第二节　第4课时　难点专攻夺高分（一） 导数在不等式中的应用 2026年高三数学第一轮总复习

难点专攻夺高分(一)

导数在不等式中的应用第4课时考法(一)

作差法构造函数证明不等式[例1]

已知函数f(x)=ax+xlnx在x=e-2(e为自然对数的底数)处取得极小值.(1)求实数a的值；(2)当x>1时，求证：f(x)>3(x-1).[解]

(1)因为f(x)=ax+xln

x，所以f'(x)=a+ln

x+1，因为函数f(x)在x=e-2处取得极小值，所以f'(e-2)=0，即a+ln

e-2+1=0，所以a=1，所以f'(x)=ln

x+2.当f'(x)>0时，x>e-2；当f'(x)<0时，0<x<e-2，所以f(x)在(0，e-2)上单调递减，在(e-2，+∞)上单调递增，所以f(x)在x=e-2处取得极小值，符合题意，所以a=1.命题视角一利用导数证明不等式(2)证明：由(1)知a=1，所以f(x)=x+xln

x.令g(x)=f(x)-3(x-1)，即g(x)=xln

x-2x+3(x>0).g'(x)=ln

x-1，由g'(x)=0，得x=e.由g'(x)>0，得x>e；由g'(x)<0，得0<x<e.所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，所以g(x)在(1，+∞)上的最小值为g(e)=3-e>0.于是在(1，+∞)上，都有g(x)≥g(e)>0，所以f(x)>3(x-1).证明形如A(x)>B(x)的不等式的关键点(1)构造新函数h(x)=A(x)-B(x)；(2)求h'(x)=A'(x)-B'(x)；(3)研究函数h(x)的单调性、极值、图象等(无法进行时，继续求导，研究h'(x)的单调性、极值、图象等，仍然无法进行时，继续求导研究)；(4)通过研究导数的性质，获得h(x)的性质，进而实现证明不等式A(x)>B(x)的目标.方法技巧

对于一些不等式可转化为f(x)≥g(x)的形式，证明f(x)min≥g(x)max即可，在转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.方法技巧

导数的综合应用题中，最常见的是ex和ln

x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln

x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下：(1)ex≥1+x，当且仅当x=0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x=1时取等号；方法技巧

针对训练

命题视角二利用导数研究不等式恒(能)成立问题

求解不等式恒成立问题的方法(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)=f(x)-g(x)

或“右减左”的函数u(x)=g(x)-f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论.(2)分离参数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y=a与函数y=v(x)图象的交点个数问题来解决.方法技巧考法(二)

不等式存在成立问题(1)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I).(2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2.

1.有关存在成立问题的解题方法∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min>g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在).其等价转化的基本思想是：函数y=f(x)的任意一个函数值大于函数y=g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y=g(x)的所有函数值.∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)<g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于函数g(x)在D2上的最大值(这里假设f(x)max，g(x)max存在).其等价转化的基本思想是：函数y=f(x)的任意一个函数值小于函数y=g(x)的某一个函数值，但并不要求小于函数y=g(x)的所有函数值.方法技巧2.注意不等式恒成立与存在成立的异同不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f(a)≥g(x)(f(a)≤g(x))对存在x∈D能成立等价于f(a)≥g(x)min(f(a)≤g(x)max)，f(a)≥g(x)(f(a)≤g(x))对任意x∈D都成立等价于f(a)≥g(x)max(f(a)≤g(x)min)，应注意区分，不要搞混.1.已知函数f(x)=x(lnx+a)+b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为2x-y-1=0.(1)求a，b的值；(2)若对任意的x∈(1，+∞)，f(x)≥m(x-1)恒成立，求正整数m的最大值.解：(1)由f(x)=x(ln

x+a)+b，得f'(x)=ln

x+a+1，由切线方程