数学建模课堂练习

第一次课堂练习

1、设一容器内原有100L盐，内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量

浓度为0.01kg/L的淡盐水，同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器

内盐量变化的数学模型.

2、设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点41,())处的乙舰发射导弹，导弹

始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度为㈠。是常数)沿平行于)，轴的直线行

驶，导弹的速度是5%,求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击

中？

3、某商品的需求函数与供应函数分别为：

Q=a-bP与S=-c+dP,

其中〃也c/均为正常数，而商品价格P又是时间/的函数.假设初始条件为

P(0)=4，且在任一时刻价格尸的变化率总与这一时刻的超额需求Q-5成

正比(比例常数为攵＞0).

(1.1求供需相等时的价格修(即均衡价格)；

(2)求价格函数P=P⑺；

(3)分析价格函数户=户⑺随时间的变化情况.

第二次课堂练习

1、假设银行年利率为八现存入4元，试分析银行的利率分别按年复合、

季复合、月复合、日复合及连续复合时：

(1)/年后，总金颔A=4。的计算公式；

(2)当-6%,4=1。00。元口寸，算出1年后，本息合计41)分别为多少？

(3)连续复合时，总金额4，)所满足的微分方程.

2、在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000尾，设在，时刻该池塘内鱼

数为)，⑺是时间，(月)的函数，其变化率与鱼数y及1000-»，的乘积成正比(比

例常数为4>0).在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，试求:

(1)在/时刻池塘内鱼数)，⑺的计算公式；(2)放养6个月后池塘内又有多少

尾鱼？

3、某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%,希望连续10年以每

仁1()万元人民币的速率用这一帐户支付职工工资，假设/以年为单位，试写出

余额4=3⑺所满足的微分方程，且问当初始存入的数额纥为多少时，才能使

10年后账户中的余额精确地减至0.

1、设一容器内原有100L盆,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01k5/L的淡盐

水，同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑f到/+dr时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内

容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量一抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为心，注入的盐水中所含盐量为0.01x3dT■时刻容器内溶液的质量浓度为

-----———，假设/到r+dr时间内容器内溶液的质量浓度穴变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻

100+（3-2），

在变，由于df时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐最为—————2出，这样即可歹J出

100+（3-2）/

方程

9r

dr=0.03dr--------dr,

100+r

即

2x

100+/

又因为1=0时，容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为

dr2Y

一十---------=0.03,

dt100+/

40)=10,

这是一阶非齐次线性方程的初值问题，其解为

9xl()4

x(/)=0.01(100+/)

-)--(-1-0-0-+-1--)2-•

下面对该问题进行一下简单的讨论，由.上式不难发现：/时刻容器内溶液的质量浓度为

/、X«)nni9x104

p(J)=--------=0.()1+---------,

100+r(100+r)3

巨当，f+8时，〃（力-0.01,却长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液

的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液，以流量乂注入质量浓度为

G的溶液（指同一种类溶液，只是质量浓度不同），假定溶液立即被搅匀，并以匕的流量流出这种混合

溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为工⑺，原来的初始质量为/=0时溶液的体积为匕，在d/时间内，

容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

dx二Ghd—。2匕山，

x

其中G是流入溶液的质量浓度，G为，时刻容器中溶液的质量浓度，°2=，于是,有混

匕+（匕一匕"

合溶液的数学模型

华="。2%

x(0)=%.

该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.

2、设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点4(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙

舰以最大的速度+(%是常数)沿平行于)，轴的直线行驶，导弹的速度是5%,求导弹运行的曲线。又

乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

解法一(解析法)

假设导弹在/时刻的位置为P(x⑺,y⑺)，乙舰位于Q1,卬)。由于导弹头始终对准乙舰,

故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点尸处的切线，即有

>

1-x

即

卬二(1—(1)

又根据题意，弧。尸的长度为AQ的5倍，即

[♦+)"公=5卬(2)

由(1),(2)消去/整理得模型：

(一))严=:旧丁⑶

初值条件为：><0)=0,/(0)=0o解即为导弹的运行凯迹：

当E时)，葭，即当乙舰航行到点。引处时被导弹击中。被击中时间为：，=:无

假设％=1,那么在/=0.21处被击中。

解法二(数值解)

令y=y，%=父，将方程(3)化为一阶微分方程组。

1,------------[/=%

(l-X)/=-7l+/2=>1,1>----7

5%=71+y'/。7)

1)建立m-文件eql.m

fuiiclioiidy=uql(x,y)

dy=zeros(2,l);

dy(l)=y⑵；

dy(2)=1/5*sqrt(l+y(l)A2)/(l-x);

2)取x0=0,xf=0.9999,建立主程序ff6.m如下：

x0=0,xf=0.9999

Lx,yJ=ode15s('eq1'JxOxfJ,[OOJ);

plot(x,y(:,l)「b」)

holdon

y=0:0.01:2;

pk)t(l,y,'b*')

结论：导弹大致在(1,0.2)处击中乙舰。

解法三(建立参数方程求数值解)

设时刻/乙舰的坐标为(X(r),yQ)),导弹的坐标为(Mr),y(。)。

1)设导弹速度恒为卬，那么

令+(务(1)

2)由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量,

一

虫

小

X-x

生2＞（）⑵

y-y

力

，

，

一

消去之得:

小

心

力

JI（X—x）2,+-（-y-—--y）72（X_X）

力

:I

——

一⑶

w

力/,,（y-y）

Y（XT）2+（y-»

I

3)因乙舰以速度%沿直线1=1运动，设％=1,那么w=5,X=1,r=r,因此导弹

运动轨迹的参数方程为

dx5八、

—=/(1-x)

dt山-4+(/-»

dy5/、

=/।-y)

x(O)=O,y(O)=O

4)解导弹运动轨迹的参数方程

建立m-文件eq2.m如下：

functiondy=eq2(t,y)

dy=zeros(2,l);

dy⑴=5*(1-y(l))/sqrt((l・y(1))人2+(卬2))八2);

dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(l))A2+(t-y(2))A2);

取t0=0,tf=2,建立主程序chase2.m如下：

[t,y]=ode45Ceq2',[02],[00]);

Y=0:0.01:2;

plot(l,Y,'-'),holdon

plot(y(:,l),y(:,2)；*,)

导弹大致在(1,0.2)处击中乙舰，与前面的结论一致。

按二分法逐步修改tf,即分别取t逐1,0.5,0.25,…，直至小仁0.21时，得图2。

结论:

追迹问题

例2(E02)设开始时甲、乙水平距离为I单位，乙从A点沿垂直于0A的直线以等速％向正北行走;

甲从乙的左侧。点出发，始终对准乙以〃%(〃>1)的速度追赶.求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲

追到.

解设所求追迹曲线方程为)，=)，(戈).经过时刻，，甲在追逃曲线上的点为P(x,)，),乙在点B(l,vor).

于是tane=y'=里二(1)

-17

由题设，曲线的弧长0P为

[J]+)//=〃％/,

解出代入(1),得

整理得

(17»〃=勺1+尸追迹问题的数学模型

n

设y=p(x),y〃=那么方程化为

(i-x)/y=-7i+p2或dp_ds

n1+p2〃。-x)

两边积分，得

/1---------f*

ln(p+J\+P)——In11—x|+In|C]|,即〃+Jl+〃-=/।

nV\-x

将初始条件y[=o=p[=o=0代入上式，得&=1•于是

⑵

两边同乘y-J")4,并化简得

y-=-也-x,⑶

⑵式与(3)式相加得

二51而xJ

w-1n+!

两边积分得y=^n

々(17尸+(1-A-P+G,

/?-1n+1

代入初始条件y[=o=0得C2=正[，故所求追迹曲线为

w-l〃+1

1nn,八

)，=--(1-X)"4------(一广+――-(〃>D,

2n-1n+\n-1

甲追到乙时，即点P的横坐标戈=1,此时y=n/(n2-\).即乙行走至离A点n/(n2-1)个单位距离时被

甲追到.

3、某商品的需求函数与供应函数分别为：

Q=a-hP与S=-c+dPt

其中均为正常数，而商品价格P又是时间/的函数.假设初始条件为p(o)=q),且在任一时

刻L价格P的变化率总与这一时刻的超额需求Q-S成正比(比例常数为火＞0).

(1)求供需相等时的价格与(即均衡价格)；

(2)求价格函数尸=尸(1);

(3)分析价格函数尸二P(r)随时间的变化情况.

a+c

【解】(1)由Q=S得，上二U；

b+a

(2)由题意可知

趣=k(Q—S)=k(a+c)一k(b+d)P,

dt

它是一阶线性非齐次微分方程，用常数变易法，可求得

a+c

PQ)=Ce-k(h+d),

~h+d

a+c

由“。)=…F，得

P(/)=(4-？)"他+共+?；

(3)由于《一巴是常数，左(〃+d)>0,故当时，有巴;

根据外与乙的大小，可分三种情况讨论(见图6.3):

当兄=己时，有P")=E，即价格为常数，市场无需

已到达均衡；

当兄〉Q时，有P”)总大于巴，而趋于巴；

当《〈月时，有P”)总小于巴，而趋于？.

1、假设银行年利率为r，现存入4元，试分析银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复

会及连续更合时：

(1)/年后，总金额A=4。的计算公式；

(2)当厂=6%,4=10。00元时，算出1年后，本息合计41)分别为多少？

(3)连续更合时，总金额4")所满足的微分方程.

【解】(1)银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复合及连续复合时:

一年后，总金额41)分别是：

4(")、%呜口m+f2、原1+嘉严及加4(1+?,

于是1年后，总金额A=A。)的计算公式分别是:

4。=4(1+〃)'、4。=4。+£尸、4。=4(1+5)⑵、A⑺=4(1+三广。

412365

及4(1)=lim4G+-r=41+-

〃—iju

(2)于是当r=6%,4=10000W,本息合计41)分别为：

1()6(X).(X)元，10613.64元，10616.78元，10618.31元及10618.37元；

(3)因银行利率按连续复合时，/年后的总金额为41)=4/,对等式两边微分，得

=M(r),

dt

这说明利率连续夏令时，总金额增长速度和本金数额成正比，这就是所要求的微分方程.

2、在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养100()尾，设在/时刻该池塘内色数为)()是时间f(月)

的函数，其变化率与鱼数)，及1000-丁的乘积成正比(比例常数为2>0).在池塘内放养鱼100尾,

3个月后池塘内有鱼250尾，试求：［1)在I时刻池塘内鱼数y(Z)的计算公式；(2)放养6个月后池

塘内又有多少尾鱼?

【解】(1)由题意可知，在/时刻池塘内鱼数_>")应满足如下关系式:

dy

=6(1000—y),

dt

这就是我们熟悉的逻辑斯谛(Logistic)模型，用别离变量法，可求得

)，_^1000^

ioo()_)，一

将条件y(0)=10(),义3)=