《数学（第8版 下册）（机械建筑类）》 课件 第2章 立体几何

立体几何第2章50目录2.1空间几何体2.2空间几何体的三视图和直观图2.3简单几何体的表面积和体积2.4空间直线的位置关系2.5直线与平面的位置关系2.6平面与平面的位置关系51学习目标1.认识柱、锥、球及其简单组合体的几何特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会画简单几何体的三视图和直观图，体会“三维空间问题”向“二维平面问题”转化的思想.3.了解正棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥与球的表面积和体积的计算公式，并会应用这些公式解决空间几何体的有关计算.4.了解平面的基本性质，会判定空间几何体中，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.52学习目标5.会根据判定定理和性质定理判断直线、平面之间的平行或垂直的关系，并能解决一些简单的实际问题.6.了解空间点到直线的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并能进行一些简单的计算.7.了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，并能在简单几何体中进行有关角度的计算.53知识回顾初中阶段，我们已经初步接触了空间直线与平面、平面与平面的垂直与平行的检验方法.你可以根据下表来回顾这些知识.54552.1空间几何体56实例考察观察如图所示物体（几何体）的整体结构，尝试将它们分类572.1.1棱柱和棱锥的几何特征由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体.构成多面体的各个平面多边形称为多面体的面.一个多面体中，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点.棱柱如图所示的计算机机箱和茶叶盒我们都非常熟悉.仔细观察两者的外形简图，就会发现它们的共同特点：两幅简图所示的几何体都是多面体；每个多面体都至少有两个平面平行，且总能找到这样的两个互相平行的平面；不在这两个面上的棱都互相平行.由此，我们可以把具有上述特点的几何体归为一类.585960棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；两底面间的距离为棱柱的高；其余各面称为棱柱的侧面；相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……我们常用底面顶点的字母表示棱柱.例如，右图中的棱柱可以表示为五棱柱

ABCDE-A1B1C1D1E1.61

下图中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱结构的物体.观察这些棱柱可知，它们的侧棱与底面垂直，我们把这样的棱柱称为直棱柱.其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多边形，侧面都是全等的矩形，我们把它们称为正棱柱.（1）（11）（12）和（13）分别是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱.62除此以外，还有侧棱与底面不垂直的棱柱称为斜棱柱（见下图）.63棱锥观察下图中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以发现，它们都有一个面是多边形，其余各面是具有一个公共顶点的三角形.64在棱锥中，多边形的面称为棱锥的底面（或底）；有公共顶点的各个三角形称为棱锥的侧面；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱；各侧棱的公共点称为棱锥的顶点；顶点到底面的距离称为棱锥的高.底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又称四面体.棱锥也用顶点和底面各顶点的字母表示.例如，下图中的棱锥可以表示为五棱锥S-ABCDE.65下图中的（3）（7）（10）和（16）都是棱锥，而且它们的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，我们把这样的棱锥称为正棱锥.（3）（7）（10）和（16）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥.2.1.2圆柱和圆锥的几何特征圆柱我们用一个长方形的硬纸片绕其一边旋转一周，就能得到一个几何体.66如图所示是矩形O'OBB'以一边O'O

所在的直线为旋转轴旋转而成的圆柱.我们把旋转轴称为圆柱的轴；垂直于轴的边O'B'和OB

旋转而形成的圆称为圆柱的底面；两个底面之间的距离称为圆柱的高；平行于轴的边B'B

旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边B'B都称为圆柱的母线.圆柱可以用表示它的轴的字母表示.例如，如图所示的圆柱可以表示为圆柱O'O.我们通常将圆柱和棱柱统称为柱体.67圆锥与圆柱一样，圆锥也是由平面图形旋转而成的.如图所示是直角三角形SBO

以一条直角边SO

所在的直线为旋转轴旋转而成的圆锥.68我们把旋转轴称为圆锥的轴；直角边SO

的长度称为圆锥的高；另一条直角边OB

旋转而成的圆称为圆锥的底面；斜边SB旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边SB都称为圆锥的母线.圆锥可以用表示它的轴的字母表示.例如，上图所示的圆锥可以表示为圆锥SO.69下图中的（4）和（15）就是圆锥形物体.我们通常将圆锥和棱锥统称为锥体.702.1.3球的几何特征同样，球也是由平面图形旋转而成的.如图所示的球是半圆以直径AB

所在的直线为旋转轴旋转而成的.在这个球中，AB

的中点O称为球心，通过球心，且两端在球面上的线段称为球的直径，两端分别为球心和球面上任意一点的线段称为球的半径.球常用表示球心的字母表示.例如，如图所示的球可以表示为

球O.71下图中的（5）和（8）具有球体的几何特征，它们都是球.722.1.4简单组合体观察如图b所示的零件，从整体看，它不属于前面学过的任何一种几何体，但它是由一个正六棱柱和一个圆柱组成的，我们把它称为简单组合体.732.2空间几何体的三视图和直观图74实例考察分组进行下面的两个游戏，在游戏中体会对物体形状的描述方法，同时锻炼自己的空间想象能力.游戏一

选出四个同学围坐在一张桌子的四周，桌子上面放着一张写有数字

“9”的纸（见下图），甲同学看到了“9”，乙同学看到了

“6”，丙同学看到了

“6”，丁同学看到了“6”.根据他们看到的图形你能确定他们分别是哪位同学吗？75实例考察游戏二

如图所示，准备13个边长为a的小正方体.选出同学甲，以不同数目的小正方体搭建不同的几何体，然后向其他同学描述自己所搭建的几何体的形状.根据同学甲的描述，其他同学在纸上绘出示意图（不要求精确，但要求体现出大致形状）.同学甲在描述几何体时可以使用任意方式，但要求其中一种方式为分别描述出从几何体的正面、左面和上面看到的图形.其他同学在绘制出示意图后，对照同学甲搭建的几何体，看看自己绘制的是否正确.76通过“游戏一”可以看出，对于平面物体，例如游戏中的数字“9”，从不同角度进行观察，看到的形状会有所不同.通过“游戏二”可以看出，对于不同的几何体，我们可以采用多种方式对它们进行描述，例如语言描述和图形描述，从而向其他人传递几何体的形状信息.对于一些形状复杂的几何体，单纯依靠语言和文字很难作出精确和简明的描述，所以，自从劳动开创人类文明史以来，图形始终是人们认识自然、表达和交流思想的重要形式之一.772.2.1空间几何体的三视图在

“游戏二”中，假设同学甲使用了两个边长为a的正方体搭建了如图a所示的几何体.我们想象有平行射线分别对几何体从前向后（主视方向）、从上向下（俯视方向）和从左向右（左视方向）投射，这时在几何体的后面、下面和右面的平面上所得到的平面图形分别称为几何体的主视图、俯视图和左视图，如图b所示.78

如上图c所示，保持主视图平面不动，将俯视图平面向下旋转90°，左视图平面向右旋转90°，这样三个视图就在一个平面上了.以这三种视图方式来表现空间几何体的结构就称为空间几何体的三视图.上图d就是同学甲所搭建几何体的三视图.792.2.2空间几何体的直观图对于空间几何体的直观图，我们并不陌生.例如在“游戏二”中，下图就是同学甲用13个正方体搭建几何体的直观图，下图是圆柱的直观图.直观图都有较强的立体感，接近人们直接观察的效果.从图中我们可以看到，水平放置的平面图形变化较明显，如正方体的上、下底面画成了平行四边形，圆柱的上、下底面画成了类似椭圆的图形.因此，要画空间几何体的直观图，就要先研究水平放置的平面图形的直观图.802.3简单几何体的表面积和体积81实例考察在日常生活中，经常会涉及物体（空间几何体）表面积和体积的计算，观察下面的例子，体会空间图形计算的重要性.工件下料

制作如图所示空心圆柱筒，需要裁剪一块长方形板材，然后圈制而成.若已知圆柱筒的直径和高度，那么需要准备多大面积的一块矩形板材（不考虑壁厚）？82实例考察游泳池注水

如图所示游泳池的长为50m，宽为25m，深为2m.向池中注水，每小时注水量为90m3，那么注满整个游泳池需要多长的时间？832.3.1正棱柱与正棱锥的表面积和体积将较厚的纸板按下图的样子画好并剪裁，再把它沿虚线折起来并粘上，做成模型.84通过观察可以发现，由上图a所示纸板折成的模型是正五棱柱：五个矩形成了五棱柱的侧面，构成一个大的矩形，上下两个五边形成了正五棱柱的两个底面，且这个矩形的长等于正五棱柱底面的周长，这个矩形的宽等于正五棱柱的侧棱长，也即正五棱柱的高.实际上，上图a就是正五棱柱的表面展开图.表面展开图的面积就是正五棱柱的表面积，即S表=S侧+2S底.85由上图b所示纸板折成的模型是正五棱锥：五个全等的等腰三角形围成了棱锥的侧面，正五边形为棱锥的底面，且五个等腰三角形底边长的和等于正五棱锥底面的周长，等腰三角形的腰长为侧棱长.实际上，上图b就是正五棱锥的表面展开图.表面展开图的面积就是正五棱锥的表面积，即S表=S侧+S底.86正棱柱、正棱锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表.872.3.2圆柱与圆锥的表面积和体积用纸剪出一个矩形和一个扇形.把矩形卷起来，并把它的一组对边粘好，再把扇形卷起来（见下图），并把它的两条半径粘好.88观察可以发现，由矩形围成的是一个圆柱体的侧面.因此，圆柱的侧面展开图是一个矩形，且矩形的长等于圆柱底面圆的周长，宽为母线长，即圆柱的高.圆柱的底面为两个全等的圆.由扇形围成的是一个圆锥体的侧面.因此，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长.圆锥的底面为一个圆.圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表.89902.3.3球的表面积和体积912.4空间直线的位置关系922.4.1平面及其基本性质实例考察我们在生活中会接触到很多平面图形和立体图形.仔细观察下面的两个例子，试分析平面图形在研究空间物体中的作用.立体到平面

平行的光线从上方照射空间物体，在物体下方的地面上就可以得到该物体的平面投影图形（见下图）.93平面到立体

制作立方体包装盒时，需要按照该立方体展开的平面图形裁剪纸板，然后拼接制作完成（见下图）.94平面的表示方法正像直线是可以无限延伸的一样，平面也是可以无限延伸的，也就是说，平面是没有边界的.在日常生活中常见的桌面、黑板面（见下图）等，都只是平面的局部.95平面可以用一个小写希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上表示三个（或三个以上）不在同一直线上点的大写英文字母表示.例如，在如图所示的长方体

ABCD-A1B1C1D1

中，下底面可用“平面ABCD”

表示；有时，也用平行四边形对角线上的顶点大写英文字母表示平面，例如，“平面ABCD”也可表示为“平面AC”或“平面BD”.96要在纸上画出一个无限延展的平面时，通常只画出平面的一个局部，并画成平行四边形.例如，下图a表示的是一个水平放置的平面α；下图b表示的是竖直放置的平面的三种画法，其中平面α、平面β和平面γ分别表示在观察者的左前方、正前方和右前方的平面.97当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画（见下图）.98点、直线与平面的确定找一块平板，在它的某一面（该面平整）上任意画出点A，B.使用直尺在点A，B间画线，可以发现，只要直尺边缘上有两点分别与A，B重合，那么直尺边缘就会全都在平板的平面上（见下图）.99公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（见下图）.观察下图所示的相机三脚架，在它的调节范围内，调节任意一条腿的高度，都可以保证三脚架三点着地，稳定地立在平面上.100公理2不共线（不在同一条直线上）的三个点确定一个平面.如图所示，A，B，C三个点确定一个平面α，这里“确定一个平面”指“有且只有一个平面”.101不共线的三个点A，B，C确定的平面可以记作“平面ABC”.根据公理1、公理2，可得出：推论1

一条直线和直线外一点确定一个平面（见下a）.推论2

两条相交直线确定一个平面（见下图b）.推论3

两条平行直线确定一个平面（见下c）.102公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线.如图所示，点A

是平面α和β的一个公共点，则α和β有且只有一条经过点A的公共直线l.这时也称α和β相交于l.1032.4.2空间直线的位置关系在同一平面内不重合的两条直线，只有相交和平行两种位置关系.观察下图中的空间图形，判断下列各组中的两条直线是否也只有这两种位置关系.104如上图a所示长方体的棱AA1

和棱BC所在直线；如上图b所示正四棱锥的棱SA

和棱BC所在直线；如上图c所示六角螺母的棱AB

和CD

所在直线；如上图d所示蜗轮蜗杆传动中蜗轮与蜗杆的轴线.通过观察可以发现：上述各图中指定的两条直线不同在任何一个平面内，既不相交也不平行.105我们把类似于上图中的那些不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.空间中不重合的两条直线的位置关系有且只有三种（见下图）：1.平行———两条直线在同一平面内，且无公共点.2.相交———两条直线在同一平面内，有且只有一个公共点.3.异面———两条直线不同在任何一个平面内，无公共点.106显然，两条异面直线具有下列特征：不平行、不相交、不同在任何一个平面内.画异面直线时，要以辅助平面作衬托，把两条直线明显地画在不同的平面内，以体现“异面”的特点（见下图）.107空间的平行直线观察如图所示的V型架，它的两条侧边a和b均平行于V形架底边c，即a∥c，b∥c.容易看出，两条侧边a与b也互相平行，即a∥b.公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行.公理4所表述的性质，通常称为空间平行线的传递性.108等角定理

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（见下图）.109异面直线所成的角如图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b.根据等角定理可知，a'和b'所成角的大小与点O

位置的选取无关.我们把a'和b'所成的锐角（或直角）称为异面直线a与b所成的角（或夹角）.110

如果两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线相互垂直，记作a⊥b.实例考察中长方体的棱AA1

与棱BC，以及蜗轮与蜗杆的轴线都相互垂直.1112.5直线与平面的位置关系112实例考察从日常生活和生产中，体会应用直线与平面位置关系的重要性.跳高

在跳高比赛中，横杆与地面必须平行才能保证运动员成绩测量的准确性（见下图）.如果将跳高用的横杆看成是直线，地面看作平面，那么这就是直线与平面平行关系的应用.113钻孔

在工件上钻削与工件表面成90°的垂直孔时，必须保证钻头与工件表面垂直（见下图）.如果将钻削用的钻头看作直线，工件表面看作平面，那么这就是直线与平面垂直关系的应用.1142.5.1空间直线与平面的三种位置关系观察下图a中线段

AB1

所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1

的六个面的位置关系；再观察下图b中正四棱锥侧棱SA

所在直线与正四棱锥的五个面的位置关系.115通过实例观察与分析，我们可以得到空间直线和平面的位置关系有且只有以下三种：直线在平面内、直线与平面相交和平行.直线l与平面α相交和平行可以统称为直线在平面外，记作l⊄α.1162.5.2直线与平面平行的判定在实例考察跳高的例子中，横杆与地面给我们以平行的印象.直线和平面平行应该怎样判断呢？我们来观察一扇门（见下图a），门框左右两条边缘所在的直线是a，b.把墙面所在的平面记作α.若门关着，直线a，b同在平面α上，且a∥b；若门开着，a离开了平面α，但仍保持与b

平行，而且a

与平面α

也是平行的（见下图b）.117一般地，我们可以得到下面的定理.线面平行判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行（见下图）.1182.5.3直线与平面平行的性质如果把下图b中墙面和门面所在的平面分别记为α和β，则门边缘所在直线b是α与β的交线，且a∥b.这表明，当直线a和平面α平行时，过a的平面β与平面α的交线必与a平行.119由此，我们可以得到直线和平面平行的性质定理.线面平行性质定理

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行（见下图）.1202.5.4直线与平面垂直的判定观察如图所示长方体

ABCD-A1B1C1D1，在上底面A1C1

中，过点

A1

作

任意线段，可以发现它们都与侧棱

AA1垂直.121如果直线l与平面α内的任何直线都垂直，则称直线与平面互相垂直，记作l⊥α.l称为平面α的垂线，α称为直线l的垂面，l与α的交点称为垂足（见下图）.

从平面外一点向平面引垂线，这个点到垂足的距离称为这个点到这个平面的距离.122一般地，我们可以得到下面的定理.线面垂直判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于此平面（见下图）.1232.5.5直线和平面垂直的性质如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱

AA1，BB1，CC1，DD1所在的直线都垂直于平面ABCD，而我们知道这四条棱是相互平行的.一般地，有直线与平面垂直的性质定理.线面垂直性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.1242.5.6直线与平面所成的角如果一条直线与一个平面相交但不垂直，则称这条直线是平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足.如图所示，从平面α外一点P，分别作α的垂线PO

和斜线PA，其中O

为垂足，A

为斜足，则称PO

是平面的垂线段，PA

是平面的斜线段，OA是斜线段PA

在平面内的射影，垂足O称为点P

在平面内的射影.125斜线段和它在另一个平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线段所在的斜线与平面所成的角.如果一条直线与一个平面垂直，则规定它们所成的角是直角；如果一条直线与一个平面平行或在平面内，则规定它们所成角的角度是0°.1262.6平面与平面的位置关系127实例考察在实际生产和生活中，体会平面和平面位置关系的重要性.在机床加工中，如果将工作台看作一个平面，立柱也看作一个平面，工作台面需要与立柱保持严格的垂直关系（见下图）.这样在进行切削加工时，刀具能够沿着垂直方向对工件进行精确加工，才能保证加工精度.例如在加工精密零件时，若工作台与立柱不垂直，会导致加工出的零件尺寸偏差较大，表面粗糙度也不符合要求.128129通过大量的实例可以发现，两个不重合的平面要么没有公共点，要么有无数个公共点.我们将没有公共点的两个平面称为平行平面，将有公共点的两个不重合平面称为相交平面.2.6.1两个平面平行的判定一个平面α与另一个平面β平行，记作α∥β（见下图a）.一般地，我们可以得到下面的定理.面面平行判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（见下图b）.130根据上述定理，我们还能得到下面两个推论.推论1如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行（见下图）.131推论2垂直于同一条直线的两个平面平行.安装车轮时（见下图），只要使轮轴两端的两个车轮所在平面都垂直于轴，这两个车轮就互相平行.这是推论2的一个应用实例.1322.6.