2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（广西版）-第七节　二项分布、超几何分布、正态分布

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第七节二项分布、超几何分布、正态分布第十一章2026内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义.强基础增分策略知识梳理1.n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做

.

将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.实际原型是有放回地抽样检验问题

伯努利试验

(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作

.

(3)两点分布与二项分布的均值、方差若随机变量X服从两点分布,则E(X)=

,D(X)=

.

若X~B(n,p),则E(X)=

,D(X)=

.

X~B(n,p)pp(1-p)npnp(1-p)微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;(2)试验可以独立重复进行n次.微思考两点分布(0—1分布)和二项分布有什么关系?提示

两点分布是一种特殊的二项分布,即是n=1的二项分布;二项分布可以看作两点分布的一般形式.2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.微点拨超几何分布与二项分布的关系

不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p=

);若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似3.正态分布(1)正态曲线函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)正态曲线特点

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.(3)正态分布的定义及表示

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为

.

服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量

假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈

.

②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈

.

③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈

.

X~N(μ,σ2)0.68270.95450.9973微点拨1.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正态曲线关于直线X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?提示

若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中a=p,b=1-p.(

)(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.(

)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.(

)(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.(

)√×√√答案

A

3.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

.

答案

0.14解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.增素能精准突破考点一二项分布及其应用典例突破例1.(2024全国模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解,提高旅游景区的知名度和吸引力,促进旅游业的发展,在2023年中秋、国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动,在坚持“公平、公正、公开”的前提下,经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节,当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号.评选活动结束后,文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度,拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介,再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介.记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A,面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B,求P(B|A),P(B);(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区,且每次选1个景区(可以重复),分别向北京、上海、广州、深圳这四个城市进行重点推介,记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X,求X的分布列和均值.解

(1)由古典概型的概率计算公式可得,所以X的分布列为

方法总结二项分布的解题策略

对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物.如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列和均值.考点二超几何分布及其应用典例突破例2.(2024九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及均值E(X).所以X的分布列为

方法总结求超几何分布的分布列的步骤

对点训练2(2024广东茂名一模)近几年,随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起,新能源汽车产业进入了加速发展的阶段,我国的新能源汽车产业,经过多年的持续努力,技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强,呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关,对送来的某个汽车零部件进行检测.(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测,求至少有1个零部件合格的概率;(2)若该批零部件共有20个,其中有4个零部件不合格,现从中任取2个零部件,求不合格零部件的产品数X的分布列和均值.解

(1)记“检测出至少有1个零部件是合格品”为事件A,则P(A)=1-=1-(1-0.9)3=0.999.所以随机变量X的分布列为

考点三正态分布及其应用(多考向探究)考向1.正态分布的概率计算典例突破例3.(1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且(2)(多选)(2024新高考Ⅰ,9)为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值

=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布,则(

)(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8答案

(1)A

(2)BC

解析

(1)因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),由对称性可知,P(X<1)=P(X>3).(2)由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,∴A错误.P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,∴C正确,D错误.故选BC.名师点析正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是“正态曲线关于直线x=μ对称”“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.对点训练3(1)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(x>-1)+P(x≥5)=1,则μ=(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2(2)已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10000袋这种食品,袋装质量在区间[492,504]的约有

袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973).

答案

(1)D

(2)8186

解析

(1)因为随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则对称轴为X=μ.又P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,所以P(X≥5)=P(X≤-1),所以5和-1关于对称轴对称,则μ==2.故选D.(2)由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.682

7,P(500-8≤X≤500+8)≈0.954

5,故P(492≤X≤504)≈0.135

9+0.682

7=0.818

6,则袋装质量在区间[492,504]的约有10

000×0.818

6=8

186(袋).考向2.正态分布的实际应用典例突破例4.某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A,B,C,D,E五等21级.该省的某市为了解本市9630名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49).现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.

(2)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前13名的人数记为X,求随机变量X的分布列.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.所以0.001

35×9

630≈13,所以全市前13名的成绩在90分以上,该50名考生成绩中90分以上的有0.08×50=4(人).X的分布列为

名师点析解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想.对点训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)