2024-2025学年长沙市雅礼教育集团高一下学期期末考试数学试题（学生版+解析版）

雅礼教育集团2024-2025学年度高一第二学期期末考试时量：120分钟分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.经过两点A(2,m),B(-m,4)的直线l的倾斜角为135°,则m的值为()A.-2B.1C.3A.3B.5 点N为BC中点，则MN等于()4.已知m,n为不同的直线，α,β为不同的平面，下列命题为假命题的是()B.m//n,ncα→m//α5.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=1,sinA=2sinC,,则VABC的面积B,C两点间的距离是()A.50√2海里B.50√3海里C.100√3海里D.100√2海里表示“第二次朝上的数字为偶数”,则下列事件中与事件N相互独立的是()A.第二次朝上的数字是奇数B.第二次朝上的数字为2C.两次朝上的数字之和为9D.两次朝上的数字之和为10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()B.若z=(1+2i)²,则复平面内对应的点位于第二象限C.复数,|z|=√2A.若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)=0B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A+B)=1C.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分11.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是()B.当,截面S的形状为等腰梯形D.当时，直线PQ与平面ACC₁A₁夹角正弦值的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100).现随机抽取了其中10个数据依次为80,85,86,89,91,92,93,95,95,96,则这组数据的第25百分位数为_13.在对某中学高一年级学生体重(单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54,20,抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45,11,则估计该校高一年级学生体重的方差为·(参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m,x,s²;n,y,s²,记总的样本平均数和样本方差为@,s²,其中14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为15.如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=2.B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A+B)=1【解析】11.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，【解析】如图，又可得△C₁RQ~△D₁RE,则对于D,如图，取DC中点S,连接PS,BD,PS即交AC于点M,连接QM,因AC∩CC₁=C,AC,CC₁C平面ACC₁A,故PS⊥平面ACC₁A,则∠PQM即直线PQ与平面ACC₁A₁的夹角，设为θ,不妨设CQ=x,则在Rt△PMQ中，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100).现随机抽取了其中10个数据依次为80,85,86,89,91,92,93,95,95,96,则这组数据的第25百分位数为_【答案】86【解析】【分析】根据百分位数的计算规则即可求解.【详解】10×25%=2.5,故这组数据的第25百分位数为86,13.在对某中学高一年级学生体重(单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54,20,抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45,11,则估计该校高一年级学生体重的方差为_.(参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m,x,s²;n,y,s2,记总的样本平均数和样本方差为@,s²,其中【答案】36【解析】【分析】根据题意，求得总体的平均数w=50,结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54,20,抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45,11,故答案为：36.14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小【解析】【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解.【详解】由轴截面为等边三角形的高为6,易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为4√3.小球的半径为1,在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，可知扇环的半径为3√3,√3,扇环所在扇形的圆心角为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求证：A₁C//平面AB₁D;(2)若三棱锥B₁-ADC₁的体积为,求AA₁.【解析】(2)证明AD⊥平面BCC₁B₁,求出AD=√3,设AA₁=m,则S△BCD=m,利用等体积法得到方程，求出m=2,得到AA₁的值.【小问1详解】又D是BC的中点，故A₁C//DH,因为A₁Cø平面AB₁D,DHc平面AB₁D,【小问2详解】因为VABC为等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC,又AB=2,故AD=2sin60°=√3,因为B₁B⊥平面ABC,ADc平面ABC,所以B₁B⊥AD,故AA₁=2.解得m=2,16.某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照(30,50),(50,70),(70,90),(90,110),(110,130),[130,150]分成6组，制成了如图所示的频率分频率频率组距a(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在(50,70)和(70,90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在(50,70)内的概率.【答案】(1)93分(2)【解析】【分析】(1)先利用频率之和为1,计算出a=0.01,进而求出平均值即可；(2)利用分层抽样取样方法，算出需在[50,70]分数段内抽2人，分别记为A₁,A₂,需在(70,90)内抽3人，分别记为B,B₂,B₃,写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率.【小问1详解】由0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20=1,得a=0.01.(30,50)频率0.0050×20=0.1,(50,70)频率0.0050×20=0.1,(70,90)频率0.0075×20=0.15,(90,110)频率0.0200×20=0.4,(110,130)频率0.0100×20=0.2,[130,150]频率0.0025×20=0.05,样本平均值为：40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分.【小问2详解】由题意可知，分数段(50,70)的人数为100×0.1=10(人),分数段[70,90]的人数为100×0.15=15(人).用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段(50,70)内抽2人，分别记为A₁,A₂,需在分数段[70,90]内抽3人，分别记为B₁,B₂,B₃.设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段(50,70)内”为事件A,则样本空间Ω={AA₂,A₁B,A₁B₂,AB₃,A₂B₁,A₂B₂,A₂B₃,BB₂,BB₃,B₂B₃}共包含10个样本点而A的对立事件A={BB₂,B₁B₃,B₂B₃}包含3个样本点，即抽取的这2名学生至少有1人在(50,70)内的概率为17.某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是,假设甲、乙、丙每次答题是相互独立的，且甲、乙、丙的答题结果也是相互独立的.(1)求甲第二次答题通过初赛的概率；(2)求乙通过初赛的概率；(3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.【答案】(1)【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算可得；(2)根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；(3)根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】记甲第二次答题通过初赛为事件A,【小问2详解】记乙通过初赛为事件B,则【小问3详解】依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件C,18.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinB-csinC+(c-a)sinA=0.(1)求角B;(2)如图，∠ABC的角平分线交AC于点D,且a=3,c=4,(ii)若AB边上的中线CE与BD相交于点F,求∠DFE的余弦值.【答案】(1)【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出B即可得解.(2)(i)根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度.(ii)易知∠DFE为向量BD,CE的夹角，利用中线向量运算得结合角平分线定理利用向量线性运算得然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.【小问1详解】在VABC中，由bsinB-csinC+(c-a)sinA=0及正弦定理，得b²-c²+(c-a)a=0,【小问2详解】,解得在△ABD中，因为,得到BE为折痕将BCE折起，使点C到达C₁的位置，且AC₁=√6,如图2.D(1)求证：平面BC₁E⊥平面ABED;(2)求直线BC₁与平面AC₁D所成角的正弦值.(3)在棱DC₁上是否存在点P,使得二面角P-EB-C₁的平面角为45°?若存在，求出线段C₁P的长度，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2);(3)存在，【解析】【分析】(1)在图1中，连结AE,连结AC交BE于点F,证明C₁F⊥AF,C₁F⊥BE即可；(2)以D为坐标原点，DA,DE 面AC₁D的法向量和,然后可算出答案； (3)设DP=λDC₁,λ∈(0,1),