【25秋季】新人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数名师教案

分课时教学设计第五课时《22.3实际问题与二次函数》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析二次函数的应用本身是学习二次图数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润学生易于理解和接受。目的在于让学生通过掌握求面积，利润最大这一类题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。学习者分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。教学目标1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．教学重点综合运用二次函数的图象及性质解决实际生活中的问题.教学难点将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．学习活动设计教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1：通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。（1）y=6x2+12x（2）y=-4x2+8x-10以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？学生活动1：教师提出问题，学生回答解：（1）y=6（x+1）2-6，抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标是（-1，-6）。y=-4（x-1）2-6，抛物线的开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标是（1，-6）。学生思考并回答函数y=6x2+12x有最小值，最小值y=-6，函数y=-4x2+8x-10有最大值，最大值y=-6。活动意图说明：复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．环节二：新知探究教师活动2：【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.如何求出小球的最大高度呢？一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=-b2a时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值学生活动2：教师引导学生，得出结论学生回答问题当t=－b2a=－302×h有最大值4ac-b也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m.师生共同总结活动意图说明：让学生得出求二次函数的最小(大)值的结论，体会由特殊到一般的思想方法．环节三：新知讲解教师活动3：【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时，场地的面积S最大，最大面积是多少？这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？结合题目内容，已知用总长为60m的篱笆围成矩形场地，其中一边为x米，则另一边如何表示呢？如何求出场地的最大面积呢？学生活动3：教师提出问题，学生积极回答问题根据题意列方程：S=x(30－x)整理后得：S=-x当x=－b2a=15时，S=4ac-b当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225㎡活动意图说明：让学生在解决实际问题的过程中体会与二次函数之间的联系.环节四：典例精析教师活动4：如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。如何解决面积最大问题面积最值问题：①找好自变量；②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；③利用函数的最值解决面积最值问题。注意：自变量的取决范围。学生活动4：教师提出问题，学生积极回答问题解：1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）2）当x=-b2a=3时，Smax=43)∵墙的可用长度为8米∴0<24－4x≤8∴4≤x<6∴当x＝4cm时，S最大值＝32平方米学生思考，师生共同归纳活动意图说明：让学生掌握利用二次函数解决几何最值问题的方法．环节五：新知讲解教师活动5：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【销售最大利润问题关键】通过售价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题当每件涨价x元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？如何定价才能使每周利润最大化？1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本____________________元，因此周利润合计为:当每件降价a元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？如何定价才能使每周利润最大化？由上面的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生活动5：学生思考，试着解答此题10x；30-10x；60+x；(60+x)(300-10x)；40×(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10x-52当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元(60－a)元，（300+20a）件，40(300+20a)，(60－a)(300+20a)元，(60－a)(300+20a)－40(300+20a)元．将利润的式子化简后，得利润y=(60－a)(300+20a)－40×(300+20a)=-20当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元学生通过比较得出答案因为6250＞6125，所以涨价5元时利润最高．活动意图说明：通过让学生独立完成，提升学生解决实际问题的能力和应用函数知识解决实际问题的意识．环节六：新知讲解教师活动6：如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m,水面宽度为多少？水面宽度增加多少？如何建立直角坐标系？根据所建立的直角坐标系，尝试解决这个问题．建立如图所示直角坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为y=ax由抛物线过点(2,-2)得-2=a×4，a=-1所以这条抛物线表示的二次函数为y将y=-3带入二次函数得，x∴∴水面的宽度增加了（26-4）建立如图所示直角坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2由抛物线过点(2,0)、（0,2）所以这条抛物线表示的二次函数为y=-将y=-1带入二次函数得，x∴∴水面的宽度增加了（26-4）简述利用二次函数解决拱桥问题的方法？（1）建立适当的平面直角坐标系。（2）根据题意找出已知点的坐标。（3）求出抛物线解析式。（4）直接利用图象解决实际问题。学生活动6：学生小组讨论解决问题的方法，出现以下3种情况：1）有的小组是将抛物线顶点作为坐标系原点．2）有的小组是在宽度为4m的水面中点作为坐标系原点．有的小组是以宽度为4m的水面的左或右端点作为坐标系的顶点．学生以小组为单位，通过计算给出答案．并尝试选用不同的直角坐标系求解这个问题．教师通过多媒体给出具体求解过程．先由学生回答，再由教师引导学生，得出如下结论活动意图说明：通过思考和讨论，使学生能够更好地将函数知识应用到实际生活中，培养学生的应用意识．板书设计一、几何面积最大问题二、利润最大问题三、建立坐标系解决实际问题课堂练习【知识技能类作业】必做题：1、用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形，S的值不可能为()A．20B．40C．100D．1202.某栋建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直）（如图）。如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流下落点B离墙距离OB是（A.2mB.3mC.4mD.5m3、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个。若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价___元，最大利润______元。4.如图所示是山西省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A,B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D,E为桥拱底部的两点，且DE//AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为____m。选做题：5．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【综合拓展类作业】6．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/g，不高于45元/g，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/g(1)求y关于x的函数表达式：(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】课堂总结1.用二次函数解实际问题的常用方法2.用二次函数解实际问题的一般步骤作业设计【知识技能类作业】必做题：1.某青年公寓有100张床位，每张床位的日租价为10元时，公寓的床位可全部出租.若每张床位的日租价提高1元，则租出的床位就会减少5张，按此种情况，要想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高__________元.2.一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大.选做题：3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(

)A．y=26675x2 B．y=-26【综合拓展类作业】4.如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度53m.设羽毛球飞行的高度为ym，飞行的水平距离为x（1）求羽毛球经过的路线对应的函数解析式.（2）通过计算，判断此球能否过网.教学反思