带电粒子在磁场中的圆周运动

带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动考情透析考情透析命题点考频分析命题特点核心素养带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动2024年：重庆T14广西T5甘肃T15湖北T7河北T102023年：湖南T6全国甲T72022年：辽宁T8浙江6月T22本专题主要考查带电粒子在磁场中的圆周运动，主要分为带电粒子在有界匀强磁场中的运动（包括临界极值问题）、带电粒子束在磁场中的运动（放缩圆、磁聚焦、磁扩散类问题）、带电粒子在磁场中运动的多解问题（周期性造成的多解）等。高考常常结合数学知识进行考查，对学生分析推理能力、综合应用能力要求较高。物理观念：掌握带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的基本概念，以及半径和周期的计算。科学思维：能够根据具体问题构建出不同的物理模型，并对不同的模型进行分析推理。带电粒子束在磁场中的运动带电粒子在磁场中运动的多解问题热点热点突破命题点命题点1带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动▼考题示例1（2023·北京·模拟题）（多选）地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图所示，模拟地球半径为R，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球、厚度为d、方向垂直该剖面的匀强磁场（磁感应强度大小为B），d＝2R。磁场边缘某处（未画出）有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子。研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。则（）A．粒子的比荷B．粒子的比荷C．速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为D．速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为答案：AD解析：AB、其轨迹如图甲所示（和地球相切）：设该粒子轨迹半径为r，则根据几何关系：，解得：，又根据题意有：，联立以上可得，，故A正确，B错误；CD、速度为v的粒子进入磁场有：，于是得到：，若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，则从A点射入，在交点E到达地球的弦长最短，时间最短，如图乙所示，AD＝DE＝2R，故∠ADE＝60°，则，故C错误，D正确。跟踪训练1（2024·河北·历年真题）（多选）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（）A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45°D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°答案：ACD解析：AC．根据几何关系可知，若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必经过cd边，作出粒子运动轨迹图，如图甲所示，粒子从C点垂直于BC射出，故AC正确；BD．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，若粒子从cd边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图乙所示，则粒子不可能垂直BC射出；若粒子从bc边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图丙所示，则粒子一定垂直BC射出，故B错误、D正确。故选ACD。总结升华带电粒子在有界磁场中的临界极值问题的处理方法：（1）从关键词找突破口：题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐含的规律，找出临界条件。（2）数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。（3）四个重要结论①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。②当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；③当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。④在圆形匀强磁场中，当带电粒子运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦长中直径最长）。命题点命题点2带电粒子束在磁场中的运动▼考题示例2（2023·安徽省·模拟题）如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（）A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直答案：C解析：做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供：，将代入，求得r＝R，即磁场圆的半径与质子轨迹圆的半径相等。A．对着圆心射入的质子，由几何关系知该质子最后从O点的正下方C点射出磁场，其出射方向的反向延长线必过圆心，所以选项A错误。BC．假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，连接EOCD构成如图所示的四边形，由于DE∥OC，且DE＝OC，则四边形DEOC是平行四边形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点E水平入射的质子也从O点的正下方C射出，故C正确；由于从a点入射的质子比从b点入射的质子偏转角大，根据（θ为运动轨迹对应的圆心角）可知，从a点入射的质子在磁场中运动时间长，所以选项B错误。D、由于质子的速率，则质子做匀速圆周运动的半径仍为R；假设这些质子从O点正下方的C点从不同方向射入磁场，则这些质子在磁场中运动的过程可以看成题中的质子束运动的逆过程，由此可知这些质子从磁场出射时都是相互平行的；由此扩展来看，质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向一定是相互平行的，不可能出现垂直的情况，故D错误。故选C。跟踪训练2（2023·四川·模拟题）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（）A．粒子带负电B．从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率C．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间D．所有粒子所用最短时间为答案：D解析：A．粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可知粒子带正电，A错误；B．根据得，从M点射出粒子的圆周半径更小，则速度更小，B错误；CD．解法一：由，粒子周期不变，圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，当弦切角越小，则运动时间越短，如图：当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小。Ob等于R，由几何关系，此时圆周运动的圆心角为120°，则最短时间为，M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系，C错误，D正确。解法二：设圆弧边界的圆心为A，质子打在圆弧边界上的落点为E，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心为P点，则过A点做OE弦的垂线AH，如图所示2α＋θ＝180°，α越大，则θ越小，由几何关系sinα＝＝，则E在圆周上运动过程中，当OE恰好与圆A相切时，AH最大，此时AH＝R，故可得α＝30°，所以θ最小值为120°，则最短时间为，M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系，C错误，D正确。故选D。总结升华带电粒子束在匀强磁场中运动的几种特殊情况：1．磁聚焦和磁发散（1）磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行。（2）磁聚集：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行。2．动态放缩法当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v的大小或磁感应强度B的大小变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形区域OABC，从BC边射出的临界情景为②和④。3．定圆旋转法当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。粒子进入单边界磁场时的情景如图所示。命题点命题点3带电粒子在磁场中运动的多解问题▼考题示例3（2022·河南省·模拟题）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，A、B、C三点为圆形区域边缘上的三等分点，三点外沿半径方向的极窄区域存在电场强度大小为E（图中未画出）、方向与过三点的磁场边缘的切线垂直的匀强电场。现有一质量为m、电荷量为－q的带电粒子从A点沿着半径方向射入匀强磁场，不计粒子重力，求：（1）若粒子恰从A点开始运动又返回A点，求粒子首次返回A点所用的时间；（2）现改变粒子从A点入射速度的大小，同时将圆形区域外的电场改为辐射状沿圆形区域半径向外的电场，使粒子仍能返回A点，求粒子首次返回A点在磁场中运动的时间（粒子没有越过A点）。答案：（1）（2）（n＝3，4⋯⋯）解析：（1）带电粒子运动轨迹如图所示，由几何关系知粒子在磁场中运动的轨迹半径为：r＝带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设粒子运动的速率为v，周期为T，由牛顿第二定律知：Bvq＝由圆周运动规律知：T＝粒子在磁场中由A到B的过程中转过的圆心角为，对应的时间t′＝，由对称性可知，粒子在磁场中的运动时间t1＝3t′解得t1＝，v＝粒子运动到B、C两点后先在电场中做匀减速直线运动再反向做匀加速直线运动进入磁场，加速度为：a＝，由匀变速直线运动规律知，粒子在电场中运动的总时间为t2＝＝则粒子从A点开始运动到返回A点所用的时间t＝t1＋t2＝；（2）设粒子在磁场中运动n（n≥3）段相同的圆弧后返回A点，粒子在磁场中运动的第一段圆弧的轨迹如图所示，由图可知：β＝（n＝3，4⋯⋯），α＝π－β则粒子从A点出发到首次返回A点在磁场中运动的时间t＝＝解得t＝（n＝3，4⋯⋯）跟踪训练3（2023·全国·模拟题）如图所示，纸面内有互相垂直的虚线边界PA、QA，且PA与水平方向夹角为45°，在PAQ上方和下方存在方向相反、大小相等的匀强磁场。现有一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从P点沿PQ方向以初速度v0射出。已知AP＝AQ＝L，不计粒子重力。（1）若仅经两侧磁场各一次偏转，使粒子从P经A到Q，求此时的磁感应强度B0的大小及该过程粒子运动的时间t；（2）若保持粒子入射速度不变，两侧磁感应强度大小可以调整（保持两侧磁场大小始终相等），则为使粒子能始终从P经A到Q，求磁感应强度B的大小应满足的条件。答案：（1）（2）（n＝1，2，3，⋯）解析：（1）如图所示，设粒子运动的半径为r，由几何关系知：2r2＝L2由牛顿第二定律知：qv0B0＝联立解得：B0＝两侧的圆弧刚好是一个圆周，则运动时间为t＝＝（2）根据运动的对称性，粒子能从P经A到达Q，运动轨迹如图所示，设每次偏转圆弧对应的弦长为x，由图可得L＝nx（n＝1，2，3，⋯）由几何关系知，偏转圆弧对应的圆心角为或。设粒子运动