高三一轮复习课后习题数学考点规范练30平面向量的概念及线性运算

考点规范练30平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=A.a=b B.a∥bC.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|答案:C解析:由a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,故只要a与b2.在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD等于()A.23b+13c B.C.23b13c D.1答案:A解析:如图,可知AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+233.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.2 B.1 C.1 D.2答案:B解析:∵BC=a+b,CD=a2b∴BD=BC+CD又A,B,D三点共线,∴AB,∴存在实数λ,使得AB=λBD,即2a+pb=λ(2ab∴2=2λ,p=λ,解得λ=1,p=1.4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则(A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上答案:B解析:因为2OP=2OA+BA,所以所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则△ABC的一个内角AA.30° B.60° C.90° D.120°答案:B解析:由OA+OB+OC=0,得点O为因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.6.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=4ab,CD=5a3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对答案:C解析:∵AD=AB+BC+CD=8a2b=2(4∴又AB与CD不平行,∴四边形ABCD7.若M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为(A.15 B.25答案:C解析:如图,设AB的中点为D.由5AM=AB+3得3AM3AC=2AD2AM,即3CM=2MD故C,M,D三点共线,且MD=35CD,得△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为38.在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若AF=37AB+17答案:4解析:设AC=λAD,因为AF=3由B,F,D三点在同一条直线上,即37+17λ=1,所以λ=4,9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数答案:2解析:由PA+BP+CP=又PB+PC=2PD,所以PA=2PD,所以AP=2PD,即λ=二、综合应用10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于()A.a12b B.1C.a+12b D.答案:D解析:如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,从而△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=1211.(多选)在△ABC中,D为AC上一点,且满足AD=13DC.若P为BD上一点,且满足AP=λAB+μAC,λ,μA.λμ的最小值为16 B.λμ的最大值为1C.1λ+D.1λ答案:BD解析:∵AD=13DC,∴AP=λAB+4μAD,又P,B,∴λ+4μ=1.已知λ,μ均为正实数,∴1=λ+4μ≥2λ·4μ=4λμ,可得λμ≤116,当且仅当λ=12,1λ+14μ=(λ+4μ)·1λ+14μ=2+4μλ+λ4μ≥212.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足OP=13(12OA+12OB+2OCA.边AB中线的中点 B.边AB中线的三等分点(非重心)C.重心 D.边AB的中点答案:B解析:设AB的中点为M,则12所以OP=13(OM+2OC),即3OP=OM+2OC,OP-OM因为MP与PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C13.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD=14(AB+AC),AP=A.34C.3 D.2答案:A解析:如图,取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,AE=1又AD=所以D是AE的中点,即AD=3取AF=18BC,以AD,AF因为△APD是直角三角形,且DP=AF=12,所以△APD的面积为14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为答案:1解析:因为DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC三、探究创新15.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是.

答案:1解析:由平面向量的运算可知BD∵AD=2AE,AB=∴BD=AD-AB=2AE(2AF-∵AE,AF不共线,且BD=xAE即xAE+yAF=3AE2AF,∴x=3,y=2,∴x+y=1.16.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.解:由题设知,CD=dc=2b3a,CE=ec=(