专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型解读与提分精练（北师大版）（解析版）

专题01解直角三角形重要模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一(也可理解为相似三角形的一种特殊情况)，直角三角形边、角关

系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解

直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角

不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角

三角形的实际应用模型。

【知识储备】

如图1,30。-60。-90°三边比值1：心2：如图2,45°・45。-90。三边比值1：1：＞/5

如图3,30。-30。-120。三边比值1：1：5/^;如图4,30。-45。-105。三边比值近2:(1+6)

如图5,45。-60。-75。三边比值2：遥：(1+8)。

上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类

似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角

度三角形的三边比值。

例题讲模型］

...........................................................................................................................................................2

模型1.背靠背模型...................................2

模型1.背靠背模型...................................6

模型3.拥抱模型...........13

习题练模型

.........................................................................................................................................................17

例题讲模型］

模型1.背靠背模型

模型解读

背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高C/Z构造出两个直角三角形求解，其

中公共边（高）CO是解题的关键。

重要等量关系：如图1,C。为公共边，则如图2,CE=DA,CD=EA,MCE+BD=AB,

如图3,CD=EF,CE=DF,贝ljAO+CE+BGAB；如图4,DE=BF,BD=EF,MAE+EF=AF；

如图5,BE=CF,CE=BF,则AE+£：B=AB。

模型运用

例I.（2024.湖南邵阳•二模）香炉洲大桥项目位于长沙市望城区，是目前湘江上跨度最大、主塔最高的独塔

斜拉桥，预计2024年5月建成.某数学兴趣小组利用无人机和所学数学知识对该桥主塔的高度AB进行了

测量.已知他们在点C处测得主塔底端B的俯角为20。，测得主塔顶端A的仰角为32.8。，如图所示，此时

无人机到主塔的水平距离C。为200米，求香炉洲大桥的主塔高度A/L（结果保留整数）（参考数据：

sin20°»0.342,cos20。=0.940,20°®0.364,32.8。=0.542,cos32.8°«0.841,tan32.8°«0.644)

【答案】香炉洲大桥的主塔高度4B约为202米

【分析】根据题意可得：CD_LA8,然后分别在RtASCO和Rlz^AC力中，利用锐角三角函数的定义求出AO

和8。的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.本题考查了解宜角三角形的应用-仰角俯角问

题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

【详解】解：由题意得：CDLAB,

在RtZJJCQ中，C£）=200米，NBC£>=20°,/.BD=CD-tan2（）°«2（X）x（）.364=72.8（米），

在Rl/SACZ）中，ZACZ>=32.8°,.•./!£>=8lan32.8。a200x0.644=128.8（米），

AB=AD+BD=72.8+128.8«202（米），,香炉洲大桥的主塔高度AB约为202米.

例2.（2024.内蒙古呼伦贝尔•中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图，

无人机在离地面40米的。处，测得操控者A的俯角为30。，测得楼5c楼顶。处的俯角为45。，又经过人工

测晟得到操控者A和大楼8c之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A,B,C,。都在同

一平面内，参考数据：1.7）

D

一死产飞符…

'、、C

二8

【答案】楼BC的高度为（406-40）米.

【分析】本题考行了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识.过。作于E,过C作

CFLDE于F,则四边形BCFE是矩形，则CF=BE,BC=EF,由题意知==4（）6,DF=CF,

tan300

根据。尸=3=8七=45一〃后求£>尸的值，根据3C=EE=OE—O广求8C的值即可.

【详解】解：如图，过。作于E,过于尸，则四边形8CFE是矩形，

D

一3场农科一

/，/7fl-

/JI工

AEB

LT

：,CF=BE,BC=EF,由题意知AE=———=4073,DF=CF,

tan30°

ADF=CF=BE=AB-AE=80-40x/3.BC=EF=DE-DF=4O-（SO-40>/3）=4073-40,

・,•楼6C的高度为（406-40）米.

例3.（2024・湖北•模拟预测）在某小区内有两栋楼房（4楼在8楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视

线大地的夹角Nl=45。，从8楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角N2=27。，若两楼楼体均与地

面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高15米，求8楼的高.（可能有用的数据：sin27。p0.45、cos27°«0.89.

（1）证明四边形是矩形，利用A0=ME+EF+"）,代入数据计算即可求解：（2）延长交AD于

点”，求得N〃48=62。，利用正切函数的定义得到粤=tan620pl.88,求得8”的长，据此求解即可.

AH

【详解】（1）解：,：AD//EF,AM1MN,DNLMN,

••・四边形AMN。是矩形，・•.AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0(m),

答：“大碗"的口径AO的长为80.0m；

（2）解：延长E8交点〃，如图,

太阳光线

图2

;矩形碗底区£尸。，・•・£〃_!_八/九，四边形八用与/是矩形,

VZABE=152°,AZ4BH=180°-ZABE=28°,ZW4B=90°-28o=62°,

RH

-=tan620al.88・•・B//=20.0x1.88»37.6(m),

AH

AAM=EH=I3H+BE=37.6+2.4=40.0(m),答：“大碗”的高度AM的长为40.0m.

模型2.母子模型

模型解读

I)

图1图2图4

母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共

边8c是解题的关键。

重要等量关系：如图1,为公共边，AD+DC=AC；如图2,8c为公共边，DC-BC=DB：

如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC；如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE.

如图5,BE+EC=BC；如图6,EC-BC=BE；如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG；

如图8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG；

如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AGO

模型运用

例I.（2024•黑龙江牡丹江.中考真题）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪AC,对垂直于地面C。

的建筑物AO的高度进行测量，BC上CD于点、C.在8处测得A的仰角NABE=45。，然后将测角仪向建筑

物方向水平移动6米至尸6处，FG_LCO于点G,测得A的仰角NA厂E=5X。，4•的延长线交AO于点£,

求建筑物AO的高度（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin58°«0.85,cos58°«0.53,tan58°«1.60）

A

【答案】17.5米

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形8EOC是矩形，

AF

则OE=AC=1.5m.解直角三角形得到AE=8区所=」黑，进而得到4E=6+f*,据此求出AE即

tan58°tan58°

可得到答案.

【详解】解：根据题意可知四边形8EOC是矩形，.•.O£=BC=1.5m.如图，ZA8E=45。,4房=58。.

AfrAfAf

•・•tanNABE=—JanZAFE=—,:.AE=BEtan45°=BE,EF=—.

BEEFtan580

\'BE=EF+BF,：.AE=6+——:.AE^\6.:.AD=AE+DE=\1.5（米）

tan58°

答：建筑物AD的高度约为17.5米.

例2.（2024・安徽合肥•三模）昌景黄高铁F2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道.如

图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北

两端A、B的俯角NDC4=42。、ZDCB=28°（己知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、

5的距离.（结果保留整数,参考数据：G=1.73,sin42°«0.67,cos42°«0.74,tan42°«0.90，sin28°«0.47,

cos280%0.88,tan28°«0.53)

【答案】隧道南北两端A、8的距离约为155米

【分析】本题主要考杳了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、8两点

700

作AE1CO于EBF上CD于F,解直角三角形得出。尸=万不。377.4（米），CE=—«222.2（米），

求出结果即可.

【详解】解：分别过人、B两点作4EJ.CO于E,BF_LCQ于立如图所示:

BF

在RSC8/中，ZFCB=28°,班'=200米,tan280=—CF=—«377.4（米）.

CF0.53

AFofK）

在RUXCE4中，ZEC4=42°,/.tan42°=,CE=——«222.2（米）.

CE0.90

:.AB=EF=CF-CE=377.4-222.2«155（米）.

答：隧道南北两端A、8的距离约为155米.

例3.(2023•江苏南京•中考真题)如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A,B.无

人机悬停在C处，此时在A处测得。的仰角为36。52无人机垂直上升5m悬停在£＞处，此时在8处测得D

的仰角为63。26',A8=10m,点A,B,C,。在同一平面内，4,8两点在CD的同侧.求无人机在C

处时离地面的高度.(参考数据：tan36°52'、0.75,tan63°26'、2.00)

【答案】15m

【分析】过点C作以/1AB广点M,设则AM=(10+x)m,根据仰角，解直角三角形计算即

可.本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键.

【详解】解：过点。作CM_L四于点M,设则AM=(10+x)m,

在RtaBDM中，/DBM=63°26',则tan/DBM=tan63°26z==2,

则DW=2x,CM=2A-5；在中，NACM=36°52',

o_Ca

茜r十解得：Z。,

经检验，工=10是该分式方程的解.・・.。0=21-5=15|11.

答：无人机在。处时离地面15m.

例4.（2024・广东中山•三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河

对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°,再从C点出发沿斜坡走M关到达斜坡上

。点，在点。处测得树顶端A的仰角为30。，若斜面。尸的坡度为i=l：3（点七、C、3在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点。的过程中上升的高度；（2）求大树A5的高度（结果保留根号）.

【答案】（1）1米（2）（3+20）米

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所

学知识成为解题的关键.（1）如图：过点。作O”_LCE交CE于点”，设OH=x米，C"=3"米，在RtACDH

中运用勾股定理列方程求解即可；（2）如图，过点。作OG_LAB交人8于点G,设8c=），米，再证四边形

DHBG为矩形可得DH=BG=1米、DG=BH=y+3,进而得到AG=），-1,最后根据正切函数列方程求

解即可.

【详解】（1）解：如图：过点、D作DH工CE交CE『点〃,

由题意知CO=«J米，•.•斜面C77的坡度为i=l:3,「.)二彳，

CH3

设D”=x米，CH=3x米,.,在RtZ\CO〃中，DH2+CH2=CD2,

.•.3+(3%)2=(亚＞,解得：芭=1,9=一1(舍)，「.力”=1米.

答：王刚同学从点。到点。的过程中上升的高度为1米.

(2)解：如图，过点。作0G_LAB交A8于点G,设8C=y米，

•;NDHB=/DGB=ZABC=90。，.二四边形DHBG为矩形,

.•.Z)”=8G=1米，DG=BH=BC+CH=(y+3)(米),

VZ4CT=45°,...8C=AB=y米，/.AG=

33。。=塔

VZADG=30°,..•在RsADG中，

.•.3=立，解得：y=3+2«,

.•・"=（3+2石）米.

y+33

答：大树A8的高度是(3+26)米.

例5.(2024•江西南昌•模拟预测)如图1,是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利.某校数学社团的同

学们欲测量塔的高度.如图2,他们在第一层看台EO上架设测角仪E/，从尸处测得塔的最高点A的仰角

为42。，测出Z)E=/?C=23m,台阶可抽象为线段C。，CQ=2()Gm,台阶的坡角为30。，测角仪E厂的高度

为2.5m,塔身可抽象成线段48.(1)求测角仪痔与塔身A8的水平距离：

(2)求塔身A8的高度.(结果精确到0.1)(参考数据：sin42°«0.67,cos42°«0.74,Um42°«0.90,&x\.73)

【答案】(1)76m(2)53.6m

【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解.

（1）延长A8交互）的延长线于点G,过点尸作FH_LAG于点H,过点C作CM_LDG于点M,则

GM=BC=23m,BG=CM,易得CM==106（m）,根据勾股定理得出DM=dCD?-CM，=30（m）,

最后FH=DE+DM+BC即可解答;（2）由（1）可知，切=76m,根据题意得出GH=EF=2.5m,BG=CM=106m,

ZAFG=42°,则tan/AF〃=—=bin42°=0,90,0.90/77,根据4?=47+G〃—BG,即可解答.

FH

【详解】（1）解：如图，延长AB交ED的延长线于点G,过点F作F〃_L4G于点"，过点C作CM_LQG

于点M,则GW=3。=23m,BG=GW,由题意可知，NCDM=30%CD=20Gm,CM=1cD=10x/5（m）,

/.DM=ylCD2-CM2=^（20>/3）?-（10V3）2=30（m）,FH=DE+DM+I3C=23+30+23=76（m）,

答：测角仪E尸与塔身AB的水平距离为76m：

（2）解：由（1）可知，/77=76m,由题意可知，GH=EF=2.5m,8G=CM=loV5m，Z4FG=42°,

A/J

tanZAFH=—=tan420工0.90,/V7«0.90/7/=0.90x76=68.4（m）,

FH

/.AB=AH+GH-BG^68.4+2.5-1073»53.6（m）,答：塔身43的高度约为53.6m.

例6.（2024・湖南长沙•模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开.如图①为某景区山

地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道.如图②所示为索道的设计示意图，以

山顶。为起点，沿途修建AB、C。两段长度相等的观光索道，最终到达山脚A处，中途观光平台4C为50m,

且与4,平行.索道A6与水平线的夹角为15。，CD与水平线夹角为45。，A、〃两处的水平距离4石为576m,

DF1AF,垂足为点尸.（参考数据：sin15°«0.25,cos15°«0.96,Um15°«0.26,夜=1.41）

图①图②

(1)求索道A4的长(结果精确到U.1m)；(2)求水平距离的长(结果精确到0.1m).

【答案】(DA8的长约为600m(2)AF的长为1049m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.(1)通过解RtzMBE可求得A8的长；

(2)延长8c交。产于G,证明四边形8ER7是矩形，可.得痔=8G,NCGD=/BGF=90°,再解RtZ\C/)G

可求解8的长，进而可求解.

【详解】(1)在Rt"6£中，ZAEB=90°,4=15。，4E=576m,

・••AB=上巳=k600(m),即AB的长约为600m：

cosAcos15°

(2)延长交力”于G,

BCX^.：\G

AEF

•/BC//AE,JNC8E=90°,丁DF工AF，/.ZAFD=90°，，四边形成JG为矩形,

:.EF=BG,NCGD=NBGF=90。,VCD=AB=600m,ZDCG=45°,

:.CG=CDcosZDCG=600xcos450=600x—=300&，

2

AAF=AE+EF=AE+BG=AE^-BC+CG=576+50+300&x1049(m),即4尸的长为1049m.

模型3.拥抱模型

模型解读

拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边8C是解题的关键。

重要等量关系：如图1,/3C为公共边；如图2,BF+FC+CE=BE；如图3,BC+CE二BE；

如图4,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE。

模型运用

例I.（23-24九年级下•河南新乡•期中）无影塔位于河南汝南城南，相传冬至正午无塔影，故称无影塔；相

传为唐代和尚悟颖所建，故又称'悟颖塔无影塔被国务院批准为国家级重点文物保护单位.某校数学“综

合与实践''小组的同学欲测量其高度，他们把测量无影塔的高度作为一项课题活动，他们制订了测量方案,

并利用课余时间完成了实地测量.他们从无影塔顶部A处测得无影塔附近一棵大树的底部。处的俯角是〃，

从无影塔底部“处测得这棵树顶部。处的仰角是尸，大树的高x米.为了减小测量误差；小组在测量两个角

的度数和大树高度时.都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如卜.表（不完整）.

课期测量无影塔的高度

成员组长：XXX组员：XXX、XXX、XXX

测量

测量角度的仪器，皮尺等

工具

J4

测量//说明：线段C。表示大树，线段AA表示无影塔，点4、

示意£/—£。在同一条直线上，且点A、B、C、。都在同竖直

图平面内.

41

DB

测量项目第一次第二次平均值

a59.8°60.2°a

测量

数据

P24.7°253°b

X5.96.1m

・・・

任务一：表中4=,b=,m=

任务二：请你帮小组的同学求出无影塔44的高度（结果精确到0.1,参考数据sin25。《0.42,cos25°«0.90,

tan25。=0.47,6=1.73）；

【答案】任务一：60°,25°,6；任务二：无影塔的高度A8的高度22.1米.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题以及平均数，熟练掌握锐角三角函数定义是解题

的关键.任务一：由平均数的定义分别列式计算即可；

任务二：由锐角三角函数定义求出班＞的长，再由锐角三角函数定义求出AB的长即可.

,坐w八—59.80+60.2°.24.70+25.3°__5.9+6.1.

【I卜解】解：任务一：。=---------=60°,b=----------------=25c,m=---=6,

///

故答案为：60。，25°,6；

任务二：由题意可知，8=6米，ZA£＞B=60°,NCBD=25。,

tanZCBD=—=tan25°»0.42,—=-«12.77（米）,

BD0.470.47

•.­tanZADB=^=tan60°=\/3,AB=y/3BD=1.73x）2.77«22.1（米），

HD

答：无影塔的高度AB的高度约为22.1米.

例2.（2024・贵州遵义•模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字.小茜想测

量绝壁上"美''字AG的高度，根据平面镜反射原理“J推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角

（如图中=NDFC=NGFB）,具体操作如下：洛平面镜水平放置于E＞处，小茜站在C处观

测，俯角NMOE=45。时，恰好通过平面镜看至U“美”字顶端A处（CO为小茜眼睛到地面的高度），再将平面

镜水平放置于r处观测，俯角/知/邛=36.9。时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处.测得AE=163.3m,

C七=1.5m,点C,E,F,3在同一水平线上，点A,G,3在同一铅垂线上.（参考数据：sin36.9°«0.60,

cos36.9°«0.80,tan36.9°工0.75)

A

(1)CQ的高度为m,"的长为m；⑵求“美”字AG的高度.

【答案】(1)1.5,2(2)41.2m

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：

(1)证明△DCE是等腰直角三角形，即可求得OC=CE=1.5m,解直角三角形即可求得C尸=2m；

(2)根据等腰直角三角形的性质得到A8=3E=163.3m,进一步求得8尸=162.8m,然后解直角三角形即

nJ求得BG=122.1m,即“J求得AG=41.2m.

【详解】(1)解：•••47力石=45。，.•./。瓦;=45。，

■：DCLBC,..△OCK是等腰宜为二角形，..DC-CE-\.5m,

在尸中，ZDFC=36.9°,DC=15m,J=M=2.5(m),

sin36.900.60

CF=VOF2-DC2=>?2-52-l-52=2(m)；故答案为：1.5,2；

(2)-.ZDEC=45°,/.ZA£«=45O,/.ZBAE=45°/.AB=BE=163.3m,

由题意可知NMDF=36.9°,j.NGFB=ZDFC=ZMDF=36.9。

,/EF=CF—CE=2—1.5=0.5(m),:.BF=163.3—0.5=162.8(m).

在RlABFG+，BG=tanNGFB•HF=0.75x162.8=122.1(m),

：AG=163.3-122.1=4l.2(m),即“美”字的高度AG约为41.2m.

例3.(2024.湖南娄底.模拟预测)如图，某小山。£高412米，其斜坡。。的坡度为，=1:1,它的前面有一

座建筑物.为了测量建筑物A8的高度，在山顶。和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为30。，

60。.求建筑物A8的高度.(结果精确到0.1米，1.41,73«1.73)

【答案】建筑物A〃的高度约为130.8米.

【分析】本题主要考杳了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

由DE=412米，斜坡。C的坡度为i=l：l，得到CK=DE=412米，根据三角函数的定义得到8C=走AB,

3

过A作则A”=4£=412+正AB,HE=AB,根据三角函数的定义即可解答.

3

【详解】解：在Rtz\C£＞七中，,・，DE=412米，斜坡0c的坡度为i=1：1,二CE=OE=412米，

在RtZ\A8C中，VZACB=60°,AtanZACB=—=tan60°=^,BPBC=—AB,

BC3

过A作AHJ.。石于“，贝ljA〃=8E=412+且A8,HE=AB，

3

r-r-/r-\

在RSAO“中，。〃=乎412+乎A3,

/

・•・DE=DH+HE=—[412+—.^]+AB=4\2,：.AB比130.8.

33

答：建筑物AB的高度约为130.8兴.

习题练模型

1.12024•河北保定•一模）如图，为了测量空中某点A离地面的高度，小敏利用测角仪在点3、C分别测得A

的仰角乙4C。为37。，NABD为45。,地面上点4、C、。在同一水平直线上，3c=20m,则点A离地面

的高度为。长为（）

A.30mB.80mC.60mD.50m

【答案】C

【分析】本题考查三角函数解直角三角形.根据题意可设4）=BO=x,I耳利用△AC力中tanZACD即可得到

本题答案.

【详解】解：由题意可知，ADLCD,

.・./AOC=90。，

为45。，

・•・DAB=90°-45°=45°=ZADB.

・••设AO=8O=x,

,?BC=20m,

，DC=20+x,

AJ）r

・•・在中，tan37。=——=——大0.75,

DC20+x

解得：A~60.

点A离地面的高度40长为60m

故选：C.

2.（2024・广东•模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面

盘立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座。点2米的A点处测量，塑像底部。点的仰角

为45。，顶部8点的仰角为60。，点8,C,。在同一条直线上，则塑像的高度8c为（）

爸A

A.（2&—2）米B.半米C.仅由-2）米D.（6-1）米

【答案】C

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在Ra4X:中，OC=ADtanND4C=2,在RtZ\A5。中，

8Q=AZ>tan/84O=2G，即可求出答案.

【详解】解：由题意得，在RSADC中，

DC=AOtanZ.DAC=2xtan45°=2,

在RtAABD中，BD=A[>tanWBAD=2tan60c=?5,

：.CB=BD-DC=（2>[3-2^米.

故选：C

3.（23-24九年级上.山东济宁•阶段练习）如图所示，热气球的拱测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部8

处的仰角为。，看这栋楼底部C处的俯角为用，热气球4处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为（）

A.120(tana+tan^)mB.120(tana-tan/3)\wC.120(sin(z-sin/7)mD.120(sina+tan/?)m

【答案】A

【分析】过点A作AO_Z3C,垂足为。，根据题意可得：AO=120m,然后分别在R^ABD和R^ADC中,

利用锐角三角函数的定义求出8。和CO的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：过点A作AO/8C,垂足为。，

由趣意得：AO=120/〃，

在RlAuAB。中，ZBAD=a,

BD=AD-(ana=120tana(m),

在R3ADC中，ZDAC=p,

CD=AD-(anfl=120tan/7(m),

BC=BDiCD=(120tailaI120tanfl)=120(3】aItan/?)m,

A这栋楼的高度为12(Xtan«4-tan/?)m,

故选：A.

4.(23-24九年级上•河北保定•期末)图1,2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD

的高度为2米，支架AC的长为4米，AC的坡度为1•布,吊绳48与支架4C的夹角为80。，吊营AC与地面

成70。角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是()米？(精确到0.1米；参考数据：sinl(T=cos80o^).17,

cosl00=sin80°M).98,sin200=cos70°^0.34,Uin70°*2,75,sin70°«0.94)

图1图2

A.13.1B.12.9C.12.5D.11.3

【答案】A

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得J.〃巴

AE±HE,8=2米，AC=4米，ZS4BC=8O°,ZACE=70°,由8c的坡度为］：石，可得NBC〃=30。,

进而得到NAC8=80。，即得NABC=NAC8,得到AB=AC,过点A作AW_L8C于M,可得CM=8M=2

米，解R^ACM得4。=黑=当米，进而解Rt~4CE可得人£=迎乂0.94。11.1米，即可得到

。171717

A£+C£>=13.1米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关瘦.

【详解】解：如图，由题可知，BHLHE,AEA.HE,8=2米，4c=4米，Z4BC=80°.ZACE=70°,

VBC的坡度为1历,

・i_1_x/3

••Ian/BCH------――^="——,

CH63

工/BCH=30。，

•・•ZBC/7+ZACB+ZACE=18O°,

:.ZACB=80°,

*.•ZABC=80°.

JN4AC=Z4C8,

JAB=AC,

过点A作AM_L3。于M,

・・・CN=8M=2米,

•・•在R^ACM中，CM=2米，ZAC5=80°,

CM

・•・cosNACB=—=cos80°^0.17,

AC

喈米,

・・.AC=

0.170.17

?（X）

•・•在ACE中，AC=」米，ZACE=70°,

17

4/7

—=sinZACE=sin70°«0.94.

AC

.Ar200.188-1业

..AE=-----x0.94=-----=11.1米，

1717

:.AE+C£)=1L1+2=13.1米，

，点A到地面的距离为13.1米,

故选：A.

A

图2

5.（2023・湖北武汉•模拟预测）如图，建筑物CO高度为17m,从建筑物的楼顶A测得。点的俯角。为35。,

测得。点俯角夕为45。，则的长为m.（已知tana=0.70,结果保留一位小数.）

【答案】56.7

【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等角对等边，过。作OESA8于点

E,则四边形8C£应是矩形，得CD=BE=17m,BC=DE,设A8=8C==,则AE=（x-17）m,

再根据解直角三角形和解方程即可求解，根据题意条件并结合适当的辅助线是解题的关键.

【详解】如图，过。作点:E,

/.LEBC=NBEC=乙DCB=90°,

・•・四边形3CDE是矩形，

ACD=BE=17m,BC=DE,

由题意得：ZEDA=a=35°,ZBC4=/?=45°,

・•・ZBAC=ZBCA=45°,

・••AB=BC=DE,

设AB=8C=OE=AHI,则AE=（x-⑺m,

Ap

在中，tanNEDA=-----,

DE

:.tan350=^^=0.70,

X

解得：x»56.7,

经校验：x=56.7为原方程的解，且符合题意，

，AB=56.7,

故答案为:56.7.

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒

泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”，如图，神舟十八号载人飞船从地面。处成功发射，当飞船

到达点A时，地面。处的雷达站测得4）=4000米，仰角为37。，0.3秒后，飞船直线上升到达点8处，此

时地面C处的雷达站测得6处的仰角为45。，点在同一直线上，已如两处相距460米，则飞船

从A到8处的平均速度为米/秒.（结果精确到1米;参考数据：疝37。、0.60.8537。乏0.80,匕1137。穴0.75）

【答案】H33

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

根据题意可得：NBOC=90。，先在RsAO/）中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AO,DO的长，从

而求出。。的长，然后在RS80C中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，从而求出A8的长，进行计算

即可解答.

【详解】由题意得：N80C=90。,在Rt△AOD中,AO=4000米,ZA£>0=37。、

・'-DO=-空7b黑=：QA（米）40=布历^+=_04=4000,

tanZADO0.753丫（3J3

解得：。4=2400米，00=3200米，

•・•8=460米，

/.OC=ODCD=3200460=2740米,

<Ri^BOC中,乙BCO=45。,

:.BO=OCtan45°=2740米,

AB=08-04=2740-2400=340米，

R40

・•・飞船从A到B处的平均速度=而。1133（米/秒）,

故答案为：1133.

7.（2024•河南•模拟预测）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州巾郑东新区，因为其是

圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为C8。的一座新地标建筑.某数学兴

趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45。，然后爬到该

楼房顶端8点处观测“大玉米”底部。处的俯角是30。.已知楼房A8高约是162m,根据以上观测数据求“大

玉米”的高.（结果保留整数，参考数据：及2sl.41,6f.73）

C

AD

【答案】280米

【分析】在即A/W。中由边角关系求出4。的长，在心ZkAC。中，求出C。即可.

【详解】解：如图,

由题意可知，ZCAD=45°,NEBD=30°=NADB,4B=OE=162米,

A8=华=

在RSA8D中，Vtan30°=­，：.AD&162G（米），

A。T

在R@4C。中，ZCAD=45°,

.\CD=^D=162X/3«280（米），

答：“大玉米”的高约为28（）米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

8.（2024.浙江•二模）高楼A3和斜坡CO的纵截面如图所示，斜坡。。的底部点C与高楼43的水平距离C3

为30米，斜坡C。的坡度（坡比）i=l:2.4,坡顶。到8C的垂直距离。石=10米，在点。处测得高楼楼顶

点A的仰角为50。，求楼的高度A8（结果精确到05米）.（参考数据:Sin500Ho.766,cos50c«0.643,

tan50°«1.192)

【答案】高楼的高度A8为17.2米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题

目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

过点。作垂足为尸，根据题意川.得。石=“=10米，DF=BE,先利用斜坡8的坡度，求出CE

的长，从而求出庭;，力产的长，然后在尸中，利用锐角三角函数的定义求出好的长，进而即可解答.

【详解】解：如图，过。作。尸_LAB,

/DFB=Z.FBE=NBED=90°,

・•・四边形户是矩形，

DE=BF=\0米，DF=BE,

由题意，得D崇F=，1，

CE2.4

・•・CE=2ADE=2Ax10=24米，

•・•BC=30米，

・•・。尸=8E=30-24=6米,

Ap

在R^AO/中，tanZ^DF=tan50°=—

DF

，AF=DFt<ui50°u6x1.192=7.152