'2上单调递增，所以当x£时，f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx>2x.

7.利用导数讨论极值。

2

例8设f(x)=alnx+bx+x在Xi=l和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指

出这时f(X)在X1与X2处是取得极大值还是极小值。

［解］因为f(x)在(0,+8)上连续，可导，又f(x)在xLl,X2=2处取得极值，所

f2

ra+2b+1—0,a=—,

以广⑴=尸(2)=0,又「(x)=@+2bx+l,所以°解得；

x-+4Z?+1=0,,1

［2b=~~.

Io

所以于(x)=--Inx--x2+x,/*(x)=----—x+1=――—―.

363x33x

所以当xG(0,1)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,1]上递减;

当xG(1,2)时,f(x)>0,所以f(x)在[1,2]上递增;

当xG(2,+8)时,所以f(x)在[2