高三数学几何专题习题集锦

高三数学几何专题习题集锦一、引言几何是高三数学的核心板块之一，在高考中占比约25%~30%，主要考查立体几何（空间位置关系、角与距离、体积）和解析几何（直线与圆、圆锥曲线）两大模块。本集锦聚焦高考高频考点，精选典型例题，配套详细解题思路与易错点提示，旨在帮助学生梳理知识体系、强化解题能力。二、立体几何专题立体几何考查空间想象能力与逻辑推理能力，重点是线面位置关系、空间向量应用及体积计算。（一）空间点、线、面位置关系例题1（线面平行的判定）在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)、\(F\)分别为\(AB\)、\(A_1D_1\)的中点，求证：\(EF\parallel\)平面\(BCC_1B_1\)。解题思路线面平行的判定需满足两点：①直线与平面内一条直线平行；②直线在平面外。步骤：1.取\(A_1B_1\)的中点\(G\)，连接\(EG\)、\(FG\)；2.由\(E\)、\(G\)为中点，得\(EG\parallelBB_1\)且\(EG=BB_1\)；3.由\(F\)、\(G\)为中点，得\(FG\parallelB_1C_1\)且\(FG=B_1C_1\)；4.四边形\(EGFB_1\)为平行四边形，故\(EF\parallelB_1G\)；5.因\(B_1G\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，\(EF\not\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，故\(EF\parallel\)平面\(BCC_1B_1\)。答案见解题思路。易错点提示遗漏“\(EF\not\subset\)平面\(BCC_1B_1\)”，导致证明不严谨；未正确构造辅助线（如取中点），无法找到平面内的平行直线。（二）空间角与距离（空间向量法）例题2（线面角的计算）在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，求直线\(AC\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值。解题思路线面角\(\theta\)的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值（\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\rangle|\)）。步骤：1.建立坐标系：以\(A\)为原点，\(AB\)、\(AC\)、\(AP\)为\(x\)、\(y\)、\(z\)轴，得\(A(0,0,0)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(0,2,0)\)、\(P(0,0,3)\)；2.直线\(AC\)的方向向量\(\overrightarrow{AC}=(0,2,0)\)；3.平面\(PBC\)的法向量：向量\(\overrightarrow{PB}=(2,0,-3)\)、\(\overrightarrow{PC}=(0,2,-3)\)，设法向量\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，则\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{n}=2x-3z=0\)，\(\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{n}=2y-3z=0\)，取\(z=2\)，得\(\overrightarrow{n}=(3,3,2)\)；4.计算\(\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|0\times3+2\times3+0\times2|}{2\times\sqrt{3^2+3^2+2^2}}=\frac{6}{2\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{22}\)。答案\(\frac{3\sqrt{22}}{22}\)。易错点提示混淆线面角与向量夹角（线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角的余弦值的绝对值）；法向量计算错误（需确保与平面内两条相交直线垂直）；坐标系建立不当（应选两两垂直的直线为轴，简化计算）。（三）体积与表面积（等体积转换）例题3（三棱锥体积计算）在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(AA_1=3\)，求三棱锥\(A_1-BCD\)的体积。解题思路三棱锥体积可通过换底面简化计算（\(V=\frac{1}{3}\times\)底面积\(\times\)高）。步骤：1.底面选\(\triangleBCD\)（面积易求），高为\(A_1\)到平面\(BCD\)的距离（即\(AA_1=3\)）；2.底面积\(S_{\triangleBCD}=\frac{1}{2}\timesBC\timesCD=\frac{1}{2}\times1\times2=1\)；3.体积\(V=\frac{1}{3}\times1\times3=1\)。答案\(1\)。易错点提示直接计算时找不到合适的高（如选\(A_1\)为顶点，底面\(BCD\)的高不易求）；忘记体积公式中的\(\frac{1}{3}\)系数；等体积转换时混淆顶点与底面的关系（需确保顶点到底面的距离可求）。三、解析几何专题解析几何考查代数与几何的结合能力，重点是直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义与方程及综合应用。（一）直线与圆例题4（直线与圆相切问题）已知直线\(l:kx-y+2=0\)与圆\(C:x^2+y^2-2x-3=0\)相切，求实数\(k\)的值。解题思路直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。步骤：1.圆\(C\)化为标准形式：\((x-1)^2+y^2=4\)，圆心\(C(1,0)\)，半径\(r=2\)；2.圆心到直线的距离\(d=\frac{|k\times1-0+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k+2|}{\sqrt{k^2+1}}\)；3.由\(d=r\)，得\(\frac{|k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=2\)，平方得\((k+2)^2=4(k^2+1)\)；4.整理得\(3k^2-4k=0\)，解得\(k=0\)或\(k=\frac{4}{3}\)。答案\(k=0\)或\(k=\frac{4}{3}\)。易错点提示未将圆方程化为标准形式（无法正确得到圆心和半径）；距离公式记错（分子是绝对值，分母是根号下系数平方和）；平方后未检验（虽本题无增根，但需养成检验习惯）。（二）圆锥曲线的定义与方程例题5（椭圆离心率的求法）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点为\(F_1\)、\(F_2\)，点\(P\)在椭圆上且\(PF_1\perpPF_2\)，求椭圆离心率\(e\)的最小值。解题思路利用椭圆定义（\(PF_1+PF_2=2a\)）和勾股定理（\(PF_1^2+PF_2^2=4c^2\)），结合均值不等式求解。步骤：1.设\(PF_1=m\)，\(PF_2=n\)，则\(m+n=2a\)，\(m^2+n^2=4c^2\)；2.由\((m+n)^2=m^2+2mn+n^2\)，得\(4a^2=4c^2+2mn\)，故\(mn=2(a^2-c^2)\)；3.由均值不等式\(m^2+n^2\geq2mn\)，得\(4c^2\geq4(a^2-c^2)\)；4.化简得\(8c^2\geq4a^2\)，即\(e^2\geq\frac{1}{2}\)，故\(e\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\)（当且仅当\(m=n=a\)时取等号）。答案最小值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。易错点提示忘记椭圆定义（\(PF_1+PF_2=2a\)）；未正确应用勾股定理（\(PF_1^2+PF_2^2=(2c)^2\)）；均值不等式使用不当（需注意等号成立条件）。例题6（双曲线渐近线与离心率）已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的渐近线方程为\(y=\pm2x\)，求双曲线的离心率\(e\)。解题思路双曲线渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，故\(\frac{b}{a}=2\)，结合离心率公式\(e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}\)求解。步骤：1.由渐近线方程得\(\frac{b}{a}=2\)；2.离心率\(e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。答案\(\sqrt{5}\)。易错点提示混淆渐近线方程形式（焦点在\(x\)轴上为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，焦点在\(y\)轴上为\(y=\pm\frac{a}{b}x\)）；离心率公式记错（\(e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}\)，而非\(\sqrt{1-(\frac{b}{a})^2}\)）。例题7（抛物线定义的应用）已知抛物线\(C:y^2=4x\)的焦点为\(F\)，点\(P\)在抛物线上且\(|PF|=5\)，求点\(P\)的坐标。解题思路抛物线定义：点\(P\)到焦点的距离等于到准线的距离。步骤：1.抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F(1,0)\)，准线方程\(x=-1\)；2.设点\(P(x,y)\)，由定义得\(|PF|=x+1=5\)，故\(x=4\)；3.代入抛物线方程得\(y^2=16\)，解得\(y=\pm4\)。答案\((4,4)\)或\((4,-4)\)。易错点提示准线方程记错（\(y^2=2px\)的准线为\(x=-\frac{p}{2}\)，本题\(p=2\)，故准线\(x=-1\)）；忘记抛物线定义（直接用距离公式计算，增加计算量）；漏解（\(y\)有正负两个值）。（三）圆锥曲线综合问题例题8（直线与椭圆弦长的最大值）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，直线\(l:y=kx+1\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，求弦长\(|AB|\)的最大值。解题思路联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解，再通过换元法求最大值。步骤：1.联立方程：将\(y=kx+1\)代入椭圆方程，得\(\frac{x^2}{4}+(kx+1)^2=1\)，整理得\((1+4k^2)x^2+8kx=0\)；2.设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，由韦达定理得\(x_1+x_2=-\frac{8k}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=0\)；3.弦长公式\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1+x_2|=\frac{8|k|\sqrt{1+k^2}}{1+4k^2}\)；4.设\(t=|k|\geq0\)，则\(|AB|=\frac{8t\sqrt{1+t^2}}{1+4t^2}\)，平方得\(|AB|^2=\frac{64t^2(1+t^2)}{(1+4t^2)^2}\)；5.令\(u=t^2\geq0\)，则\(|AB|^2=\frac{64u(1+u)}{(1+4u)^2}\)，通过换元\(v=4u+1\)或求导，得最大值为\(\frac{16}{3}\)；6.故\(|AB|\)的最大值为\(\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)。答案\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)。易错点提示联立方程时计算错误（需正确展开并整理）；弦长公式记错（\(\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)）；未考虑判别式（本题直线过椭圆内一点\((0,1)\)，判别式恒大于0）；求最大值时方法不当（可采用换元法或导数法）。四、几何综合题例题9（立体几何与解析几何结合）在空间直角坐标系中，点\(P(x,y,z)\)满足\(x^2+y^2=1\)，\(z=1\