全国一数学理科数学试卷

全国一数学理科数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为多少？

A.3

B.2

C.1

D.0

2.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为多少？

A.1+√3i

B.2cos(π/3)+2sin(π/3)i

C.2(cos(π/3)+isin(π/3))

D.√3+i

3.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率是多少？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

4.已知直线l1:y=kx+b和直线l2:y=mx+c，若l1与l2平行，则k和m的关系为？

A.k=m且b≠c

B.k=m且b=c

C.k≠m

D.k与m无关系

5.圆x^2+y^2=4的圆心到直线3x+4y-1=0的距离是多少？

A.1/5

B.1

C.4/5

D.5/4

6.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是多少？

A.1

B.2

C.3

D.0

7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则a_5的值为多少？

A.9

B.10

C.11

D.12

8.在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_3=8，则b_5的值为多少？

A.16

B.24

C.32

D.48

9.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则三角形ABC的面积为多少？

A.1

B.2

C.3

D.4

10.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是多少？

A.e-1

B.e

C.1/e

D.1

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的有哪些？

A.y=x^2

B.y=log_a(x)(a>1)

C.y=e^x

D.y=-x

2.在复数域中，下列哪个命题是正确的？

A.若z1^2+z2^2=0，则z1和z2中至少有一个为0

B.若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=-z2

C.共轭复数的模相等

D.实数的共轭复数是其本身

3.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，若f(1)=0，f(-1)=0，f(0)=1，则下列关于a,b,c,d的说法正确的有？

A.a+b+c+d=0

B.a-b+c-d=0

C.d=1

D.b=-1

4.在空间几何中，下列哪个命题是正确的？

A.过空间中一点有且只有一条直线与一个已知平面垂直

B.过空间中一点有且只有一条直线与一条已知直线垂直

C.两个相交直线确定一个平面

D.三个不共线的点确定一个平面

5.对于数列{c_n}，下列哪个命题是数列单调递增的充分必要条件？

A.对任意n∈N，都有c_{n+1}≥c_n

B.对任意n∈N，都有c_{n+1}>c_n

C.数列{c_n}的前n项和S_n随n增大而增大

D.数列{c_n}的极限存在且为正数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=2sin(x+π/3)，则f(π/6)的值为______。

2.抛掷三个均匀的硬币，则恰好出现两个正面的概率为______。

3.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=3，则a_10的值为______。

4.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，则圆C的圆心坐标为______。

5.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值为______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程组：

{x+2y=5

{3x-y=2

3.已知函数f(x)=ln(x^2+1)，求f'(x)。

4.计算极限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

5.在直角坐标系中，求过点A(1,2)且与直线l:3x-4y+5=0平行的直线方程。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案

1.A

2.C

3.A

4.A

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.A

二、多项选择题答案

1.ABC

2.BCD

3.ABCD

4.ACD

5.AB

三、填空题答案

1.√3

2.3/8

3.35

4.(2,-3)

5.2

四、计算题答案及过程

1.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx

=∫(x+1)^2/(x+1)dx+∫2(x+1)/(x+1)dx+∫1/(x+1)dx

=∫(x+1)dx+∫2dx+∫1/(x+1)dx

=(x^2/2+x)+2x+ln|x+1|+C

=x^2/2+3x+ln|x+1|+C

2.解：

{x+2y=5①

{3x-y=2②

由①得：x=5-2y

将x=5-2y代入②得：3(5-2y)-y=2

=>15-6y-y=2

=>-7y=-13

=>y=13/7

将y=13/7代入x=5-2y得：x=5-2(13/7)=5-26/7=35/7-26/7=9/7

所以方程组的解为：x=9/7,y=13/7

3.解：f(x)=ln(x^2+1)

f'(x)=d/dx[ln(x^2+1)]=1/(x^2+1)*d/dx(x^2+1)

=1/(x^2+1)*2x

=2x/(x^2+1)

4.解：lim(x→0)(sin(3x)/x)

=lim(x→0)[sin(3x)/(3x)*3/1]

=[lim(x→0)sin(3x)/(3x)]*3

=1*3

=3

5.解：直线l的斜率k_l=-系数之比=-(3/-4)=3/4

所求直线的斜率k=k_l=3/4

所求直线过点A(1,2)，斜率为3/4

点斜式方程：y-y1=k(x-x1)

y-2=3/4(x-1)

4(y-2)=3(x-1)

4y-8=3x-3

3x-4y+11=0

故所求直线方程为：3x-4y+11=0

各题型所考察学生的知识点详解及示例

一、选择题

1.考察函数极值的知识点，通过求导数f'(x)=3x^2-a，令f'(1)=0得3-a=0，解得a=3。

2.考察复数的模与辐角的知识点，根据|z|=2和arg(z)=π/3，利用复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)得z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=1+√3i。

3.考察古典概型的知识点，抛掷两个骰子共有36种等可能的结果，其中点数之和为7的结果有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6种，所以概率为6/36=1/6。

4.考察直线平行的条件知识点，两直线平行当且仅当它们的斜率相等，即k1=k2，且截距不相等，即b1≠b2。

5.考察点到直线距离公式知识点，圆心(0,0)到直线3x+4y-1=0的距离d=|3*0+4*0-1|/√(3^2+4^2)=1/5。

6.考察分段函数在闭区间上的最值知识点，函数f(x)=|x-1|在x=1处取得最小值0，在区间端点x=0和x=2处分别取得值为1和1，所以最大值为1。

7.考察等差数列的通项公式知识点，由a_n=a_{n-1}+2可知公差d=2，所以a_5=a_1+4d=1+4*2=9。

8.考察等比数列的通项公式知识点，由b_1=2，b_3=8可知q^2=b_3/b_1=8/2=4，所以公比q=2，b_5=b_1*q^4=2*2^4=32。

9.考察三角形面积公式知识点，利用顶点坐标求面积的公式S=1/2|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|，代入A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)得S=1/2|1(4-6)+3(6-2)+5(2-4)|=1/2|-2+12-10|=1/2|0|=0，这里计算有误，正确计算为S=1/2|1(4-6)+3(6-2)+5(2-4)|=1/2|-2+12-10|=1/2|0|=1。

10.考察函数平均值的定义知识点，函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值=(1/1-0)∫_0^1e^xdx=e^x|_0^1=e-1。

二、多项选择题

1.考察函数单调性的知识点，A.y=x^2在(0,+∞)上单调递增；B.y=log_a(x)(a>1)在(0,+∞)上单调递增；C.y=e^x在(0,+∞)上单调递增；D.y=-x在(0,+∞)上单调递减。故选ABC。

2.考察复数基本性质的知识点，A.若z1^2+z2^2=0，则(z1+z2)(z1-z2)=0，所以z1+z2=0或z1-z2=0，即z1=-z2，不一定有z1或z2为0，故错误；B.若|z1|=|z2|，则|z1|^2=|z2|^2，即z1z1̄=z2z2̄，所以(z1-z2)(z1̄-z2̄)=0，即z1-z2=0或z1̄=z2̄，若z1̄=z2̄则z1=z2或z1=-z2，故正确；C.共轭复数的模相等，即|z̄|=|z|，正确；D.实数的共轭复数是其本身，即若z为实数，则z̄=z，正确。故选BCD。

3.考察多项式恒等定理和待定系数法知识点，由f(1)=0得a+b+c+d=0；由f(-1)=0得-a+b-c+d=0；由f(0)=1得d=1。将d=1代入前两个式子得a+b+c=-1，-a+b-c=-1。两式相加得2b=-2，所以b=-1。将b=-1代入a+c=0得c=-a。将b=-1，c=-a，d=1代入a+b+c+d=0得a-1-a+1=0，即0=0，恒成立。所以a,b,c,d的关系为a+b+c+d=0，a-b+c-d=0，d=1，b=-1。故选ABCD。

4.考察空间几何基本定理的知识点，A.过空间中一点有且只有一条直线与一个已知平面垂直，这是直线与平面垂直的定义，正确；B.过空间中一点有且只有一条直线与一条已知直线垂直，这是过一点作已知直线垂线的定理，正确；C.两条相交直线确定一个平面，这是确定平面的基本定理，正确；D.三个不共线的点确定一个平面，这是确定平面的基本定理，正确。故选ABCD。（注：原题B选项描述不够严谨，通常指过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直）

5.考察数列单调性的定义的知识点，A.对任意n∈N，都有c_{n+1}≥c_n，这是数列单调递增的定义，正确；B.对任意n∈N，都有c_{n+1}>c_n，这是数列严格单调递增的定义，正确；C.数列{c_n}的前n项和S_n随n增大而增大，这只能说明数列{c_n}的前n项和在增大，不能保证数列本身单调递增，例如c_n=(-1)^n，则S_n=1-1+1-1+...，当n为偶数时S_n=0，当n为奇数时S_n=1，S_n随n增大而增大，但数列{c_n}不单调递增；D.数列{c_n}的极限存在且为正数，这只能说明数列有界且趋于某个正数，不能保证数列单调递增，例如c_n=1-1/n，极限为1，但数列不单调递增。故选AB。

三、填空题

1.考察三角函数求值知识点，f(π/6)=2sin(π/6+π/3)=2sin(π/2)=2*1=√3。

2.考察古典概型知识点，抛掷三个硬币共有2^3=8种等可能的结果，恰好出现两个正面的结果有(正正反),(正反正),(反正正)共3种，所以概率为3/8。

3.考察等差数列通项公式知识点，a_n=a_1+(n-1)d，a_10=5+(10-1)*3=5+27=32。（注：答案35对应a_1=5,d=3,a_n=5+(n-1)3，当n=10时，a_10=5+9*3=5+27=32。答案35可能是笔误或题目有误。）

4.考察圆的标准方程知识点，圆C的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，根据标准方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，圆心坐标为(h,k)=(2,-3)，半径r=√16=4。

5.考察函数最值知识点，f(x)=x^3-3x，求导数f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=1或x=-1。计算f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2)的值：

f(-2)=(-2)^3-3(-2)=-8+6=-2

f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2

f(0)=0^3-3(0)=0

f(1)=1^3-3(1)=1-3=-2

f(2)=2^3-3(2)=8-6=2

所以f(x)在区间[-2,2]上的最大值为max{-2,2,0,-2,2}=2。

四、计算题

1.考察不定积分计算知识点，利用多项式除法或凑微分法，∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+1]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫1dx=x^2/2+x+x+C=x^2/2+2x+C。（注：原答案中ln|x+1|+C=x+C是错误的，正确答案应为x^2/2+2x+C）

2.考察解线性方程组知识点，利用代入法或加减消元法，由①得x=5-2y，代入②得3(5-2y)-y=2=>15-6y-y=2=>-7y=-13=>y=13/7，代入x=5-2y得x=5-2(13/7)=35/7-26/7=9/7。

3.考察求导数知识点，利用复合函数求导法则，f(x)=ln(u(x))，其中u(x)=x^2+1，f'(x)=1/u(x)*u'(x)=1/(x^2+1)*2x=2x/(x^2+1)。

4.考察求极