第08讲 成对数据的统计分析 原卷版

第第页第08讲成对数据的统计分析【复习目录】一、变量的相关关系二、样本相关系数三：残差的计算四、相关指数的计算及分析五、一元线性回归方程意义分析六、根据样本中心点求参数七、最小二乘法八、列联表与独立性检验九、成对数据的统计分析综合问题【知识梳理】1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝.(2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归模型(1)我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，，(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．4．列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)计算随机变量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．【题型归纳】题型一、变量的相关关系1．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）下列各关系不属于相关关系的是（

）A．产品的成本与生产数量 B．球的表面积与体积C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重2．（23-24高二下·安徽·期末）下列两个变量之间的关系是相关关系的是（

）A．等边三角形的边长a与其面积SB．匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间tC．杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度rD．某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x3．（23-24高二下·吉林·期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（

）A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高题型二、样本相关系数4．（23-24高二下·广东清远·期末）通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二下·广东深圳·期中）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212.51313.51414131198(1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值.(2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.参考数据：，.参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强.6．（23-24高二下·安徽·阶段练习）设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（

）A． B．1 C．3 D．6题型三：残差的计算7．（2025·河南·一模）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212.51313.51414131198(1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；(2)计算与的相关系数；(3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.参考数据：.参考公式：相关系数.8．（20-21高二下·山东菏泽·期末）某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示：研发投入费用2.22.64.35.05.9销售量3.85.47.010.3512.2根据表中的数据可得回归直线方程，相关系数，以下说法正确的是（

）A．第四个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般B．第四个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好C．销售量的多少有96%是由研发投入费用引起的D．销售量的多少有4%是由研发投入费用引起的9．（21-22高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y与x的线性回归方程为，设残差记为观测值与预测值之间的差（即残差）那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为.题型四、相关指数的计算及分析10．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知一组观测值，，…，满足，若恒为0，则（

）A．0 B．0.5 C．0.9 D．111．（21-22高二下·宁夏·阶段练习）有一组统计数据和，根据数据建立了如下的两个模型：①，②.通过残差分析发现第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若分别是相关指数和残差平方和，则下列结论正确的是.①＞，②＜，③＜，④＞.12．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数．（参考公式：决定系数，参考数据：）；题型五、一元线性回归方程意义分析13．（23-24高二下·海南·期末）以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（

）A．相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好C．点一定在经验回归直线上D．若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就增加10个单位14．（23-24高二上·辽宁·期末）下列有关回归分析的说法正确的是（

）A．样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强.B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.C．回归直线方程不一定过样本中心点.D．回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.15．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且．现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线方程的斜率为，则正确的是（

）A．变量与具有负相关关系B．去除后的估计值增加速度变快C．去除后回归方程为D．去除后相应于样本点（2，3.75）的残差为题型六、根据样本中心点求参数16．（24-25高二下·天津·期中）某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（

）A．样本中心点为 B．C．时，残差为 D．相关系数17．（24-25高二上·江西南昌·期末）经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力3568由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（

）A．8 B．6 C．2 D．1.918．（24-25高二上·黑龙江·期末）某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示：月份x12345销量y54.543.52.5若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（

）A．样本的相关系数为负数 B．C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆题型七、最小二乘法19．（24-25高二下·浙江·期中）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：年份20202021202220232024年份代码12345交易额（单位：百亿）1.523.5815(1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．）(2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．参考数据：，，参考公式：相关系数；线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．20．（24-25高三下·安徽·阶段练习）某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：会员序号12345678910总和锻炼时长（小时）342564534440体重减少量（千克）1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4并计算得：(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；(2)求经验回归方程（结果精确到0.01）；(3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.(参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.参考值：)21．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间x（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选2天的数据，以X表示2天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.参考数据：，，.附：对于一组数据（，），（，），……，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.题型八、列联表与独立性检验22．（2025·福建龙岩·二模）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887(1)根据表中的数据，计算相关系数；(2)求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值．参考公式：相关系数，．参考数据：，，．23．（24-25高二下·山东烟台·期中）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据：高满意度低满意度频繁使用DeepSeek7030不频繁使用DeepSeek5050(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联；(2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率．①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率．②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列．参考公式：，其中，．24．（24-25高二下·河南三门峡·期末）随着人们环保意识的增强和科技的发展，新能源汽车越来越受到消费者的关注.为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意程度，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据：对充电设施对续航里程满意不满意满意7030不满意5050(1)任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为，事件“该车主对充电设施满意”为，求和；(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度有关？题型九、成对数据的统计分析综合问题25．（24-25高二下·河南南阳·期中）某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）：学校企业自由开发者有需求170无需求120已知调查了400个学校和150个自由开发者.(1)求和的值；(2)估计目标用户对该设备有需求的概率；(3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？附：.0.10.010.0012.7066.63510.82826．（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据．月份月月月月月月份代码销售总额亿元(1)求关于的线性回归方程；(2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关．附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中．27．（23-24高二下·山东青岛·期末）氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下：氨基酸春季夏季含量高3020含量低1525(1)根据小概率值的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？(2)随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量近似服从正态分布，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03.①求；②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份.附：Ⅰ.参考公式：，其中.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828Ⅱ.对任何一个正态分布服从来说，通过转化为标准正态分布服从，从而查标准正态分布表得到可供查阅的（部分）标准正态分布表：11.21.41.61.822.22.42.60.8410.8850.9190.9450.9640.9770.9860.9920.99528．（23-24高二下·天津西青·期末）我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢航天知识大讲堂不喜欢航天知识大讲堂合计男2026女14合计50附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828(1)请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联；(2)现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望．【专题强化】一、单选题1．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（）A． B． C． D．2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（

）A．决定系数变小 B．相关系数的值变小C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱【答案】C【分析】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断.3．（24-25高二上·广西桂林·期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表：工作时间24568工资30405070若对的线性回归方程为，则的值为（

）A．56.5 B．58 C．60 D．62.54．（24-25高二下·全国）关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本点的中心；②相关系数r越大，线性相关程度越强；③决定系数越接近1拟合效果越好；④随机误差平方和越小，拟合效果越好．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·广东广州·期末）为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号123456百亿元11.1参考数据：.则下列说法不正确的是（

）A．经验回归直线经过点B．C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元D．相应于点的残差为0.17．（23-24高二下·河南南阳·期末）某商店记录了某种产品近5个月的月销售量（千台）如下表，样本中心点为.由于保管不善，记录的5个数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，则下列结论正确的是（

）第个月12345月销售量2.545A．在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数增大B．在确定的条件下，样本的相关系数C．在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则D．在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则可预计该款商品第6个月的销售量为6280台8．（23-24高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（

）参考公式及数据：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关9．（23-24高二下·湖北武汉·期末）5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y(千只)0.50.81.01.21.5若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（

）A．由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数B．当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位C．线性回归方程中D．可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72(千只)二、多选题10．（24-25高二下·湖南·期中）下列说法正确的是（

）A．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则B．的展开式中二项式系数和为32C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小D．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好11．（24-25高二上·陕西渭南·期末）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（

）A．y与x的样本相关系数B．回归直线恒过点C．D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元12．（23-24高二下·广东广州·期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出24568销售额3040606070下列说法正确的是（

）（参考公式：；参考数据：）A．经验回归直线经过点 B．经验回归方程为C．样本点的残差为 D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元13．（2024·广东广州·模拟预测）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（

）参考公式：，A．当时，B．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强C．，时，成对样本数据的相关系数满足D．，时，成对样本数据的线性回归方程满足14．（23-24高二下·吉林松原·期末）下列结论不正确的是（

）A．两个变量的线性相关系数决定两变量相关程度的强弱，且相关系数越小，相关性越强B．若两个变量的线性相关系数，则与之间不具有线性相关性C．在一组样本数据中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为，这样相关系数变大D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为15．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）以下几种说法正确的是（

）A．对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小B．若随机变量满足，则C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05D．某人在次射击中，击中目标的次数为，射击中靶的概率为，若，则16．（23-24高二下·吉林长春·期末）下列说法中，正确的命题是（

）A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强B．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.317．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（

）A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关三、填空题18．（23-24高二下·贵州安顺·期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表：151618192210298115120若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数.19（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表：男性女性合计满意5605401100不满意4060100合计6006001200根据列联表中的数据，经计算得到（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是.附：.0.10.050.012.7063.8416.63520．（23-24高二下·重庆长寿·期末）某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为千万元．年号12345年生产利润（单位：千万元）0.70.811.11.421．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得表数据.6810122356请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程，据此可预测判断力为的同学的记忆力为.（回归直线方程是：，其中，）四、解答题22．（24-25高二下·山东烟台·期中）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据：高满意度低满意度频繁使用DeepSeek7030不频繁使用DeepSeek5050(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联；(2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率．①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率．②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列．参考公式：，其中，．23．（24-25高二上·江西宜春·期末）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量（单位：箱）76656收益（单位：元）165142148125150(1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？附：(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率.24．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱