人教A版必修一高一数学上册考点归纳同步讲与练 4.4 对数函数（解析版）

第页4.4对数函数一、对数函数的概念1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.二、对数函数的图象a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.题型一对数函数的概念理解【例1】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（）A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.【变式1-1】给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义，故选：B.【变式1-3】下列函数是对数函数的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．题型二求对数函数的解析式【例2】若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.【答案】【解析】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以.【变式2-1】若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.【答案】-3【解析】设（且），将代入得.所以，.【变式2-2】若函数为对数函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知：函数为对数函数，所以或，又且，所以，故选：B【变式2-3】已知对数函数，则______．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．题型三对数函数的定义域问题【例3】函数的定义域是（）A．或B．C．或D．【答案】D【解析】由题意得，，解得，即函数的定义域是.故选：D【变式3-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的定义域是[1，3]，∴，解得．又，且，∴．故函数的定义域是．故选：C.【变式3-2】函数的定义域是__________．【答案】【解析】对于函数，由，即，解得.因此，函数的定义域为.【变式3-3】函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，．故选：D．【变式3-4】若函数的定义域为，则（）A．3B．3C．1D．1【答案】A【解析】由，得，由题意可知上式的解集为，所以为方程的一个根，所以，得，故选：A【变式3-5】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是.题型四对数型函数过定点问题【例4】已知函数且，则该函数图象恒过定点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数经过定点所以函数且的图象经过定点.故选：B【变式4-1】函数的图象恒过定点，则M为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；故选：A【变式4-2】函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.【答案】【解析】，取∴时，，即过定点【变式4-3】函数（，且）恒过定点（3，2），则（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由题意，函数，当时，即时，可得，即函数恒经过点，又因为恒经过点，可得，解得，所以.故选：C.【变式4-4】函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A．16B．8C．4D．2【答案】A【解析】当时，，所以函数的图像恒过定点记，则有，解得所以.故选：A题型五对数函数的图象问题【例5】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D.【变式5-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误，故选：C.【变式5-2】已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，1]D．[1，+∞)【答案】D【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．故选：D．【变式5-3】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】B【解析】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴，故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B．【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：．【变式5-5】设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确，C错误；题型六指对幂比较大小【例6】设，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，所以，故选:D.【变式6-1】设，，，则三者大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，故.故选：C【变式6-2】已知，，，则有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，综上所述，，故选：D.【变式6-3】函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由偶函数知，又，，，显然，又在单调递增，则.故选：C.题型七对数型函数的单调性【例7】函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为．故选：D．【变式7-1】函数的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，二次函数的对称轴为：，所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：函数的单调增区间为，故选：C【变式7-2】若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】由函数在区间上是单调增函数，只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．【变式7-3】已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】（－4，4]【解析】二次函数的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4<a≤4．故答案为：（－4，4]【变式7-4】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在定义域上是增函数，当时单调递增且，当时也单调递增，所以，即，所以，即；故选：B题型八解对数型不等式【例8】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】，，解得或.【变式8-1】不等式的解集为______.【答案】【解析】由，可得，所以，解得：或，不等式的解集为.【变式8-2】设，则的取值范围是（）A．B．C．D．，【答案】C【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：．所以的取值范围是，故选：C.【变式8-3】不等式的解集是_______．【答案】当时，解集为；当时，解集为【解析】∵，∴原不等式等价于，当>1时，，解得0＜x＜2．当时，，解得2＜x＜4．∴当>1时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为【变式8-4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．【答案】【解析】因为，所以，而，则，于是.【变式8-5】设函数，则使得成立的的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】方法一:由得，则，解得或.方法二:根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为偶函数，设，则，在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，则在上为增函数，，解得或，故选：D．【变式8-6】已知函数，求不等式的解集．【答案】或【解析】，则不等式，即或，故或，所以不等式的解集为或．题型九对数型函数的就奇偶性问题【例9】已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.【答案】；奇函数【解析】由解得或，所以的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.【变式9-1】若函数是奇函数，则___________，___________.【答案】1；0【解析】因为函数是奇函数，故，即，即.又，故，即，恒成立，故，所以或，当时无意义.当时满足奇函数.故综上，，【变式9-2】若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．【答案】4【解析】因为为定义域上的奇函数，，所以恒成立解得.【变式9-3】已知函数，若是奇函数，则实数a=______．【答案】1【解析】由题意，，即，所以，化简得，解得．题型十对数型函数的值域问题【例10】已知函数，则的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选：D【变式10-1】若，则函数的值域为________.【答案】【解析】因为，，令，因此，即的值域为．【变式10-2】函数的最小值是（）．A．10B．1