高中数学期中考试复习资料汇编

高中数学期中考试复习资料汇编引言期中考试是高中数学学习的重要节点，既是对前期知识的综合检验，也是后续学习的重要铺垫。复习的核心目标是夯实基础、理清脉络、突破易错点、掌握解题方法。本文按照高中数学核心模块（函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何）分类，梳理关键知识点、易错点及解题策略，结合典型例题，为复习提供系统参考。一、函数模块：定义域为根，性质为魂函数是高中数学的“基石”，期中考试重点考查基本概念、常见函数性质及图像变换。（一）核心知识点1.函数三要素：定义域（优先考虑）、值域、对应法则。定义域求法：分式分母≠0；偶次根号内≥0；对数真数>0；指数、幂函数底数≠0（如\(y=x^0\)中\(x≠0\)）。值域求法：配方法（二次函数）、换元法（如\(y=x+\sqrt{x-1}\)）、单调性法（如\(y=x+\frac{1}{x}\)）、数形结合法（如绝对值函数）。2.函数性质：单调性：定义法（取值→作差→变形→定号）、复合函数单调性（“同增异减”，注意定义域）、导数法（后期学习，可辅助判断）。奇偶性：定义法（\(f(-x)=±f(x)\)）、图像法（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）。周期性：定义法（\(f(x+T)=f(x)\)，\(T>0\)）、常见周期函数（如\(y=\sinx\)周期\(2π\)，\(y=\cosx\)周期\(2π\)，\(y=\tanx\)周期\(π\)）。3.常见函数模型：一次函数（\(y=kx+b\)）、二次函数（\(y=ax²+bx+c\)，顶点式\(y=a(x-h)²+k\)）、指数函数（\(y=a^x\)，\(a>0\)且\(a≠1\)）、对数函数（\(y=\log_ax\)，\(a>0\)且\(a≠1\)）、幂函数（\(y=x^α\)，\(α\)为常数）。（二）易错点警示定义域优先：求函数值域、单调性时，必须先确定定义域。例如\(y=\log_2(x²-2x-3)\)，需先解\(x²-2x-3>0\)得\(x<-1\)或\(x>3\)，再讨论单调性。复合函数单调性：忽略内层函数的值域是外层函数的定义域。例如\(y=\sqrt{x²-1}\)，内层函数\(t=x²-1\)的值域为\([0,+∞)\)，外层函数\(y=\sqrt{t}\)在\([0,+∞)\)上递增，故复合函数在\((-∞,-1]\)递减、\([1,+∞)\)递增。奇偶性判断：忽略定义域关于原点对称。例如\(f(x)=x²\)（\(x∈[0,1]\)），定义域不关于原点对称，非奇非偶。（三）典型例题例1：求函数\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\)的定义域。解：由\(\begin{cases}x+2≥0\\x-1≠0\end{cases}\)，得\(x≥-2\)且\(x≠1\)，故定义域为\([-2,1)∪(1,+∞)\)。例2：判断函数\(f(x)=x³+\sinx\)的奇偶性。解：定义域为\(R\)，\(f(-x)=(-x)³+\sin(-x)=-x³-\sinx=-(x³+\sinx)=-f(x)\)，故\(f(x)\)为奇函数。二、数列模块：通项为纲，求和为目数列是“离散型函数”，期中考试重点考查等差/等比数列性质、通项公式、求和方法。（一）核心知识点1.等差/等比数列基本公式：等差数列：通项\(a_n=a_1+(n-1)d\)；求和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)；性质（如\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，当\(m+n=p+q\)时）。等比数列：通项\(a_n=a_1q^{n-1}\)；求和\(S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},&q≠1\end{cases}\)；性质（如\(a_m·a_n=a_p·a_q\)，当\(m+n=p+q\)时）。2.递推数列求通项：累加法（适用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)，如\(a_{n+1}=a_n+2n\)）；累乘法（适用于\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)，如\(a_{n+1}=2n·a_n\)）；构造法（适用于\(a_{n+1}=pa_n+q\)，如\(a_{n+1}=2a_n+1\)，构造\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)）。3.数列求和方法：分组求和（如\(a_n=2^n+n\)，分拆为等比数列+等差数列）；错位相减法（适用于\(a_n=b_n·c_n\)，\(b_n\)等差、\(c_n\)等比，如\(a_n=n·2^n\)）；裂项相消法（适用于分式数列，如\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)）。（二）易错点警示等比数列求和：忽略\(q=1\)的情况。例如求\(S_n=1+1+1+…+1\)（\(n\)项），需用\(S_n=na_1\)，而非\(\frac{1-1^n}{1-1}\)（无意义）。递推数列起始值：累加法/累乘法时，\(n\)的起始值需与递推式一致。例如\(a_{n+1}=a_n+2n\)（\(n≥1\)），则\(a_2-a_1=2×1\)，\(a_3-a_2=2×2\)，…，\(a_n-a_{n-1}=2×(n-1)\)，相加得\(a_n=a_1+n(n-1)\)（\(n≥2\)），需验证\(n=1\)是否成立。裂项相消错误：如\(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})\)，而非\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\)（遗漏系数\(\frac{1}{2}\)）。（三）典型例题例3：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_7\)。解：由等差数列性质，\(a_5-a_3=2d=4\)，得\(d=2\)，故\(a_7=a_5+2d=9+4=13\)。例4：求数列\(\{n·2^n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。解：\(S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ\)，\(2S_n=1×2²+2×2³+…+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹\)，两式相减得：\(-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=2(2ⁿ-1)-n×2ⁿ⁺¹\)，故\(S_n=(n-1)×2ⁿ⁺¹+2\)。三、三角函数模块：定义为基，变换为桥三角函数是“周期性函数”，期中考试重点考查三角恒等变换、图像与性质、解三角形。（一）核心知识点1.三角函数定义：单位圆中，\(\sinα=y\)，\(\cosα=x\)，\(\tanα=\frac{y}{x}\)（\(x≠0\)）；终边相同角（如\(\sin(α+2kπ)=\sinα\)，\(k∈Z\)）。2.三角恒等变换：诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”（如\(\sin(π-α)=\sinα\)，\(\cos(\frac{π}{2}-α)=\sinα\)）；同角关系：\(\sin²α+\cos²α=1\)，\(\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}\)；和差公式：\(\sin(α±β)=\sinα\cosβ±\cosα\sinβ\)，\(\cos(α±β)=\cosα\cosβ∓\sinα\sinβ\)；二倍角公式：\(\sin2α=2\sinα\cosα\)，\(\cos2α=2\cos²α-1=1-2\sin²α=\cos²α-\sin²α\)；辅助角公式：\(a\sinα+b\cosα=\sqrt{a²+b²}\sin(α+φ)\)（\(φ\)由\(\tanφ=\frac{b}{a}\)确定）。3.三角函数图像与性质：周期性：\(y=\sinx\)、\(y=\cosx\)周期\(2π\)，\(y=\tanx\)周期\(π\)；单调性：\(y=\sinx\)在\([-\frac{π}{2}+2kπ,\frac{π}{2}+2kπ]\)递增，\([\frac{π}{2}+2kπ,\frac{3π}{2}+2kπ]\)递减（\(k∈Z\)）；最值：\(y=\sinx\)、\(y=\cosx\)最大值1，最小值-1；\(y=\tanx\)无最值。4.解三角形：正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为外接圆半径）；余弦定理：\(a²=b²+c²-2bc\cosA\)，\(\cosA=\frac{b²+c²-a²}{2bc}\)；面积公式：\(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}ab\sinC\)。（二）易错点警示诱导公式符号：判断符号时，需将\(α\)视为锐角。例如\(\cos(π+α)=-\cosα\)（\(π+α\)在第三象限，\(\cos\)为负）。辅助角公式系数：\(a\sinα+b\cosα\)的系数是\(\sqrt{a²+b²}\)，而非\(a+b\)。例如\(\sinα+\sqrt{3}\cosα=2\sin(α+\frac{π}{3})\)（\(\sqrt{1²+(\sqrt{3})²}=2\)）。解三角形多解：已知两边及其中一边的对角（如\(a,b,A\)），需判断解的个数。例如\(a=3\)，\(b=4\)，\(A=30°\)，由\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2}{3}\)，得\(B=\arcsin\frac{2}{3}\)或\(π-\arcsin\frac{2}{3}\)（均满足\(B>A\)），故有两解。（三）典型例题例5：化简\(\sin(π-α)\cos(\frac{π}{2}+α)\)。解：由诱导公式，\(\sin(π-α)=\sinα\)，\(\cos(\frac{π}{2}+α)=-\sinα\)，故原式\(=\sinα·(-\sinα)=-\sin²α\)。例6：求\(y=2\sinx-3\cosx\)的最大值。解：由辅助角公式，\(y=\sqrt{2²+(-3)²}\sin(x+φ)=\sqrt{13}\sin(x+φ)\)，故最大值为\(\sqrt{13}\)。四、立体几何模块：空间想象，定理为纲立体几何是“空间思维训练”，期中考试重点考查空间点线面位置关系、空间角、表面积与体积。（一）核心知识点1.空间几何体结构：棱柱（侧棱平行且相等，底面全等）、棱锥（底面多边形，侧面三角形）、圆柱（矩形旋转）、圆锥（直角三角形旋转）、球（半圆旋转）。2.表面积与体积：棱柱：表面积=侧面积+2×底面积；体积=底面积×高；棱锥：体积=\(\frac{1}{3}\)×底面积×高；球：表面积=4πR²；体积=\(\frac{4}{3}\)πR³。3.空间点线面位置关系：平行：线面平行（判定：平面外直线与平面内直线平行）；面面平行（判定：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行）；垂直：线面垂直（判定：直线与平面内两条相交直线都垂直）；面面垂直（判定：一个平面过另一个平面的垂线）。4.空间角：异面直线所成角：范围\((0°,90°]\)，用向量法（\(\cosθ=|\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}|\)）；线面角：范围\([0°,90°]\)，用几何法（直线与平面中射影的夹角）；二面角：范围\([0°,180°]\)，用向量法（平面法向量夹角）。（二）易错点警示线面平行判定：忽略“直线在平面外”。例如，平面内一条直线与平面内另一条直线平行，不能判定线面平行。面面垂直性质：忽略“直线在平面内且垂直于交线”。例如，面面垂直时，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，需垂直于交线。空间角范围：异面直线所成角不能为0°（否则共面），线面角不能为180°，二面角可以为180°（平二面角）。（三）典型例题例7：在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，证明\(A_1B∥\)平面\(ACD_1\)。解：连接\(AB_1\)，交\(A_1B\)于\(O\)，则\(O\)为\(AB_1\)中点。连接\(OD_1\)，在\(\triangleAB_1D_1\)中，\(O\)为\(AB_1\)中点，\(D_1\)为\(B_1D_1\)中点，故\(OD_1∥A_1B\)。又\(OD_1⊂\)平面\(ACD_1\)，\(A_1B⊄\)平面\(ACD_1\)，故\(A_1B∥\)平面\(ACD_1\)。例8：求半径为2的球的表面积和体积。解：表面积=4π×2²=16π；体积=\(\frac{4}{3}\)π×2³=\(\frac{32}{3}\)π。五、解析几何模块：坐标为工具，几何为本质解析几何是“用代数方法研究几何问题”，期中考试重点考查直线与圆、圆锥曲线基本性质。（一）核心知识点1.直线与方程：斜率公式：\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)（\(x_1≠x_2\)）；直线方程：点斜式（\(y-y_1=k(x-x_1)\)，适用于斜率存在）、斜截式（\(y=kx+b\)）、一般式（\(Ax+By+C=0\)，\(A,B\)不同时为0）。2.圆与方程：标准方程：\((x-a)²+(y-b)²=r²\)（圆心\((a,b)\)，半径\(r\)）；一般方程：\(x²+y²+Dx+Ey+F=0\)（\(D²+E²-4F>0\)，圆心\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)，半径\(\frac{1}{2}\sqrt{D²+E²-4F}\)）；直线与圆位置关系：圆心到直线距离\(d\)与半径\(r\)比较（\(d<r\)相交，\(d=r\)相切，\(d>r\)相离）。3.圆锥曲线：椭圆：定义（到两焦点距离之和为定值\(2a>2c\)）；标准方程（\(\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1\)，\(a>b>0\)）；性质（离心率\(e=\frac{c}{a}<1\)）；双曲线：定义（到两焦点距离之差绝对值为定值\(2a<2c\)）；标准方程（\(\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1\)）；性质（离心率\(e=\frac{c}{a}>1\)，渐近线\(y=±\frac{b}{a}x\)）；抛物线：定义（到焦点与准线距离相等）；标准方程（\(y²=2px\)，\(p>0\)，焦点\((\frac{p}{2},0)\)，准线\(x=-\frac{p}{2}\)）。（二）易错点警示直线方程适用范围：点斜式、斜截式不适用于斜率不存在的直线（如\(x=2\)）；截距式（\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)）不适用于截距为0的直线（如\(y=kx\)）。圆的一般方程条件：\(D²+E²-4F>0\)，否则不是圆（\(D²+E²-4F=0\)为点，\(<0\)无轨迹）。圆锥曲线定义：椭圆中\(2a>2c\)，双曲线中\(2a<2c\)，抛物线中\(e=1\)，不要混淆。（三）典型例题例9：求过点\((2,3)\)且与圆\(x²+y²=4\)相切的直线方程。解：①斜率存在时，设直线方程为\(y