8.2-8.3 一元线性回归模型与独立性检验（知识解题+达标测试）（原卷版）

8.2-8.3一元线性回归模型与独立性检验

【考点1：解释回归直线方程的意义】

【考点2：求回归直线方程】

【考点3：用回归直线方程对总体进行估计】

【考点4：样本中心点的有关计算】

【考点5：列联表分析】

【考点6：独立性检验】知识点1：回归分析与回归方程（1）回归分析的定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．（2）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（3）回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为其中，，，（，）称为样本点的中心．【考点1：解释回归直线方程的意义】【典例1】小亮的爸爸记录了小亮从4岁到10岁的身高，建立了小亮身高与年龄的回归模型y=73.85+6.9x，他用的这个模型预测小亮11岁时的身高，则下面的叙述正确的是（

A．小亮11岁时的身高在149.75cm左右 B．小亮11岁时的身高在149.75cm以下C．小亮11岁时的身高一定是149.75cm D．小亮11岁时的身高在149.75cm以上【变式1-1】为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.编号1234567891011121314父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高y176176170170185176178174170168178172165182父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为y=0.839x+28.957.则下列结论中正确的是（

A．y与x正相关，且相关系数为0.839B．点(xC．x每增大一个单位，y增大0.839个单位D．当x=176时，y≈177【变式1-2】在线性回归方程y=a+bx中，b为回归系数，下列关于b的说法中不正确的是（

）A．b为回归直线的斜率B．b>0，表示随x增加，y值增加，b<0，表示随x增加，y值减少C．b是唯一确定的值D．回归系数b的统计意义是当x每增加（或减少）一个单位，y平均改变b个单位【考点2：求回归直线方程】【典例2】春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：日营销费用x/百元23456日销售量y/百件11.11.51.82.1已知y与x线性相关.(1)根据上表数据，求y关于x的经验回归方程；(2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据xi,yi（i=1,2,⋯,n）.其经验回归直线y=bx+【变式2-1】近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽车购买数量y（万辆）0.400.701.101.501.80(1)计算y与x的相关系数r（保留三位小数）；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．参考公式r=i=1nxi−参考数值：13≈3.6056，i=1【变式2-2】某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：身体综合指标评分x12345用时（y/小时）9.58.67.876.1(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于x的回归方程.参考数据和参考公式：相关系数r=i=1nxi−x【考点3：用回归直线方程对总体进行估计】【典例3】从某大学随机选取8名女大学生，其身高X（单位：cm）和体重Y（单位：kg）的回归方程为Y=0.849X−85.712，则身高172cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（

）A．为60.316kg B．约为60.316kgC．大于60.316kg D．小于60.316kg【变式3-1】设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据xi,yii=1,2,⋯,n，用最小二乘法建立的经验回归方程为yA．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg【变式3-2】已知x1=1,x2【变式3-3】从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的数据如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y与x的线性回归方程为y^=0.85x−85.71，那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为

【考点4：样本中心点的有关计算】【典例4】某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间X（单位：小时）与工资Y（单位：元）之间的关系如表：工作时间X24568工资Y304050m70若Y对X的线性回归方程为Y=6.5X+17.5，则m的值为（

）A．56.5 B．58 C．60 D．62.5【变式4-1】随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“6⋅18”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百件）之间的一组数据：x2025303540y578911用最小二乘法求得y与x之间的经验回归方程是y=0.28x+a，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2【变式4-2】具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据xi,yi（xi=2i−1，i=1，2，…，5），其经验回归方程为A．40 B．32 C．8 D．12.8【变式4-3】某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：年份2019202020212022年份代号x1234年销量y1520m35若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y=7x+7.5，则表中m的值为（

A．25 B．28 C．30 D．32知识点2：独立性检验（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．（2）列联表：①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．②2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表总计总计（3）独立性检验：计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【考点5：列联表分析】【典例5】下面是2×2列联表：yy合计xa2173x222547合计b46120则表中a，b的值分别为（

）A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52【变式5-1】下面是一个2×2列联表：yy总计x35a70x151530总计50b100其中a、b处填的值分别为．【变式5-2】下面是一个2×2列联表：XY合计Y=0Y=1X=0a2173X=182533合计b46则表中a，b处的值分别为；．【考点6：独立性检验】【典例6】2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：满意度性别合计女性男性比较满意rs50非常满意t4070合计60l120(1)求r−sl−t(2)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？(3)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设X表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.附：χ2=nα0.10.010.001x2.7066.63510.828【变式6-1】近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的居民401050年龄超过45岁的居民203050合计6040100(1)试根据a=0.05的χ2(2)居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在A平台买菜，那么周二选择在A平台买菜的概率为45；如果周一选择在B平台买菜，那么周二选择在A平台买菜的概率为13，求小张周二选择在(3)用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量X，并记随机变量Y=2X+3，求X，Y的数学期望和方差．参考公式及数据：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【变式6-2】文旅部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收入y（单位：万），得到以下数据：月份x34567旅游收入y1012111220(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的