《数学（第8版 下册）（机械建筑类）》 课件 第1章 解三角形及其应用

解三角形及其应用第1章1目录1.1解直角三角形

1.2解任意三角形1.3解三角形的应用2学习目标1.掌握直角三角形中的边角关系，并会解直角三角形.2.掌握正弦定理和余弦定理，并会用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题和机械类的专业问题.3.掌握已知三角形的任意两边和夹角求三角形面积的方法.4.会进行锥形工件、螺纹、偏心工件和燕尾形工件的测量与加工的相关计算.3知识回顾三角形的三个角和三条边是三角形的六个元素，由已知的三个元素求另外三个元素的过程，称为解三角形.在生产和生活中，我们经常遇到解三角形的问题，下面我们先复习初中学过的解直角三角形.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，则六个基本元素之间的关系为：4（1）锐角之间的关系：∠A+∠B=

；（2）三边之间的关系：

；（3）边角之间的关系：边角关系也可以写作：又因为sinC=sin90°=1，所以51.1解直角三角形6实例考察假设你是一名登山者，如图所示，站在山脚下的点A，想要估计山峰的高度CD.你有一个测角仪，可以测量仰角.你从点A

出发朝着峰顶C沿水平方向走了100m到达了点B，在点A测得到峰顶C的仰角为45°，在点B

测得峰顶C的仰角为60°.请计算山峰的高度CD（精确到0.1m）.7解

根据题意可知，∠A=45°，∠CBD=60°，AB=100设CD=x.89解得x=150+50≈236.6.因此，山峰的高度约为236.6m.由于直角三角形自身的特殊性质，解直角三角形较简单，这也是解斜三角形的基础.在直角三角形中，除直角以外的五个元素，知道其中两个元素（至少有一条边），便能解直角三角形.类型如下：101.2解任意三角形11实例考察如图所示，如果要测量某两个点A，B

之间的距离，但在它们之间有障碍物，不可能直接测量.如果是你，遇到这种情况该怎么办呢？一个简单的解决办法就是另选一点C，通过测量AC，BC

的距离及∠C

的大小，然后进行计算，便可得到A，B两点间的距离.12在生产实践中，除解直角三角形的问题外，我们还常常遇到解任意三角形的问题.例如，机床中大量存在类似如图所示的齿轮传动装置，需准确确定各齿轮的中心距，这对于齿轮传动装置的装配、维修具有重要意义.如果已知齿轮A

的分度圆直径为90mm，齿轮

B

的分度圆直径为80mm，∠A=50°，∠B=70°，求A，C两齿轮的中心距.这就是已知任意三角形的两角和一边求其另一边的问题.13把任意三角形分成两个直角三角形来研究，这是解任意三角形的基本方法.运用它可得到表示任意三角形边角关系的两个基本定理———正弦定理和余弦定理.141.2.1正弦定理在直角三角形

ABC

中，∠C=90°，a=csinA，b=csinB，且sinC=1，有那么，在任意三角形ABC中，上述关系是否仍然成立呢？如图所示，在△ABC中，CD

为AB

边上的高.15在直角三角形ACD

中，CD=bsinA.在直角三角形BCD中，CD=asinB.所以bsinA=asinB，得到①同理可得

②

③以上三个等式也可写成16上式说明：三角形各边和它们所对的角的正弦函数值之比都相等.这就是正弦定理.

提示

由正弦定理可得asinC=csinA，bsinC=csinB.17利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）.利用CD=bsinA=asinB

以及上面

“提示”中的结论，我们还能得到△ABC的面积公式：上式说明：三角形的面积等于任意两边及其夹角正弦值的积的一半.181.2.2余弦定理在任意三角形中，已知两个角和任一边或者两边和其中一边的对角，利用正弦定理可以解这个三角形.如果已知两边和这两边的夹角或已知三边，该如何解这个三角形呢？如图所示，在△ABC中，CD为AB

边上的高.19在直角三角形CAD

中，CD2=b2-AD2，AD=bcosA；在直角三角形CBD

中，CD2=a2-DB2.所以b2-AD2=a2-DB2，a2=b2-AD2+DB2.又因为DB=丨c-AD丨，所以a2=b2

-AD2+丨c-AD

2丨=b2+c2-2c·AD=b2+c2

-2bccosA，即a2=b2+c2-2bccosA.①

同理可得

b2=a2+c2-2accosB，②

c2=a2+b2-2abcosC.③2020以上三个等式说明三角形中任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与其夹角余弦函数值的乘积的两倍.这就是余弦定理.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角.（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.21211.3解三角形的应用22实例考察在机械加工的过程中，会经常遇到根据各种几何图形计算有关角度或长度的问题，如锥形工件、燕尾型工件、螺纹的加工与测量等.下面展示了典型的加工情境，请观察这些工件，并试着将其抽象为数学模型.角度计算

加工如图所示的锥形工件，已知大端直径D，小端直径d，锥形部分长度L，如何计算圆锥半角？23长度计算

加工如图所示的偏心工件，已知大圆直径D，偏心距e，如何计算垫片厚度x？241.3.1加工和测量锥形工件转动小滑板法加工锥形工件时，圆锥半角

的计算在通过锥形工件轴线的截面内，两条素线间的夹角α称为圆锥角（见下图），圆锥角α的一半，即

称为圆锥半角.D

为锥形工件的大端直径，d为锥形工件的小端直径，L

为锥形部分的长度.25在车削锥形工件时，通常可用转动小滑板的方法加工.此时，需把刀架小滑板按工件的圆锥半角

的要求转动一个相应角度，使车刀的运动轨迹（走刀方向）与所要加工的圆锥素线平行（见下图）.26如果已知大端直径

D、小端直径d及锥形部分的长度L，在上图中，过点A

作AE⊥BE，在直角三角形ABE中，有AE=L，BE=，∠BAE=，则

①如果已知锥度C，由锥度公式C=得当圆锥半角<6°时，可用下列近似公式计算27偏移尾座法加工锥体时，尾座偏移量S的计算对比如图所示的加工方法，可以发现：当工件的回转轴线与车床主轴轴线重合时，车出的工件为圆柱；当车床尾座横向移动一段距离S，使得工件的回转轴线与车床主轴轴线相交成一个角度，这样车出的工件为圆锥，这种加工圆锥的方法称为偏移尾座法.28将偏移尾座法车削锥形工件抽象为数学模型，如图所示.用偏移尾座法车削圆锥时，尾座的偏移量不仅与圆锥长度L有关，而且还与两个顶尖之间的距离AE有关，这段距离一般可近似看作工件的全长L0.29在如上图所示的直角三角形ABE中，已知BE⊥AB且BE=S，AE=L0，30

由此可得偏移量S的近似计算公式式中

S———尾座偏移量；

L———圆锥长度；

L0———工件全长；

D———锥体大端直径；

d———锥体小端直径；

C———圆锥锥度.31

用正弦规测量锥角时的计算正弦规是利用三角函数中的边角关系间接测量角度的一种精密量具，它

由一块钢质长方体和两个相同的精密圆柱体组成（见下图a）.两个圆柱体之间的中心距非常精确，中心连线与长方体工作平面严格平行.常用正弦规的两圆柱中心距一般有100mm和200mm两种.32

测量时，将正弦规放在平板上，圆柱的一端用量块垫高，被测工件放在正弦规测量平面上（见上图b）.由于正弦规的倾斜，使工件的上母线与平板平行，并用百分表校正.设A，B分别为两圆柱中心，两圆柱的中心距为L，量块高度为

H，如图b所示.在直角三角形ABC中AB=L，BC=H，∠BAC=α，由此即可求出圆锥的锥角α.331.3.2加工和测量螺纹由于中径不能直接测量，所以采用间接的三针测量法.测量时，把三根直径相同的量针放在螺纹相对两面的螺旋槽内，再用千分尺量出两面量针之间的距离

M（见下图）.根据

M值进行计算，可求出螺纹中径的实际尺寸d2.34最佳量针的选择为了消除牙型角误差对测量结果的影响，所选择的量针放置在螺纹牙槽中时，应使量针与螺纹在中径处相切，如图所示（P

为螺距）.35

由于A

为切点，OA⊥AE，又因为OC⊥AC，所以在直角三角形ACO

中即最佳量针直径36对于不同螺纹，最佳量针直径如下表所示.37测量尺寸

M

与中径d2

的换算关系如图所示，F

为切点，G

为中径与牙型的交点，OA=OE-AE，OB==OF，AG=，所以在直角三角形OFE

中3839

在直角三角形AGE

中因为，所以40式中

d2———螺纹中径；

M———用外径千分尺量得的实际尺寸；

dD———量针直径；

α———螺纹牙型角；

P———螺距.41为了计算方便，把常用的牙型角α的值代入上式，得

M

与d2的简化关系式（见下表）.421.3.3用三爪自定心卡盘车偏心工件如图所示的工件，大圆直径D

的外圆已加工，现要在三爪自定心卡盘A，B，C的一爪C处垫上一块厚为x的垫片，车削加工小圆直径d的外圆.已知两外圆的偏心距为e，如何计算垫片的厚度x呢？43因为AO=OC=O'C-OO'，又因为O'C=+x，所以在△AOO'中（见下图），过O'作O'E⊥AO

于E，有44