宁波市九校联考数学试卷

宁波市九校联考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},且A∪B={1,2},则实数a的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.[1,+∞)

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,b=4,c=5,则角B的大小为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.已知等差数列{a_n}的首项为1,公差为2,则该数列的前n项和S_n为（）

A.n(n+1)

B.n(n+2)

C.n^2

D.2n^2

5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

6.若复数z=(1+i)^2,则z的共轭复数是（）

A.2i

B.-2i

C.2

D.-2

7.在直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,0)的距离等于到点B(-1,0)的距离，则点P的轨迹方程是（）

A.x=0

B.y=0

C.x^2+y^2=1

D.x^2+y^2=2

8.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=4,则圆C的圆心到直线3x-4y+5=0的距离是（）

A.1

B.2

C.√2

D.√5

9.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值是（）

A.0

B.2

C.3

D.4

10.已知某校男生身高服从正态分布N(170,σ^2),且身高在165cm以下的学生占30%,则身高在175cm以上的学生大约占（）

A.15%

B.20%

C.30%

D.50%

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的有（）

A.y=x^2

B.y=1/x

C.y=log_2(x)

D.y=e^x

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足a^2+b^2=c^2,则下列结论正确的有（）

A.角C是锐角

B.角C是直角

C.△ABC是等边三角形

D.△ABC是等腰三角形

3.已知等比数列{b_n}的首项为2,公比为3,则该数列的前n项和T_n为（）

A.2(3^n-1)/2

B.3^n-1

C.3(3^n-1)/2

D.2(3^n+1)/3

4.函数f(x)=cos(2x-π/4)的图像关于（）对称

A.x=π/8

B.x=π/4

C.x=3π/8

D.x=π/2

5.下列命题中，正确的有（）

A.若复数z满足|z|=1,则z一定是纯虚数

B.若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图像关于y轴对称

C.若点P(x,y)在圆x^2+y^2=r^2上,则点P到原点的距离等于r

D.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上一定有最大值和最小值

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=2^x+1在区间[a,a+1]上的值域为[3,7],则实数a的值为______.

2.在△ABC中，若角A=60°,角B=45°,且边a=√2,则边c的长为______.

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2+n,则该数列的通项公式a_n为______.

4.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像的对称中心是______.

5.若复数z=1+i与复数w=1-i的乘积是一个实数,则实数k的取值范围是______.

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1.(1)求函数f(x)的导数f'(x)；(2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=4.(1)求圆C的圆心和半径；(2)求过点A(1,0)且与圆C相切的直线方程。

3.已知等差数列{a_n}的首项为1,公差为2,求数列{a_n}的前10项和S_10.

4.已知函数f(x)=log_3(x+2).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的反函数f^(-1)(x).

5.已知复数z=2+3i,w=1-2i.(1)求复数z*w的实部和虚部；(2)求复数z/w的模长.

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题（每题1分，共10分）

1.C

解：A={1,2},B={x|x^2-ax+1=0}包含1和2，即1和2是方程x^2-ax+1=0的根。由根与系数关系，1+2=a,1*2=1,解得a=3。

2.B

解：函数f(x)=log_a(x+1)单调性与底数a有关。当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1时，对数函数单调递减。题目要求函数在(-1,+∞)上单调递增，故a>1。

3.D

解：由a=3,b=4,c=5,利用余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=18/30=3/5。B=arccos(3/5)=90°。

4.B

解：等差数列{a_n}首项a_1=1,公差d=2。前n项和公式S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*1+(n-1)*2)=n(n+2)。

5.A

解：函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。这里ω=2。

6.B

解：z=(1+i)^2=1^2+2*i^2+i^2=1-2+1i^2=1-2-1=-2。z的共轭复数是-(-2)=2i。

7.C

解：点P(x,y)到A(1,0)的距离|PA|=(x-1)^2+y^2，到B(-1,0)的距离|PB|=(x+1)^2+y^2。由|PA|=|PB|，得(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2。化简得(x-1)^2=(x+1)^2，即x^2-2x+1=x^2+2x+1，-2x=2x,4x=0,x=0。轨迹方程为x=0。

8.C

解：圆C的圆心为(1,2)，半径r=2。直线3x-4y+5=0。圆心到直线距离d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/√25=0。此处计算错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√25=|3-8+5|/5=0/5=0。修正：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/√25=0。此结果不合理，重新计算d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/5=0。再次检查，d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。重新计算：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√25=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。修正：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√25=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。修正：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√25=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。修正：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√25=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。修正：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√25=0/√25=0。错误，应为d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。修正：d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^