专题31函数的概念及其表示（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

专题3.1函数的概念及其表示【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1对函数概念的理解】 1【题型2求函数的定义域】 2【题型3求函数的值域】 3【题型4由函数的定义域或值域求参数】 3【题型5求函数值或由函数值求参】 4【题型6同一函数的判断】 4【题型7函数的表示法】 5【题型8分段函数】 7【知识点1函数的概念】1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．【题型1对函数概念的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系【变式11】（2023·全国·高三对口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示从A到B的函数是（

）A．f:x→y,y=13xC．f:x→y,y=2x 【变式12】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（

）A． B．C． D．【变式13】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=x0≤x≤2，下列图象能建立从集合A到集合A． B．C． D．【题型2求函数的定义域】【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y=1x−1+A．xx≥−2且x≠1 B．xx≥−2 C．xx<−2 D．【变式21】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x+1)的定义域是−2,3，则函数f(2x−1)的定义域（

）A．−1,4 B．−7,3 C．−3,7 D．0,【变式22】（2023·全国·高一假期作业）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx=fA．1,2 B．1,4 C．1,2 D．1,4【变式23】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−8,1，则函数gx=A．−92,−2∪−2,0 B．−8,−2∪【题型3求函数的值域】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（

）A．{1,2} B．[1,2] C．{0,1} D．[1,+【变式31】（2023·全国·高三对口高考）函数fx=2−−A．−2,2 B．1,2 C．0,2 D．−【变式32】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=−x2【变式33】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【题型4由函数的定义域或值域求参数】【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=32−xax2+ax+2的定义域为A．0≤a≤2 B．0≤a<8C．0<a≤8 D．0<a<8【变式41】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=3x−1x+3(x≠−3)A．3 B．−3 C．13 D．【变式42】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【变式43】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称b−a为区间a,b的长度，若函数fx=ax2A．−4 B．−2 C．4或−2 D．与b,c的取值有关【题型5求函数值或由函数值求参】【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)A．3 B．5 C．7【变式51】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（

）x1234x1234f(x)3142g(x)4321A．1 B．2 C．3 D．4【变式52】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知fx+1=2x−3，且fa=3，则A．4 B．3 C．2 D．1【变式53】（2022·全国·高一专题练习）已知fx=ax5+1，且fA．−8 B．10 C．9 D．11【知识点2函数的相等】1．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.2．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.【题型6同一函数的判断】【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（

）A．y=(x−1)0B．y=x与y=C．y=x与D．y=x2【变式61】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y=【变式62】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．fx=x+1与gx=xC．fx=1，gx=x【变式63】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（

）A．y=xx与y=1 B．y=C．y=x2−1x−1与y=x+1 【知识点3函数的表示法】1．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型7函数的表示法】【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（

）x−10123f2130−2g32−1−20A．0 B．2 C．−2 D．1【变式71】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（

）A．y=[x+210] B．y=[x+310]【变式72】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式73】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=1−|x−1|(0≤x≤2)【题型8分段函数】【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)=−x,x≤0x2,x>0，则A．−3 B．3 C．−9 D．9【变式81】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数fx=x−1,x>0,4x,x≤0,若faA．12 B．18 C．18或−12【变式82】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活