2024-2025学年度北师大版9年级数学上册期中试题附参考答案详解（突破训练）

北师大版9年级数学上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(

)A．k＜且k≠﹣2 B．k≤ C．k≤且k≠﹣2 D．k≥2、如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（）A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG3、已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B．C．且 D．4、某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1005、如图，在四边形ABCD中，，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6、若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．127、如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（

）A．2 B． C． D．二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（）A．15 B．16 C．17 D．182、已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（

）A．若，则方程必有实数根B．若，，则方程必有两个不相等的实根C．若是方程的一个根，则一定有成立D．若是一元二次方程的根，则3、已知关于的方程，下列判断正确的是（

）A．当时，方程有两个正实数根 B．当时，方程有两个不等实根C．当时，方程无解 D．不论为何值时，方程总有实数根第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____．3、如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.4、有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．5、写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．6、如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为_____．7、边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．8、为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．9、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．10、如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3.如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，如果直线EF经过点D，那么线段BE的长是____．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2、如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.3、用适当的方法解下列方程：(1)x2－x－1＝0；(2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－2x＋1＝0；(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．4、如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，点E从点B沿BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C沿CD以1cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动的时间．5、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．6、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，解得：k≤且k≠-2，故选C．【考点】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．2、A【解析】【分析】根据四边形ABCD为正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根据四边形CEFG为正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再证∠BCG=∠DCE，△BCG与△DCE具有可旋转的特征即可【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∵四边形CEFG为正方形，∴GC=EC，∠GCE=90°，∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCE，∴BG=DE，故选项A．【考点】本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键．3、C【解析】【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．【考点】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．4、A【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）2=100，故选A．【考点】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．5、D【解析】【分析】由，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误．【详解】解：∵，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；∵AD＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确；∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝，故⑤正确；∴正确的个数有5个，故选D．【考点】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质．解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形．6、C【解析】【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【考点】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．7、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM⊥BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CF：BC=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD；∴∠ADE=∠CBD，∵AD=BC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF，又∵AM⊥BC，∴AM⊥AD；∵CN⊥AD，∴AM∥CN，∴AE∥CF；∴四边形AECF为平行四边形，∵EA=EC，∴▱AECF是菱形，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵M是BC的中点，AM⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；在Rt△BCF中，CF：BC=，又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=．故选：B．【考点】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD是菱形是解题的难点．二、多选题1、BC【解析】【分析】分3为底边长或腰长两种情况考虑：当3为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系即可求得的值；当3为腰时，则a、b中有一个为3，a+b=8即可求出b，再利用根与系数的关系即可求得的值．【详解】解：当3为腰时，此时a＝3或b＝3，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当3为底时，此时a＝b，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：BC．【考点】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，分3为底边长或腰长两种情况讨论是解题的关键．2、ABD【解析】【分析】A正确，利用判别式判断即可．B正确，证明Δ＞0，即可判断．C错误，c＝0时，结论不成立．D正确，利用求根公式，判断即可．【详解】解：A、当x=2是，4a＋2b＋c＝0，故x＝2是方程的根；则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根，A正确，B、∵Δ＝b2−4ac＝（3a＋2）2−4a（2a＋2）＝9a2＋12a＋4−8a2−8a＝a2＋4a＋4＝（a＋2）2，∵a＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故B正确．C、∵若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，∴c（ac＋b＋1）＝0，∴c＝0或ac＋b＋1＝0，故C错误．D、∵t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根∴t＝，∴b2−4ac＝（2at＋b）2，故D正确，故答案为：A，B，D．【考点】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．3、AC【解析】【分析】根据根的判别式代入k值计算即可得到答案．【详解】解：A、当时，，解得，，选项说法正确，符合题意；B、当时，，，所以方程无实数根，选项说法错误，不符合题意；C、当时，，，所以方程无解，选项说法正确，符合题意；D、不论为何值时，方程不一定有实数根，选项说法错误，不符合题意；故选AC．【考点】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程跟的判别与方程解得关系．三、填空题1、【解析】【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，∴小球停在黑色区域的概率是；故答案为：【考点】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．2、3【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为3．【考点】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．3、3【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8；∵S菱形ABCD=24，∴AC=6；∵AH⊥BC，OA=OC，∴OH=AC=3.故答案为3.【考点】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.4、【解析】【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．【详解】如图当、、三点共线，距离最小，∵，为的中点，∴，，，故答案为：．【考点】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．5、x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【解析】【分析】这是一道开放自主题，只要写出的方程的Δ＞0就可以了．【详解】解：比如a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程为x2+x﹣1＝0．故答案为：x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6、【解析】【分析】取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．根据菱形的性质，可得△ADB是等边三角形，从而得到△AEN是等边三角形，可证得△AEF≌△NEG，进而得到点G的运动轨迹是射线NG，继而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH和Rt△ECH中，由勾股定理，即可求解．【详解】如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∴D，E关于射线NG对称，∴GD＝GE，∴GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，∴BH＝BE＝，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝，∴GD+GC≥，∴GD+GC的最小值为．故答案为：．【考点】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．7、2a2【解析】【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积＝大正方形的面积的+小正方形的面积﹣直角三角形的面积．【详解】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积＝（2a）2+a2﹣•2a•3a＝4a2+a2﹣3a2＝2a2．故答案为：2a2．【考点】本题考查正方形中不规则图形面积的求法，解题的关键是利用正方形的性质，通过规则图形进行求解．8、x（x﹣1）=21【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为x（x﹣1）=21．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．9、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．10、【解析】【分析】根据题意作出图形，根据矩形的性质与折叠的性质证明，进而勾股定理求得，即可求得，根据折叠，即可求解．【详解】解：如图∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，四边形ABCD是矩形在中，故答案为：【考点】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．四、解答题1、（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元【解析】【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x1=35，x2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【考点】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2、105°【解析】【分析】首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE＝2AO，即可求得∠AEO＝30°，继而求得答案．【详解】作AO⊥FB的延长线,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝AC∵AE＝AC

∴AO＝AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC

∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE

∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC

∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°【考点】本题考了正方形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质，解题关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．3、(1)，(2)x1＝，x2＝2(3)x1＝，x2＝(4)x1＝－4，x2＝－5【解析】【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x＝＝即原方程的根为x1＝，x2＝(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝，x2＝2．(3)解：配方，得（x－）2＝1，∴x－＝±1．∴x1＝＋1，x2＝－1．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．【考点】本