数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结

数列的概念与简单表示法

知识点一、数列的定义

按照一定顺序排列看的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列

中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项）,

排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，所以

数列的一般形式可以写成：

简记为｛%｝。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；

2.从第2项起，每一项都小十它的前一项的数列叫做递减数列；

3.各项相等的数列叫做常数列；

4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列；

知识点二、通项公式

如果数列｛〃“｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫

做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n项和

1.数列的前n项和的定义：我们把数列｛可｝从第一项起到第n项止的各项之和，称为数

列｛/｝的前n项和，记作S“，即S〃=。］+。2+…+可0

Sn=1

2.数列前n项和与通项公式4之间的关系：a,=<P'

等差数列

知识点一、等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母”表示。

知识点二、等差中项

有三个数A,b组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时4叫做a与b的等差中项。

1.根据等差中项的定义：a,A,b是等差数列，则4="；反之，若A=—，则a,

22

是等差数列。

2.在等差数列｛%｝中，任取相邻的三项凡_],。〃,。“+](〃22,〃£N),则%是%_1与凡+]的

等差中项；反之，明是a”」与《出的等差中项对一切〃N2,〃wN•均成立，则数列是

等差数列。

因此，数列｛/｝是等差数列=2%=4-+《小2,〃wAT)。

3.若数列｛aH｝是等差数列，且〃+q=s+/,则cip+ciq=as+at。(p,q,s,i£N’)

知识点三、等差数列的通项公式

1.等差数列的通项公式：4=6+(〃—l)d,其中q为首项，d为公差。

等差数列的通项公式的推导方法：

累加法：因为｛%｝是等差数列，所以

生=d,

ay-a2=d,

a=d,

等号两边分别相加，得。〃-q=(〃-l)d,所以=q+(九一1)4。

2.等差数列的应用：已知等差数列中任意两项。“，4〃(〃,，〃£%.)，

atl=q+(〃-l)dd=———

*,=>4n-m

,n1

[an=am+(n-tn)d

知识点四、等差数列与一次函数的关系

1.从函数观点认识等差数列：由于%=4+(〃-1)-=而+(%—d)

所以当dWO时，等差数歹j｛a,J的第n项。〃是一次函数f(x)=dx+(a｝-d).

2.等差数列的单调性：

当d>0时，数列｛/｝为递增数列：

当火0时，数列｛%｝为递减数列；

当4=0时，数列｛%｝为常数列。

等差数列前n项和公式

一、等差数列的前n项和

1.等差数列前n项和公式：(1)S“=〃""“)；(2)S“=〃q+若14。

2.公式的推导：若等差数列｛勺｝的前n项和为S”，公差为d,则

S”=%+〃2+•••+%+为

倒序，得：Stl=%+〃“_14---1■生+q

两式相加，得：2S”=(6+。“)+(a2+%_])+—+(〃”+q)=+a2)

所以有s“=〃(4+%)。

2

将=q+(n-lW代入上式，得S”=叫+〃”<)d。

二、等差数列前n项和的常用性质

性质1：等差数列｛%｝中连续m项的和S,”，S2,”—S,“,S3,“-S2,”,…仍为等差数列，公差为病〃。

性质2：若等差数列｛/｝的前n项和为S”，

则幽山=的』3k=],2……

22

性质3：(1)当项数为2n时，S偶—S奇=加/,」1=2。

S偶

(2)当项数为2n+l时，S奇一S偶=。同=。中，-^=—o

n

性质4：若等差数列｛凡｝的前n项和为S”，则数列〈手｝仍为等差数列，其首项为4,

公差为日，且点(几(n=l,2,3,,,,)共线。

性质5：若数列｛*｝与｛2｝均为等差数列，且前n项和分别是5“和T.，

则2二力一,%二2k一1.4时:

b“与Tbn2〃L1T2n7

等比数列

知识点一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这

个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母式4工())表示°

1.等比数列的各项不能为0,公比也不能为0；2.q="="=...=&L(qH0)c

4%4

知识点二、等比中项：如果在。和。中间插入一个数G,使得a,G,。成等比数列，那么G叫做

。与b的等比中项。

1.由9=2可得，G2=ab；

aG

2.等比数列中任取相邻的三项巴,〃“+1,all+2,则4t/=。〃。〃+2。

知识点三、等比数列通项公式：

】.首项为4,公比为q的等比数列｛%｝通项公式为：4=

公式的推导：累乘法：因为｛%｝是等比数列，所以当「22时，

丝•旦……~^-=%=qi,所以。“二〃"一。

7J-1

知识点四等比数列与指数函数的关系

1.从函数观点认识等比数列：由/=5•/可知，当“0且行/时，等比数列｛%｝

q

的第n项。“是函数f(x)=5•q\xwH)当工=〃时的函数值。

q

2.等比数列的单调性：由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下:

[〉0或『<0

①当时，等比数列｛〃”｝为递增数列。

q>1[0<t/<1

②当或修<°时，等比数列｛〃”｝为递减数列。

0<^<1[q>1

③当乡=1时，等比数列｛%｝为常数列。④当q<0时，等比数列｛/｝为摆动数列。

知识点五等比数列的性质：设数列｛%｝是公比为9的等比数列:

n,n

性质1：设勺,品是数列｛〃/中任意两项，则：a,=amq-^me.

性质2：若数歹ij｛%｝是等比数列，且s+t=m+n,则as-at-am-atln,s,tGN")

特别的，若2m=s+z,则ci；=asat

性质3：若｛%｝是等比数列，则下标(即项的序号)成等差数列的项，仍然成等比数列。

即若〃2,〃,〃(加,〃,p£N")成等差数列，则成等比数列。

性质4:若数列｛q｝是公比为9的等比数列，则连续相邻〃7项的积构成公比为//的等比数列。

性质5：(1)若数列｛q｝是公比为夕的等比数列，则数列｛%“｝(几00),则

MJ

同｝都是等比数列，且公比分别是4」,八

(2)若数列｛〃“｝和加“｝分别是公比为和/的等比数列，则数列｛〃/“｝，仍是

等比数列，且公比分别是qd,工。

q

性质6：公比为q的有穷等比数列｛/｝,把各项倒序排列得到的数列仍是等比数列，公比为,。

q

等比数列的前n项和

知识点一、等比数列的前n项和的公式

叫(q=1)

1.公式：等比数列的前n项和S”=、

—：=—(q+1)

T-q\-q

2.公式推导过程:

a

设等比数列｛。〃｝的首项为q,公比为q