南通高一月考数学试卷

南通高一月考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）

A.1

B.2

C.0

D.-1

2.不等式3x-7>2的解集是（）

A.x>3

B.x<3

C.x>-3

D.x<-3

3.已知集合A={x|x>2}，B={x|x<5}，则A∩B=（）

A.{x|2<x<5}

B.{x|x>5}

C.{x|x<2}

D.{x|x>5或x<2}

4.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴是（）

A.x=2

B.x=-2

C.y=x

D.y=-x

5.已知点P(a,b)在第三象限，则下列关系正确的是（）

A.a>0,b>0

B.a<0,b<0

C.a>0,b<0

D.a<0,b>0

6.不等式x^2-5x+6≥0的解集是（）

A.x≥2或x≤3

B.x≤2或x≥3

C.2≤x≤3

D.x<2或x>3

7.已知函数f(x)=ax+b，f(1)=3，f(2)=5，则a和b的值分别是（）

A.a=2,b=1

B.a=1,b=2

C.a=2,b=-1

D.a=-2,b=3

8.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的中点坐标是（）

A.(2,1)

B.(1,2)

C.(4,2)

D.(2,4)

9.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

10.已知直线l1:y=kx+b和直线l2:y=mx+n，若l1平行于l2，则（）

A.k=m

B.b=n

C.k=-m

D.b=-n

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上是增函数的是（）

A.y=-2x+1

B.y=x^2

C.y=1/x

D.y=log(x)

2.已知集合A={x|x^2-x-6=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合是（）

A.{1}

B.{-1}

C.{2}

D.{-3}

3.下列命题中，真命题是（）

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a^2>b^2，则a>b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a<0<b，则a^2<b^2

4.已知函数f(x)=|x-1|，则下列说法正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得最小值0

B.f(x)在(-∞,1)上是减函数

C.f(x)在(1,+∞)上是增函数

D.f(x)的图像关于直线x=1对称

5.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则下列说法正确的是（）

A.线段AB的长度为2√2

B.线段AB的斜率为-1

C.线段AB的方程为y=-x+3

D.线段AB的垂线方程为y=x-1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.不等式|x-1|<2的解集是_______。

2.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是_______。

3.已知点P(a,b)在第二象限，则a_______0，b_______0。

4.不等式x^2-5x+6>0的解集是_______。

5.函数f(x)=sin(x)的周期是_______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解不等式组：{3x-7>2;x+1≤5}

2.计算函数f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值，并求取得最小值时的x值。

3.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x<1}，求A∪B。

4.求过点P(1,-2)且与直线l:2x-y+5=0平行的直线方程。

5.计算极限：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和。距离之和的最小值显然发生在x位于1和-1之间或重合时，即x=0时，此时f(0)=|0-1|+|0+1|=1+1=2。但题目问的是最小值，需要仔细看选项，选项B为2，这与我们的计算结果一致。选项A为1，这是|x-1|或|x+1|单独取得的最小值，但不是f(x)的整体最小值。选项C为0，显然不可能。选项D为-1，绝对值函数的值非负。因此最小值为2。

2.A

解析：解不等式3x-7>2，移项得3x>2+7，即3x>9。两边同时除以3，得x>3。所以解集为x>3。

3.A

解析：A={x|x>2}表示所有大于2的实数构成的集合。B={x|x<5}表示所有小于5的实数构成的集合。A∩B表示既属于A又属于B的所有实数构成的集合，即所有同时满足x>2和x<5的实数。因此A∩B={x|2<x<5}。

4.A

解析：函数f(x)=x^2-4x+3是一个二次函数，其图像是抛物线。二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/(2a)。对于f(x)=x^2-4x+3，a=1,b=-4。代入公式得对称轴x=-(-4)/(2*1)=4/2=2。因此对称轴是x=2。

5.B

解析：第三象限是指坐标平面上x轴和y轴都为负数的区域。因此，点P(a,b)在第三象限意味着a<0且b<0。

6.A

解析：解不等式x^2-5x+6≥0。首先解方程x^2-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。二次函数f(x)=x^2-5x+6的图像是开口向上的抛物线，它在x=2和x=3时与x轴相交。因为不等式是大于等于0，所以解集包括抛物线在x轴上方的部分以及与x轴的交点。即x≤2或x≥3。

7.A

解析：已知f(1)=3，代入f(x)=ax+b得a(1)+b=3，即a+b=3。已知f(2)=5，代入f(x)=ax+b得a(2)+b=5，即2a+b=5。解这个方程组：

{a+b=3

{2a+b=5

用第二个方程减去第一个方程得(2a+b)-(a+b)=5-3，即a=2。将a=2代入第一个方程得2+b=3，解得b=1。因此a=2,b=1。

8.A

解析：线段AB的中点坐标公式为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。对于点A(1,2)和点B(3,0)，中点坐标为((1+3)/2,(2+0)/2)=(4/2,2/2)=(2,1)。

9.B

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以利用和角公式化简。f(x)=√2*(sin(x)*(1/√2)+cos(x)*(1/√2))=√2*sin(x+π/4)。正弦函数的最大值是1，所以f(x)的最大值是√2*1=√2。

10.A

解析：两条直线l1:y=kx+b和l2:y=mx+n平行，意味着它们的斜率相等。直线方程y=kx+b中，k是斜率；直线方程y=mx+n中，m是斜率。因此，若l1平行于l2，则必有k=m。截距b和n可以不相等。

二、多项选择题答案及解析

1.B,D

解析：y=-2x+1是一条斜率为-2的直线，在整个实数域上都是减函数。y=x^2是一条开口向上的抛物线，在区间(0,+∞)上是增函数。y=1/x是一条在x>0时单调递减的曲线。y=log(x)是以e为底的对数函数，在定义域(0,+∞)上是增函数。因此，在(0,+∞)上是增函数的是B和D。

2.A,B,D

解析：集合A={x|x^2-x-6=0}，解方程x^2-x-6=0得(x-3)(x+2)=0，解得x=3或x=-2。所以A={-2,3}。集合B={x|ax=1}。若B⊆A，则B中的元素必须是-2或3。

-若B是空集，即没有x满足ax=1。此时a可以是任意非零实数（例如a=0时，0x=0≠1，a=1时，x=1∉A）。但题目通常隐含x存在，所以这种情况可能不考虑。

-若B非空，则B中的元素是1/a。所以1/a∈{-2,3}。这意味着：

-1/a=-2=>a=-1/2（此时B={1/(-1/2)=-2}，B⊆A成立）

-1/a=3=>a=1/3（此时B={1/(1/3)=3}，B⊆A成立）

因此，a的取值集合是{-1/2,1/3}。选项中包含-1（对应a=1时B={1}，1∉A，不成立），包含2（对应a=1/2时B={2}，2∉A，不成立），包含-3（对应a=-1/3时B={-3}，-3∉A，不成立）。选项A、B、D中的a值均不满足条件。这里选项设置似乎有误，按严格逻辑a应为{-1/2,1/3}。如果必须从给定选项选，可能题目或选项有印刷错误。按常见出题思路，应考察B⊆A的包含关系，即a使得ax=1的解在A中。a=1时x=1∉A；a=-1时x=-1∉A；a=2时x=1/2∉A；a=-2时x=-1/2∈A；a=3时x=1/3∈A；a=-3时x=-1/3∈A。所以a=-2,3使得B⊆A。选项中没有对应值。假设题目意图是考察ax=1的解是否在A中，那么a=-2和a=3是正确的。选项中没有正确答案。此题选项设置有问题。

3.C,D

解析：A.若a>b，则a^2>b^2。此命题不成立。例如，取a=1,b=-2，则a>b成立，但a^2=1,b^2=4，所以a^2<b^2。只有当a,b同号且a>b时，a^2>b^2才成立。

B.若a^2>b^2，则a>b。此命题不成立。例如，取a=-3,b=2，则a^2=9,b^2=4，所以a^2>b^2成立，但a<b。只有当a,b同号时，a^2>b^2才意味着a>b。

C.若a>b，则1/a<1/b。此命题成立。假设a>b>0，则1/a和1/b都是正数，且分母越大，分数越小，所以1/a<1/b。假设a>0>b，则1/a>0,1/b<0，所以1/a>1/b。假设a<0<b，则1/a<0,1/b<0，且由于|a|>|b|（因为a<b且b负），所以1/a的绝对值更大，即1/a<1/b。综上，当a>b时，1/a<1/b恒成立。

D.若a<0<b，则a^2<b^2。此命题成立。因为a是负数，b是正数，负数的绝对值大于正数，所以|a|>|b|。平方后得到a^2=|a|^2>|b|^2=b^2。

因此，正确的命题是C和D。

4.A,B,C,D

解析：f(x)=|x-1|的图像是x轴上x=1处的一个尖点，向左向下和向右向上延伸的V形图像。

A.f(x)在x=1处取得最小值0。当x=1时，f(1)=|1-1|=0。这是V形图像的顶点，确实是函数的最小值。正确。

B.f(x)在(-∞,1)上是减函数。在区间(-∞,1)上，x<1，所以f(x)=-(x-1)=-x+1。这是一个斜率为-1的直线，在整个区间(-∞,1)上是严格减小的。正确。

C.f(x)在(1,+∞)上是增函数。在区间(1,+∞)上，x>1，所以f(x)=x-1。这是一个斜率为1的直线，在整个区间(1,+∞)上是严格增大的。正确。

D.f(x)的图像关于直线x=1对称。由于f(x)=|x-1|，其图像是关于直线x=1对称的。正确。

因此，所有说法都正确。

5.A,B,C

解析：点A(1,2)和点B(3,0)。

A.线段AB的长度：|AB|=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。正确。

B.线段AB的斜率：k=(y2-y1)/(x2-x1)=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。正确。

C.线段AB的方程：斜率为-1，过点A(1,2)。使用点斜式方程：y-y1=k(x-x1)，即y-2=-1(x-1)。整理得y-2=-x+1，即x+y-3=0。正确。

D.线段AB的垂线方程：垂线的斜率是原线段斜率的负倒数，即1/1=1。垂线过点A(1,2)。使用点斜式方程：y-y1=k(x-x1)，即y-2=1(x-1)。整理得y-2=x-1，即x-y+1=0。原题给出的垂线方程是y=x-1，即x-y-1=0，这与我们计算的结果x-y+1=0不同。错误。

因此，正确的说法是A,B,C。

三、填空题答案及解析

1.{x|-1<x<3}

解析：解不等式|x-1|<2。根据绝对值不等式的性质，|x-a|<b(b>0)等价于-b<x-a<b。所以，-2<x-1<2。将不等式两边同时加上1得：-2+1<x-1+1<2+1，即-1<x<3。解集为{x|-1<x<3}。

2.(2,-1)

解析：函数f(x)=x^2-4x+3是一个二次函数，其图像是抛物线。二次函数的顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。这里a=1,b=-4,c=3。顶点的x坐标为x=-(-4)/(2*1)=4/2=2。将x=2代入函数求y坐标：f(2)=(2)^2-4*(2)+3=4-8+3=-1。所以顶点坐标是(2,-1)。

3.<0,>0

解析：点P(a,b)在第二象限。根据平面直角坐标系的象限划分，第二象限的特征是横坐标（x轴，即a）为负数，纵坐标（y轴，即b）为正数。所以a<0，b>0。

4.{x|x<2或x>3}

解析：解不等式x^2-5x+6>0。首先解方程x^2-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。二次函数f(x)=x^2-5x+6的图像是开口向上的抛物线，它在x=2和x=3时与x轴相交。因为不等式是大于0，所以解集包括抛物线在x轴上方的部分以及与x轴的交点外的部分。即x<2或x>3。

5.2π

解析：函数f(x)=sin(x)是正弦函数。正弦函数的基本周期是2π。这意味着对于所有的x，都有sin(x+2π)=sin(x)。周期T满足f(x+T)=f(x)。对于sin(x)，满足这个条件的最小正数T是2π。

四、计算题答案及解析

1.解不等式组：{3x-7>2;x+1≤5}

解第一个不等式：3x-7>2。移项得3x>2+7，即3x>9。两边同时除以3得x>3。

解第二个不等式：x+1≤5。移项得x≤5-1，即x≤4。

所以不等式组的解集是两个解集的交集，即{x|x>3}∩{x|x≤4}。这个交集是{x|3<x≤4}。

2.计算函数f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值，并求取得最小值时的x值。

分析函数的图像，需要考虑绝对值函数的分段。

当x<-1时，f(x)=-(x-2)-(x+1)=-x+2-x-1=-2x+1。

当-1≤x<2时，f(x)=-(x-2)+(x+1)=-x+2+x+1=3。

当x≥2时，f(x)=(x-2)+(x+1)=x-2+x+1=2x-1。

在区间(-∞,-1)上，f(x)=-2x+1是减函数，在x→-∞时f(x)→+∞。

在区间(-1,2)上，f(x)=3，是一个常数函数，值为3。

在区间(2,+∞)上，f(x)=2x-1是增函数，在x→+∞时f(x)→+∞。

比较各区间的函数值，可以看出最小值是3，它出现在区间[-1,2)上，即对于所有-1≤x<2的x值，函数值都为3。因此最小值是3，取得最小值时的x值范围是[-1,2)。

3.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x<1}，求A∪B。

首先解集合A对应的方程：x^2-3x+2=0。因式分解得(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2。所以A={1,2}。

集合B={x|x<1}表示所有小于1的实数构成的集合。

A∪B表示集合A和集合B中所有的元素构成的集合。A中的元素1和2，以及B中所有小于1的元素都属于A∪B。

所以A∪B={x|x<1}∪{1,2}={x|x≤1或x=2}。

4.求过点P(1,-2)且与直线l:2x-y+5=0平行的直线方程。

直线l的方程是2x-y+5=0。可以写成y=2x+5的形式，其中斜率k=2。

所求直线与l平行，因此它们的斜率相等，即斜率也为2。

所求直线过点P(1,-2)。使用点斜式方程：y-y1=k(x-x1)，即y-(-2)=2(x-1)。

整理得：y+2=2x-2，即y=2x-4。

也可以写成一般式：2x-y-4=0。

5.计算极限：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)

首先尝试直接代入x=2：

lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=(2^2-4)/(2-2)=(4-4)/0=0/0。这是一个不定式形式，不能直接得出结果。

观察分子x^2-4，可以进行因式分解：x^2-4=(x-2)(x+2)。

所以原极限可以写成：

lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)

在x≠2的情况下，分子和分母都有因子(x-2)，可以约去，得到：

lim(x→2)(x+2)

现在可以直接代入x=2：

lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

因此，极限值为4。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

**一、基础知识与概念**

***集合与逻辑**：集合的表示（列举法、描述法）、集合间的基本关系（包含、相等）、集合的运算（并集、交集、补集）。命题及其关系（原命题、逆命题、否命题、逆否命题及其等价性）。

***函数**：函数的概念（定义域、值域、对应法则）、函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性）、常见函数的图像与性质（一次函数、二次函数、分段函数、绝对值函数、指数函数、对数函数、三角函数）。

***数列**：数列的概念、通项公式、递推公式、等差数列与等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式。

***不等式**：不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法。

**二、计算与分析**

***集合运算**：熟练进行集合的并、交、补运算，并能用描述法表示结果。

***函数求值与性质判断**：根据函数解析式求函数值，判断函数的单调性、奇偶性、周期性，求函数的最值。

***方程与不等式求解**：熟练解一元一次、一元二次方程（组），熟练解一元一次、一元二次不等式（组），熟练解绝对值不等式。

***数列求通项与前n项和**：根据等差、等比数列的定义或递推关系求通项公式和前n项和。

***极限计算**：掌握极限的基本计算方法，特别是对于分式函数在x趋近于某个值时，若出现0/0型不定式，需通过因式分解约去公共因子再求极限。

**题型所考察学生知识点详解及示例**

**一、选择题**

***考点**：考察学生对基础概念、性质、公式的理解和记忆。

***示例**：判断函数奇偶性、求函数值、判断不等式解集、判断集合关系等。

***考察