认识证明 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。观察、实验归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个!（1）图中两条线段a,b的长度相等吗？图中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。是正方形相等（2）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。设赤道周长为C，则铁丝与地球赤道间的间隙为：所以，能放进一个拳头。眼睛有时也会欺骗你哟！

（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数”？尝试•思考举反例：当n=11时，n2-n+11=112-11+11=112，不是质数。不是对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数。

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜,再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴进行交流。尝试•思考尝试•思考DE∥BC；DE=BC理由：如图，延长DE至F，使得EF=DE，连接CF∵E是AC的中点∴AE=CE在△AED和△CEF中AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF∴△AED=△CEF(SAS)∴∠A=∠ECF,AD=CF∴AB∥CF∵D是AB的中点，∴AD=BD∴BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC,DF=BC∴DE∥BC,DE=BC∴这个结论对所有的ABC都成立。

观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。思考•交流

观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。思考•交流1.（1）图（1）中有三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下。（2）图（2）中两条线段a与b的长度相等吗？线段b相等2.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？举反例：当n=6时，n2+3n+1=62-18+1=55，不是质数。当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数。

证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此,就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它的定义。例如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义；“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义；“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。

下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2—11+11的值都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD。尝试•思考

判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面的语句（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。例如,上面的语句（5）（6）都不是命题。尝试•思考观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等;（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。思考•交流一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。思考•交流指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；（3）全等三角形的面积相等；（4）三角形三个内角的和等于180°。尝试•思考错误错误正确正确

正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。尝试•思考1.（1）你能列举出一些学过的定义吗？（2）分别举出一些是命题和不是命题的语句。1.解:（1）例如:三角形的定义:由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。（2）判断一件事情的句子，叫做命题例如:“对顶角相等”就是命题；祈使句、疑问句、感叹句均不是命题，例如:“作线段4B的垂直平分线”就不是命题。2.指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）如果，那么x=4；（4）两个锐角之和一定是钝角；（5）如果x²>0，那么x>0；（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。2.解:(1)条件:在同一年内,5月4日是星期一；结论:5月11日也是星期一。（2）条件:一个三角形的三个内角都相等；结论:这个三角形是等边三角形。（3）条件：；结论：x=4。解这个方程得。所以原命题是假命题。2.解:（4）条件:一个角是两个锐角的和；结论：这个角是钝角。例如:锐角∠1=30°，∠2=40°，∠1+∠2=70°＜90°，仍然是锐角。所以原命题是假命题。（5）条件:：x2>0；结论：x>0。例如:（-2)2=4,但-2<0。所以原命题是假命题。2.解:（6）条件:两个三角形有两条边及其中一组等边的对角分别相等；结论:这两个三角形全等。例如:可以画一个锐角三角形和一个钝角三角形满足两条边及其中一组对边的对角分别相等，但是这两个三角形不全等，所以原命题是假命题。

举一个反例就可以说明—个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书,书名为《原本》。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。

除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。

本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据,我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线。2.两点之间线段最短。3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）。5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。8.三边分别相等的两个三角形全等。另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它。

此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。例如，如果a=b，b=c，那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。又如，如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据。从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。

例如，我们可以证明下面的定理:定理同角（或等角）的补角相等。定理同角(或等角)的余角相等。定理三角形的任意两边之和大于第三边。

例.已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。求证：∠AOC=∠BOD。证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）。∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）。∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。

由上面的例题，我们可以得到定理：定理对顶角相等。1.请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。1.证明：∵线段AC的两个端点为A，C∴AB+BC>AC（两点之间线段最短)∵线段AB的两个端点为A，B∴AC+