数值分析习题(含标准答案)

]

第一章绪论

姓名学号班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1若误差限为0.5x10-5,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）

解：口，口

故具有3位有效数字。

2万=3.14159-•具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）

解：口，欲使其近似值□具有4位有效数字，必需

,,即

即取（，）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3已知口，□是经过四舍王入后得到的近似值，问口，□有几位有效数字（有效数字的计算）

解：口，口，而口，口

|（6Z+/?）-（6/*4-Z?*）|<P-d；|+|Z7-//|<^xl0-3+^xl0-2<^X1O，-2

故〃至少具有2位有效数字。

5212

［（4〃）一（4方）|<^\a-ci\+ab-b"<x10_|_L5221X10=0.0065<—x10

222

故ax〃至少具有2位有效数字。

4设口，口的相对误差为口，求□的误差和相对误差（误差的计算）

解：已知口，则误差为口

Inx-lnx\\x-xx

则相对误差为r_J，।,二事

|Inx|InxIx|lnx|

5测得某圆柱体高度口的值为口，底面半径口的值为口，已知口，口，求圆柱体体积□的绝

对误差限与相对误差限。（误差限的计算）

解：口

绝对误差限为|v（7z,r）-贝20,5）|<|2•乃•5・2Qx0.1+乃•52x0.2=25万

|v（/z,r）-v（20,5）|25/12

相对误差限为------由W---------:2的=六=4%

v（20,5）冗•'-2（）2（）

6设x的相对误差为〃％,求），=炉的相对误差。（函数误差的计算）

解：口，口

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为口，问度量半径口时允许的相对误差限为多

大（函数误差的计算）

解：球体积为口，口

欲使口，必须口。

8设口，求证：

（1）=1=0,1,2…）

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

解：口

x{

/0=edx=e-\e-\)=\-e-

0

如果初始误差为口，若是向前递推，有

£〃=/〃—/：=（1一）一（」KT）=一〃唠=（一1）2〃（〃-1）£〃-2-------（7）”〃!%

可见，初始误差口的绝对值被逐步地扩大了。

如果是向后递推口，其误差为

%„一（;十；）=_3=（_1）&-=竽.

可见，初始误差口的绝对值被逐步减少了。

第二章插值法

姓名学号班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔M特插值构造,

插值余项的计算和应用。

1已知口，求口的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

解法一（待定系数法）：设口，由插值条件，有

a-b+c=2

<a+b+c=1

4a+2b+c=\

解得：口。

乜“、1214

故L（x）=-x—x+-0

623

解法二（基函数法）：由插值条件，有

(x-i)(x-2)c.(x+l)(x-2),(x+l)(x-l)

L(x)=(1

(-1-1)(-1-2)(1+!)((1-2)(2+1)(2-!)

2已知口，用线性插值求口的近似值。(拉格朗日线性插值)

解：由插值节点与被插函数，可知，口，口，其线性插值函数为

7(、x-9x-416

L(x)=-------2+-------3=—x+一

4-99-455

V7的近似值为L(7)=1+|=y«2.6o

3若口为互异节点，且有

(X7o)(X7])……(X7〃)

I.(X)=---------------------------------------------------

(X.-x0)(x.-xn)

试证明力4/j(x)三/=(拉格朗日插值基函数的性质)

y-o

解：考虑辅助函数口，其中，口，口。

是次数不超过的多项式，在节点()处，有

“毛)=£巾/%)—1：=虫(%)—x：=x：=0

/=o

这表明，口有n+1个互异实根。

故口，从而口对于任意的Z1均成立。

4已知口，用抛物线插值计算口的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)

解：由插值条件，其抛物线插值函数为

(A-0.34)(X-0.36)

LM=•0.314567

(0.32-0.34)(0.32-0.36)

+U-0.32)U-0,36)Q333487

(0.34-0.32X0.34-0.36)

+LU-0.34)0352274

(0.36-0.32)(0.36-0.34)

将□代入，计算可得：匚L

其余项为：口其中，口

|r(x)|<:\(x-0.32)(x-0.34)(x-0.36)|

4

82

]___________10__________72/3_________________

3'186

46

故口。其实，根据均差的对称性，口，该值在第一个表中就可以查到。

7设口求口之值，其中口，而节点口互异。（均差的计算）

解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有

f(%)

而□匚1,故口。

8如下函数值表

X0124

f(x)1233

9

建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）

解：

先构造均差表

Xf(x)1二阶均差三阶均差

一阶均差

01

98

1

22314

3

43-10-8-11/4

故N(x)=1+8x+3x(x-l)-—x(x-l)(x-2)。

4

9求一个次数小于等于三次多项式口，满足如下插值条件：口，口，口，口。（插值多项式

的构造）

解法一（待定系数法）：设口，则

,由插值条件，有

〃+/?+c+d=2

8。+4Z?+2c+d=4

*

12。+4Z?+c=3

27o+9Z?+3c+d=12

解得：口。

故〃(x)=2/一9/+15X一6

解法(一阶差商二阶差商三阶差商

二(带y

重节

点的

均差

法)：

据插

值条

件，

造差

商表

X

12

242

241

3

312852

故p(x)=2+2(x—1)+(x—1)(-V-2)+2(x—l)(x—2)~=2*'—9x~+15x—6

10构造一个三次多项式口，使它满足条件口(埃尔M特插值)。

解：设口，口

利用插值条件，有

2二1

a+b+c+d-0

'8〃+4b+2c+d=l

3a+2b+c=\

解得：口。

H(x)=-/+4x2-4x+1

11设口。(1)试求□在口上的三次埃尔M特插值多项式口，使得口，口以升系形式给出，(2)

写出余项□的表达式。(埃尔M特插值及其余项的计算)。

解：口，口，口,口，口

设口，口

11,I.I

—a+—b-v—c+d=—

641648

a-\-b+c+d=\

72981,9,27

---a+—b+—c+d=—

641648

3

3a+2b+c=—

2

解得：口,匚I,匚I,口。

2632233

故H(x)=+——X卜------x

?45045025

,其中，。

12若口，试证明：

晦"⑴区的一"鹤"〃⑺|（插值余项的应用）

解：以口为插值条件，作线性插值多项式，有

g)=二・f(a)+尸•f(b)=0

a-bb-a

其余项为

R(X)=fM-L(x)=f(x)=(x-a)(x-b)

故max|/(x)|=[max|/ff(x)|-(^^-a)(b-=：S-a)2max|/*(x)|。

121228少1

13设/(-2)=-l,/(0)=1,/(2)=2,求p(x)使p®)=f(项)(i=0,1,2)；

又设口，则估计余项口的大小。(插值误差的估计)

解：由插值条件，有

4a-2b+c=-\

•c=1

4。+2/?+c=2

解得：口

13

从而p(x)=一一x9-+—工+1

84

其余项为

心)=/(x)-p(x)=(x+2)x(x-2)4e(-2,2)

些3百二晅M

第三章函数逼近

姓名学号班级

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1设口，求口于口上的线性最佳平方逼近多项式。（最珪平方逼近）

解：口

，，

法方程组为

1]「2-

—rn—

2%=乃

11.7,-1

_23」L/r.

解得：口，口

线性最佳平方逼近多项式为：口。

2令口，且设□，求口使得□为□于口上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）

解：口

法方程组为

0

2

3

解得：口，口

»

线性最佳平方逼近多项式为：口。

3证明：切比雪夫多项式序列

lk（x）=cos（karccosx）

在区间上带权力幻=正交。（正交多项式的证明）

解：对于口，有

0

frcos(7r)cos(^r)(-sint)dt=jcos(/r)cos(^r)Jr

iVI-cos21

J[cosQ-k'\t+cos(/+k)t\dt

-2

0

=:[7^7sin(/-Qf+i

sin(/+Z)重=0

2I—kl+k

对于口，有

1]

2

(Tk,/)=[.cos(karccosur)^r

-iVl-x2

0।n

=[.=cos2(kt)(-sint)dt=fcos“S力

；Vl-cos2rJ

[不11

J[I।cosQZ"]dt=[/1sin(2幻〃；=:

N0乙乙K乙

故,序列□在［T,1］上带权口正交。

4求矛盾方程组：口的最小二乘解。（最小二乘法）

解法一：求□与口，使得

2

f(xltx2)=(X|+x2—3)~+(X]4-2X2-4)~4-(X]-x2—2)

达到最小。于是，令

~~=2(%)+尢2-3)+2(项+2X2—4)+2(x)—X-)—2)=0

~~~—2(%)+x-3)+2(X]+2X-4)•2+2(玉—x2—2)(—1)=0

0X222

即：口，其最小二乘解为：口。

解法二：

,记作，该矛唐方程组的最小一乘解，应满足以下方程组

,即

解之，得口。

5已知一组实验数据

42345

yk4689

试用直线拟合这组数据.（计算过程保留3位小数）。（最小二乘线性逼近）

解：作矩阵

法方程为

(ATA)X=(ATy)

即

622a_40

小［161.25

2290.5

解得：口，口。

其直线拟合函数为y=l.2288+1.483\x。

6用最小二乘原理求一个形如y=〃+的经验公式，便与下列数据相拟合.

1925313844

*

1949

（最小二乘二次逼近）

解：

等价

于对

数据36162596】14441936

表

1

匕

1

1949

作线性拟合。其法方程组为:

55327a_271.4

53277277699h~369321.5

解得：口，口

故经验公式为y=0.9726+0.05/。

第四章数值积分

姓名学号班级

习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式(梯形，辛甫生公式)，复化求积

的计算，高斯公式的构造，

1给定求积公式£/(外公.(-〃)+/(())+炉(〃)试确定为儿。使它的代数精度尽可能

高。(代数精度的应用和计算)

解：分别取口，使上述数值积分公式准确成立，有；

a+b+c=2h

<〃(一/?)+c(h)=0

a(-h)2+c(h)2=2h3/3

解得：口。

故求积公式为£f(X)dx=1/(-/：)+y/(0)+gf(h)。

)

再取口，左边=口,右边=口

再取口.左边二口，右边;口

此求积公式的最高代数精度为3。

2求积公式口，试确定系数口，口及口，便该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并绐

出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)

解：分别取口，使求积公式准确成立，有

A)+A=1

­A1+为=1/2

A=1/3

解得：匚1。

求积公式为［'f(x)dx/(0)4-1/(I)4-1/7O)。

336

¥

再取口，左边=□右边

故该求积公式的最高代数精度为2。

3数值积分公式口，是否为插值型求积公式，为什么又该公式的代数精确度为多少(插值型

求积公式特征)

解：令口，口

故代数精度为1。由于求积节点个数为2,代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。

4如果口，证明用梯形公式计算积分□所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。(梯

形求积)

解：梯形求积公式

是由过点口，□的线性插值函数

L(x)=Wf(a)+Ff(b)

a-bb-a

在［a,b］上的定积分。

注意到：在区间［a,b］上，□,而口，有

bbbbf”(产、

Jf{x}dx-jL(x}dx=j[/(x)-L(x)\dx=j―—―(x-a)(x-b)dx<0

aaaa

从而/<7\

其几何意义可作以下解释；

在区间［a,b］上，□,故曲线口下凹，直线口位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积

5用口的复化梯形公式计算积分口，并估计误差。(复化梯形求积)

解：口，取求积节点为口

dxdx

\]-=Zf~J「4"(司)+f(斗+1)]=拈f(Xo)+f(X[)+f(x2)+f(x3)+1/(x4)]

L2

XiX,X/=0L

l1.4444141171

r+—+—+—+]=0.6970

424567281680

因口，则误差大约为：口。

6设口，则用复化辛甫生公式计算口，若有常数口使口，则估计复化辛甫生公式的整体截断

误差限。(复化辛甫生公式)

解：口

]41141

«[7/(-I)+T/S)+-/(0)]+1-/(())+-/(0.5)+-/(1)]

666666

*—[1+4x4+6+6+4x9+2]=—«11.1667

66

(1)2

t2r"2)*_o)(x-o.5)(x-])dx

|/-S2|<~^(X+1)(X4-0.5)(X-0)^+

i••

JI，u1

W—[J|(x+l)(x+0.5)-(x—0)|dx+J|(x—0)(x—0.5)~(x—1)|dxJ

24To

<—j|(x-())(x一OS)?(x-l)|^r=—|/(0.25-t2)dt=—x0.0042

120606

<0.008M

7已知高斯求积公式口将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分口的近似值，(高

斯公式)

解：口

对于口作变量换口，有

1/2]I]

/xdx=-J4T+tdtx1[V1+0.57735+Vl-0.57735]

对于口作变量换口，有

f4xdx=1J43+ldtx-[J3+0.57735+V3-0.57735]

i/28-i8

j4xdxn-[J1+0.57735+Vl-0.57735+V3+0.57735+,3-0.57735]=0.6692

o8

8试确定常数A,B,C和口，使得数值积分公式□有尽可能高的代数精度。试问所得的数值

积分公式代数精度是多少它是否为高斯型的（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）

解：分别取口，使上述数值积分公式准确成立，有；

A+B+C=4

A(-a)+C(a)=0

<A(-a)2+C(a)2=y

J

4—4)3+C(〃)3=0

A(—4+cm)4=£

、J

整理得:

A+B+C=4

A=C

<a2(A+C)=y

a4(A+C)=y

解得：口。

数值求积公式为

f2/*)公*八-岛+7门①+j〃岛

再取口，左边=口,右边=Z］

再取口，左边=口,右边=口

可见.该数值求积公式的最高代数精度为5c由于该公式中的节点个数为3.其代数精度以

到了□次，故它是高斯型的。

9设｛2(x)｝是［0J］区间上带权O(x)=x的最高次幕项系数为1的正交多项式系

(1)求g(幻。

(2)构造如下的高斯型求积公式J；寸'(x)ca■%/(%)+4)(内)。(高斯求积)

解(1)：采用施密特正交化方法，来构造带权□且在［0,1］上正交的多项式序列

取匚I,设口，且它与□在［0,1］上带权口正交，于是

9

22

故B*)=X-Q玲(©=X-Q。

JJ

/

设口，且它与口、口在［0,1］上带权口正交，于是

尸23=\一.(幻—玄(》=/一散管彳“_23

解(2)：口的零点为：口。

设乜/(6；a+4/(6；｝)

分别取口，使上述求积公式准确成立，有

,即

解得：口，口。

高斯型求积公式为

r1»116—V611笈、

xf（x）dx«（z-----产）x/r（------）+（—+—7=）f（------）

J。46761046瓜10

第五章非线性方程求根

姓名学号班级

习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度

的讨论。

1用二分法求方程□的正根，要求误差小于。（二分法）

解：口，匚］,匚］,口在［0,2］连续，故［0,2］为函数的有根区间。

（1）计算口，故有根区间为［1,2］。

（2）计算口，故有根区间为口。

（3）计算口，故有根区间为口。

（4）计算口，故有根区间为口。

（5）计算口，故有根区间为口。

（6）计算口，故有根区间为口。

（7）计算口，故有根区间为口。

（8）若取中点□作为取根的近似值，其误差小于口

取近似根口，可满足精度要求。

2说明方程口在区间［1,2］内有惟一根口，并选用适当的迭代法求口（精确至3位有效数）,

并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）

解：口口

,,，故函数单调增加，因此，该方程在（1,2）之间存在着惟一的实根。

取迭代函数以幻=14一Inxxe［l,21

显然口，且

1

XA/4-Inx

故迭代Xz=A/4-lnx,（攵=1,2,•一）对任意初始值修£［1,2］收敛。

对于初值口，其迭代值分别为

由于口，故口作为近似值，已精确到了3位有效数字。

3设有解方程口的迭代法口（1）证明□均有口（口为方程的根）。（2）此迭代法的收敛阶是多

少，证明你的结论。（3）取口用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过口，列出各次迭

代值。（和收敛性讨论）

解（1）:□,□（□）,故该迭代对任意初值均收敛于方程的根口。

解（2）：由口，故有口。

,故该迭代的收敛速度是1阶的。

解（3）：取口，代入迭代式，可计算出以下结果：

由于口，取口可满足精度要求。

4设口，口，试证明：由口，得到的序列□收敛于口。（收敛性证明）

证明：由口知，方程口有根。

--区）-夕，）|<>t|x„-x*|<22Jh一x*佰…K犷B-x*

由口，当口时，有口，即序列□收敛于口。

5设方程口在［0,1］内的根为口，若采用迭代公式口，试证明：□均有□为方程的根）；此迭

代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）

解：迭代函数口

,当

故迭代在区间（-00,8）上整体收敛。

设口，则口，且

5式

-<x=l--sin/<l+-=-<—

°433332

故夕'""）=—cosx*a0

故该迭代的收敛速度为1阶的。

方程□在口附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：

（1）口，对应迭代格式：口

（2）口，对应迭代格式：口

（3）口，对应迭代格式：口

讨论这些迭代格式在口时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算

出口附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）

解：口，口

一，故方程在上有根。

,故方程在上有根。

,故方程在上有根。

对于迭代式（1）：□,□,□

而口，故该迭代局部收敛，且收敛速度为1阶的。

对于迭代式（2）：在口上，匚］,口

.又.故该迭代在上琴体收敛.且收敛速度为一阶的C

对于迭代式(3)：□在［1,2］上的值域为口，该迭代式不收敛。

取迭代式口，口进行计算，其结果如下：

,取为近似值具有4位有效数字。

7设/*)=(/—。尸

(1)写出解/(x)=0的牛顿迭代格式；

(2)证明此迭代格式是线性收敛的。(牛顿迭代的构造与收敛速度)

解：牛顿迭代式为口，

方程的根为口，匚I,匚］,口

因口，故迭代局部收敛。又因口，故迭代收敛速度为1阶。

8设计一个计算口的牛顿迭代法，且不用除法(其中口)。(牛顿迭代法)

解：考虑方程口，口，口

x向=2匕一乙/

而口，该迭代局部收敛。

9用牛顿法求□的近似值，取口或11为初始值，计算过程保留4位小数。(牛顿迭代的构造)

解：考虑方程口，口，口

取□为初始值,计算其迭代值如下:

取口为初始值.计算其迭代值如下:

10设口是非线性方程口的川重根，成证明：迭代法

具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)

解：设□是非线性方程口的m重根，则

，且及，其牛顿迭代函数为

0(x)_x_wZW-x—m(x——)"'g(x)_x皿i")g(x)

f(X)皿X-X)'Ig(x)+(x-xyng'(x)〃吆(X)+(X-X)g'(x)

皿X〃一x")g(居)

牛顿迭代式X〃+]=x〃-

mg(x.)+(x〃-x*)g'(x〃)

*(、*z*、利(x“-x)g(x〃)

二4x一X=。(/)一％二(怎一X)---------------7-——-

mg(x，+X-x)g(xn)

(乙一X*)2g'(x.)g'(x〃)

_/

mg(%)+(X“7*)g'区)，"g(x〃)+(X〃一/)g'(£)"

1

lim4=lim--------且('”)*-------=g'(\)

ise；〃*mg(x〃)+(x“-x)g'(x〃)mg(x)

故该迭代的收敛速度至少是2阶的。

11设口是非线性方程口的m重根，证明：用牛顿迭代法求口只是线性收敛。(收敛速度证明)

解：设口是非线性方程口的m重根，则

，且及，其牛顿迭代函数为

次x)=x-^=x--------——=x——*—■)4©

f\x)m(x-x尸g(x)+(，7尸g'(x)mg(x)+(x-x)g'(x)

(x0一x”)g(x〃)

牛顿迭代式X”+]=x

nmg®)+®-x")g'(x”)

g(Z)________

G+i=£+[—J=夕(居)一/=11

"?g*”)+(%-J)g'(Z)

lim&=lim[l----------四5--------]=1-0[=1-->0

is〃…mg(乙)+(x“一工)((%)mg(x)tn

故收敛速度为1阶的。

12设口，□在口附近有直到口阶的连续导数，且口，口，试证：迭代法口在口附近是口阶

收敛的。(收敛速度证明)

解：将口在□点附近作泰勒展式，有

如)-3)+牛(i+华(…)、…曰(…尸+晔(…尸

1!2!(p-1)!pl

，其中，在与之间。

于是：

，其中，在与之间。

由于口，故口，从而

隔阻=.3=也®。

e：plp\

因此，迭代的收敛速度为p。

第六章常微分方程数值解

姓名学号班级

习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当

姆斯方法的构造和讨论。

1用改进的欧拉公式，求以下微分方程

,2x

y=y-----

«>x€[(),1]

)(0)=I

的数值解(取步长口)，并与精确解作比较。(改进的尤拉公式的应用)

解：原方程可转化为口，令口，有口

解此一阶线性微分方程，可得口。

利用以下公式

)'P=Z+0.2-(y,--)

X

2x

”=必+0.2心，/,一一1-)(/=(),1,2,3,4)

力

W=；(力+果)

求在节点口处的数值解口，其中，初值为口。

MATLAB程序如下：

x(l)=0o用初值节点

y(l)=lo%初值

fprintf(，x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%ci)=%f\n',l,x(l),l,y(l)J,y(l))o

fori=l：5

yp=y(i)+*(y(i)-2*x(i)/y(i))o/预报值

yc=y(i)+*(yp-2*x(i)/yp)o%校正值

y(i+l)=(yp+yc)/2o-改进值

x(i+l)=x(i)+0%节点值

yy(i+l)=sqrt(2*x(i+l)+l)。%精确解

fprintf('x(%d)=%f,y(%d>=%f,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+l),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1))o

end

希

尸

运

肉

幺

U行•

EH

H“

/1X/1\

X(-y(—

X7「X/

/2\/2\z2•

—

X(!=y(一\=

X/X/1r

/\>/Xy/z-=

Xl37y(31(3M

x=,X7=,x'

/\=,/\

4=,4

X(!一y(!

X/一X7

，

X(/5!\yf/5J\yy⑸=

X/\Z=,

/6\/6x1-⑹=

XX(/—yX(z)yy

2用四阶龙格一库塔法求解初值问题口，取口，求□时的数值解.要求写出由二]直接计算口

的迭代公式，计算过程保留3位小数。(龙格一库塔方法的应用)

解：四阶龙格-库塔经典公式为

h

”+工*+2攵2+2&+均)

K=/("”)

k2=fX+gh，y「ghkJ

.=/(%+/%+万秘))

欠4=/(『+〃，”+尿3)

由于口，在各点的斜率预报值分别为：

(

4二1-两

ki=1一()'”+《匕)=1-先-go-y〃)=(1一%)。一夕

&=1-(++，2)=1-/-*1-尤)(1-如二(i-y〃)U-/-今]

hhhh

*=-=1-yn-h(l-yn)[l--(l--)]=(l-yn)[l-/i(l--(l--))]

四阶经典公式可改写成以下直接的形式：

[1+1=L+/(1一%)(6-3〃+〃2-二)

o4

在□处，有

y,=0+—(1-0)(6-3x0.2+(0.2)2-=0.1813

64

>

在口处，有

2

y2=0.1813+—(1-0.1813)(6-3x0.2+(0.2)-=0.3297

64

注：这两个近似值与精确解□在这两点的精确值十分接近。

3用梯形方法解初值问题

y'+y=0

\><0)=1

证明其近似解为

(2-hX

并证明当口时，它收敛于原初值问题的准确解口。

解：显然，□是原初值问题的准确解。

求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为

h

y用=)'〃+玛)+fg+i，乂川)j

对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为

，，

于是：

2-72/2-〃丫(2-hX+i(2-hX+i

y=(^-7-)X1=T-7^-1=,,,=7-7当=？T7

w+I2+/?)\2-\-h)<2+/?J\2+h)

亦即：口

注意到：口，口，令口，□有

(2/7\h-区-2-土■-二

X,=11-^1=(l+f)，2=(]+f),(»)2

从而limy=lim(l+1)1-lim(14-r)2=e~Xn

ft->0r-Or->0

即：当口时，□收敛于原初值问题的准确解口。

4对于初值问题口，证明当口时，欧拉公式绝对稳定。(显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论)

证明：显式的欧拉公式为ZI

从而口，由于口，口,口

因此，显式欧拉公式绝对稳定。

隐式的欧拉公式为y用=拆+hf(xn+l,yn+])=yn-^hyn+l

由于口，口，口

因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。

5证明：梯形公式口无条件稳定。(梯形公式的稳定性讨论)

解：对于微分方程初值问题

=­A-y

)(2>0)

0)=1

其隐式的梯形公式的具体形式可表示为

J

，，

,1-j-/2—Ah

从而=(7771)，

2+z/?

由口，口可知，口，故隐式的梯形公式无条件稳定。

6设有常微分方程的初值问题口，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式口，使

其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。(局部截断误差和主项的计算)

解：假设口，口，利用泰勒展式，有

).=)S“T)=y(xtl)-yXx,,)h+h--/+…

Z0

fn=f(xn，yj=f(X”,V(X„))=/(%„)

fn-l=f(覆T，y”T)=/区T，))=、'(％)=)一VQ”+一…

〉l+i=2纣(招)+&+4一a)y'(x”M+(?-P\方"。”？+(g+4))严(X")〃'+…

2o2

又)"+[)=)a)+y‘区)〃+:y"(%)〃2+J)/(%)力'+…

26

欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须

，，

从而匚],匚I,口

|71

于是数值计算公式为k=孑(州+「〃T)+人(7力一7~7)。

该数值计算公式的局部截断误差的主项为

_

)’(4+1)-yn+i=(7_T4))严(怎次+…=*)川

oo224

7已知初值问题

y=2x

•)，(0)=0

)，(0.1)=0.01

取步长口，利用阿当姆斯公式口，求此微分方程在［0,10］上的数值解，求此公式的局部截

断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）

解：假设口，口，利用泰勒展开，有

2

））+1=何居）+y\xn）h+gy\xn）h-，："）/+…

而）=共与）+V区）力+：/U,,）/?2+1黄*〃）/+…

2o

）'区用）一）'向=g+3y"x"）"+…="产区）

o412

该阿当姆斯两步公式具有2阶精度，其局部截断误差的主项为口。

取步长口，节点口（口），注意到口，其计算公式可改写为

y“+i=++与.（6%一2%）=笫+0.027?+0.01

仅需取一个初值口，可实现这一公式的实际计算。

其MATLAB下的程序如下：

x0-0o与初值节点

y0=0.%初值

forn=0：99

yl=y0+*n+o

xl=xO+o

fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f\n',n+1,xl,n+1,yl)o

x0=xlo

yO=yln

end

运行结果如下：

x(1)=0.,y(l)=

x(2)=0.,y(2)=

x(3)=0.,y(3)=

x(4)=0.,y(4)=0.

x(5)=0.,y(5)=0.

x(6)=0.,y(6)=0.

x(7)=0.,y(7)=0.

x(8)=0.,y(8)=0.

x(9)=0.,y(9)=0.

/\

1o)=

kky/

=,\

1/)

\

27

3\

/)

4\

7

5\

7

6\

7

7\

7

x(18)=1.,y(18)=3.

x(19)=1.,y(19)=3.

x(20)=,y(20)=

x(21)=2.,y(21)=4.

x(22)=2.,y(22)=4.

x(23)=2.,y(23)=5.

x(24)=2.,y(24)=5.

x(25)=2.,y(25)=6.

Y

x(26)=2.,y(26)=6.

x(27)-2.,y(27)-7.

x(28)=2.,y(28)=7.

x(29)=2.,y(29)=8.

x(30)=,y(30)=

x(31)=3.,y(31)=9.

x(32)=3.,y(32)=10.

x(33)=3.,y(33)=10.

x(34)=3.,y(34)=11.

x(35)=3.,y(35)=12.

x(36)=3.,y(36)=12.

x(37)=3.,y(37)=13.

x(38)=3.,y(38)=14.

x(39)=3.,y(39)=15.

x(40)=,y(40)=

x(41)=4.,y(41)=16.

x(42)=4.,y(42)=17.

x(43)=4.,y(43)=18.

x(44)=4.,y(44)=19.

x(45)=4.,y(45)=20.

x(46)=4..y(46)=21.

x(47)=4.,y(47)=

x(48)=4.,y(48)=

x(49)=4.,y(49)=

x(50)=,y(50)=

x(51)=5.,y(51)=

x(52)=5.,y(52)=

x(53)=5.,y(53)=

x(54)=5.,y(54)=29.

x(55)=5.,y(55)=30.

x(56)-5.,y(56)-31.

x(57)=5.,y(57)=32.

I

x(58)=5.,y(58)=33.

x(59)=5.,y(59)=34.

x(60)=,y(60)=

x(61)=6.,y(61)=37.

x(62)=6.,y(62)=38.

x(63)=6.,y(63)=39.

x(64)=6.,y(64)=40.

x(65)=6.,y(65)=42.

J

x(66)=6.,y(66)=43.

x(67)=6.,y(67)=44.

x(68)=6.,y(68)=46.

x(69)=6.,y(69)=47.

x(70)=,y(70)=

x(71)=7.,y(71)=50.

x(72)=7.,y(72)=51.

x(73)=7.,y(73)=53.

s

x(74)=7.,y(74)=54.

x(75)-7.,y(75)-56.

x(76)=7.,y(76)=57.

x(77)=7.,y(77)=59.

x(78)=7.,y(78)=60.

x(79)=7.,y(79)=62.

x(80)=,y(80)=

x(81)=8.,y(81)=65.

x(82)=8.,y(82)=67.

x(83)=8.,y(83)=68.

x(84)=8.,y(84)=70.

x(85)=8.,y(85)=72.

x(86)=8.,y(86)=73.

x(87)=8.,y(87)=75.

x(88)=8.,y(88)=77.

x(89)=8.,y(89)=79.

)

x(90)=,y(90)=

x(91)=9.,y(91)=82.

x(92)=9.,y(92)=84.

x(93)=9.,y(93)=86.

x(94)=9.,y(94)=88.

x(95)=9.,y(95)=90.

x(96)=9.,y(96)=92.

x(97)=9.,y(97)=

x(98)=9.,y(98)=

x(99)=9.,y(99)=

x(100)=,y(100)=

第七章线性方程组的迭代解法

姓名学号班级

习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。

1证明：迭代格式口收敛，其中口。(迭代法收敛性判断)

解：口

因口，故迭代收敛。

2若用雅可比迭代法求解方程组［,内=?(。“生2工°)迭代收敛的充要条件是

%内+a22x2=b2

<lo（雅可比迭代法的收敛性）

解：原线性方程组的等价方程组为

且

X]+—x2=

a\\

b2

—xi+x2=

。22“22

其雅可比迭代式为

人

\AI-M

其收敛的充要条件是口，即口。

3用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组

玉+2X=3

V2

3人］十2人2-4

是否收敛为什么若将方程组改变成为

3%]+2X2=4

%1+2X2=3

再用上述两种迭代法求解是否收敛为什么（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）

解：雅可比迭代式为

0-21r3-i

”川二3八工（幻+'

——02

L2」L」

22

|AI-B,|=32=万一3

2

其口，故雅可比迭代发