《数学（第8版 下册）（机械建筑类）》 课件全套 第1-4章 解三角形及其应用 - 平面解析几何Ⅱ 椭圆、双曲线、抛物线

解三角形及其应用第1章1目录1.1解直角三角形

1.2解任意三角形1.3解三角形的应用2学习目标1.掌握直角三角形中的边角关系，并会解直角三角形.2.掌握正弦定理和余弦定理，并会用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题和机械类的专业问题.3.掌握已知三角形的任意两边和夹角求三角形面积的方法.4.会进行锥形工件、螺纹、偏心工件和燕尾形工件的测量与加工的相关计算.3知识回顾三角形的三个角和三条边是三角形的六个元素，由已知的三个元素求另外三个元素的过程，称为解三角形.在生产和生活中，我们经常遇到解三角形的问题，下面我们先复习初中学过的解直角三角形.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，则六个基本元素之间的关系为：4（1）锐角之间的关系：∠A+∠B=

；（2）三边之间的关系：

；（3）边角之间的关系：边角关系也可以写作：又因为sinC=sin90°=1，所以51.1解直角三角形6实例考察假设你是一名登山者，如图所示，站在山脚下的点A，想要估计山峰的高度CD.你有一个测角仪，可以测量仰角.你从点A

出发朝着峰顶C沿水平方向走了100m到达了点B，在点A测得到峰顶C的仰角为45°，在点B

测得峰顶C的仰角为60°.请计算山峰的高度CD（精确到0.1m）.7解

根据题意可知，∠A=45°，∠CBD=60°，AB=100设CD=x.89解得x=150+50≈236.6.因此，山峰的高度约为236.6m.由于直角三角形自身的特殊性质，解直角三角形较简单，这也是解斜三角形的基础.在直角三角形中，除直角以外的五个元素，知道其中两个元素（至少有一条边），便能解直角三角形.类型如下：101.2解任意三角形11实例考察如图所示，如果要测量某两个点A，B

之间的距离，但在它们之间有障碍物，不可能直接测量.如果是你，遇到这种情况该怎么办呢？一个简单的解决办法就是另选一点C，通过测量AC，BC

的距离及∠C

的大小，然后进行计算，便可得到A，B两点间的距离.12在生产实践中，除解直角三角形的问题外，我们还常常遇到解任意三角形的问题.例如，机床中大量存在类似如图所示的齿轮传动装置，需准确确定各齿轮的中心距，这对于齿轮传动装置的装配、维修具有重要意义.如果已知齿轮A

的分度圆直径为90mm，齿轮

B

的分度圆直径为80mm，∠A=50°，∠B=70°，求A，C两齿轮的中心距.这就是已知任意三角形的两角和一边求其另一边的问题.13把任意三角形分成两个直角三角形来研究，这是解任意三角形的基本方法.运用它可得到表示任意三角形边角关系的两个基本定理———正弦定理和余弦定理.141.2.1正弦定理在直角三角形

ABC

中，∠C=90°，a=csinA，b=csinB，且sinC=1，有那么，在任意三角形ABC中，上述关系是否仍然成立呢？如图所示，在△ABC中，CD

为AB

边上的高.15在直角三角形ACD

中，CD=bsinA.在直角三角形BCD中，CD=asinB.所以bsinA=asinB，得到①同理可得

②

③以上三个等式也可写成16上式说明：三角形各边和它们所对的角的正弦函数值之比都相等.这就是正弦定理.

提示

由正弦定理可得asinC=csinA，bsinC=csinB.17利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）.利用CD=bsinA=asinB

以及上面

“提示”中的结论，我们还能得到△ABC的面积公式：上式说明：三角形的面积等于任意两边及其夹角正弦值的积的一半.181.2.2余弦定理在任意三角形中，已知两个角和任一边或者两边和其中一边的对角，利用正弦定理可以解这个三角形.如果已知两边和这两边的夹角或已知三边，该如何解这个三角形呢？如图所示，在△ABC中，CD为AB

边上的高.19在直角三角形CAD

中，CD2=b2-AD2，AD=bcosA；在直角三角形CBD

中，CD2=a2-DB2.所以b2-AD2=a2-DB2，a2=b2-AD2+DB2.又因为DB=丨c-AD丨，所以a2=b2

-AD2+丨c-AD

2丨=b2+c2-2c·AD=b2+c2

-2bccosA，即a2=b2+c2-2bccosA.①

同理可得

b2=a2+c2-2accosB，②

c2=a2+b2-2abcosC.③2020以上三个等式说明三角形中任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与其夹角余弦函数值的乘积的两倍.这就是余弦定理.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角.（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.21211.3解三角形的应用22实例考察在机械加工的过程中，会经常遇到根据各种几何图形计算有关角度或长度的问题，如锥形工件、燕尾型工件、螺纹的加工与测量等.下面展示了典型的加工情境，请观察这些工件，并试着将其抽象为数学模型.角度计算

加工如图所示的锥形工件，已知大端直径D，小端直径d，锥形部分长度L，如何计算圆锥半角？23长度计算

加工如图所示的偏心工件，已知大圆直径D，偏心距e，如何计算垫片厚度x？241.3.1加工和测量锥形工件转动小滑板法加工锥形工件时，圆锥半角

的计算在通过锥形工件轴线的截面内，两条素线间的夹角α称为圆锥角（见下图），圆锥角α的一半，即

称为圆锥半角.D

为锥形工件的大端直径，d为锥形工件的小端直径，L

为锥形部分的长度.25在车削锥形工件时，通常可用转动小滑板的方法加工.此时，需把刀架小滑板按工件的圆锥半角

的要求转动一个相应角度，使车刀的运动轨迹（走刀方向）与所要加工的圆锥素线平行（见下图）.26如果已知大端直径

D、小端直径d及锥形部分的长度L，在上图中，过点A

作AE⊥BE，在直角三角形ABE中，有AE=L，BE=，∠BAE=，则

①如果已知锥度C，由锥度公式C=得当圆锥半角<6°时，可用下列近似公式计算27偏移尾座法加工锥体时，尾座偏移量S的计算对比如图所示的加工方法，可以发现：当工件的回转轴线与车床主轴轴线重合时，车出的工件为圆柱；当车床尾座横向移动一段距离S，使得工件的回转轴线与车床主轴轴线相交成一个角度，这样车出的工件为圆锥，这种加工圆锥的方法称为偏移尾座法.28将偏移尾座法车削锥形工件抽象为数学模型，如图所示.用偏移尾座法车削圆锥时，尾座的偏移量不仅与圆锥长度L有关，而且还与两个顶尖之间的距离AE有关，这段距离一般可近似看作工件的全长L0.29在如上图所示的直角三角形ABE中，已知BE⊥AB且BE=S，AE=L0，30

由此可得偏移量S的近似计算公式式中

S———尾座偏移量；

L———圆锥长度；

L0———工件全长；

D———锥体大端直径；

d———锥体小端直径；

C———圆锥锥度.31

用正弦规测量锥角时的计算正弦规是利用三角函数中的边角关系间接测量角度的一种精密量具，它

由一块钢质长方体和两个相同的精密圆柱体组成（见下图a）.两个圆柱体之间的中心距非常精确，中心连线与长方体工作平面严格平行.常用正弦规的两圆柱中心距一般有100mm和200mm两种.32

测量时，将正弦规放在平板上，圆柱的一端用量块垫高，被测工件放在正弦规测量平面上（见上图b）.由于正弦规的倾斜，使工件的上母线与平板平行，并用百分表校正.设A，B分别为两圆柱中心，两圆柱的中心距为L，量块高度为

H，如图b所示.在直角三角形ABC中AB=L，BC=H，∠BAC=α，由此即可求出圆锥的锥角α.331.3.2加工和测量螺纹由于中径不能直接测量，所以采用间接的三针测量法.测量时，把三根直径相同的量针放在螺纹相对两面的螺旋槽内，再用千分尺量出两面量针之间的距离

M（见下图）.根据

M值进行计算，可求出螺纹中径的实际尺寸d2.34最佳量针的选择为了消除牙型角误差对测量结果的影响，所选择的量针放置在螺纹牙槽中时，应使量针与螺纹在中径处相切，如图所示（P

为螺距）.35

由于A

为切点，OA⊥AE，又因为OC⊥AC，所以在直角三角形ACO

中即最佳量针直径36对于不同螺纹，最佳量针直径如下表所示.37测量尺寸

M

与中径d2

的换算关系如图所示，F

为切点，G

为中径与牙型的交点，OA=OE-AE，OB==OF，AG=，所以在直角三角形OFE

中3839

在直角三角形AGE

中因为，所以40式中

d2———螺纹中径；

M———用外径千分尺量得的实际尺寸；

dD———量针直径；

α———螺纹牙型角；

P———螺距.41为了计算方便，把常用的牙型角α的值代入上式，得

M

与d2的简化关系式（见下表）.421.3.3用三爪自定心卡盘车偏心工件如图所示的工件，大圆直径D

的外圆已加工，现要在三爪自定心卡盘A，B，C的一爪C处垫上一块厚为x的垫片，车削加工小圆直径d的外圆.已知两外圆的偏心距为e，如何计算垫片的厚度x呢？43因为AO=OC=O'C-OO'，又因为O'C=+x，所以在△AOO'中（见下图），过O'作O'E⊥AO

于E，有44在直角三角形O'OE

中，有在直角三角形O'AE

中，有45又因为AO=AE+OE=，所以

461.3.4加工和测量燕尾形工件燕尾槽（下图a）和燕尾块（下图b）统称为燕尾形工件，它们都由两个斜角为α的斜面组成.机床上常利用这两种互相配合的零件做相对滑动，来达到控制其他零件或机构做准确直线运动的目的.47燕尾形工件的槽底及槽顶宽度是配合中的重要尺寸，精度要求较高的燕尾形工件，其宽度M

或N

可用精密圆柱和游标卡尺来测量.测量时，把两根直径均为d的圆柱放在斜角的根部（见下图），然后用游标卡尺测得实际尺寸E

或F，而E

或F

的理论值则根据图样要求的尺寸，经过计算得出.48根据上图，连接OA，则OA

是∠A的角平分线.连接O

与切点B，则OB⊥AB.由图知E=M-d-2AB，F=N+d+2AB.在直角三角形OAB

中，∠OAB则AB=OBcot所以若α=60°，则cot=cot30°≈1.732，所以E=M-2.732d，F=N+2.732d.49立体几何第2章50目录2.1空间几何体2.2空间几何体的三视图和直观图2.3简单几何体的表面积和体积2.4空间直线的位置关系2.5直线与平面的位置关系2.6平面与平面的位置关系51学习目标1.认识柱、锥、球及其简单组合体的几何特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会画简单几何体的三视图和直观图，体会“三维空间问题”向“二维平面问题”转化的思想.3.了解正棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥与球的表面积和体积的计算公式，并会应用这些公式解决空间几何体的有关计算.4.了解平面的基本性质，会判定空间几何体中，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.52学习目标5.会根据判定定理和性质定理判断直线、平面之间的平行或垂直的关系，并能解决一些简单的实际问题.6.了解空间点到直线的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并能进行一些简单的计算.7.了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，并能在简单几何体中进行有关角度的计算.53知识回顾初中阶段，我们已经初步接触了空间直线与平面、平面与平面的垂直与平行的检验方法.你可以根据下表来回顾这些知识.54552.1空间几何体56实例考察观察如图所示物体（几何体）的整体结构，尝试将它们分类572.1.1棱柱和棱锥的几何特征由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体.构成多面体的各个平面多边形称为多面体的面.一个多面体中，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点.棱柱如图所示的计算机机箱和茶叶盒我们都非常熟悉.仔细观察两者的外形简图，就会发现它们的共同特点：两幅简图所示的几何体都是多面体；每个多面体都至少有两个平面平行，且总能找到这样的两个互相平行的平面；不在这两个面上的棱都互相平行.由此，我们可以把具有上述特点的几何体归为一类.585960棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；两底面间的距离为棱柱的高；其余各面称为棱柱的侧面；相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……我们常用底面顶点的字母表示棱柱.例如，右图中的棱柱可以表示为五棱柱

ABCDE-A1B1C1D1E1.61

下图中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱结构的物体.观察这些棱柱可知，它们的侧棱与底面垂直，我们把这样的棱柱称为直棱柱.其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多边形，侧面都是全等的矩形，我们把它们称为正棱柱.（1）（11）（12）和（13）分别是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱.62除此以外，还有侧棱与底面不垂直的棱柱称为斜棱柱（见下图）.63棱锥观察下图中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以发现，它们都有一个面是多边形，其余各面是具有一个公共顶点的三角形.64在棱锥中，多边形的面称为棱锥的底面（或底）；有公共顶点的各个三角形称为棱锥的侧面；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱；各侧棱的公共点称为棱锥的顶点；顶点到底面的距离称为棱锥的高.底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又称四面体.棱锥也用顶点和底面各顶点的字母表示.例如，下图中的棱锥可以表示为五棱锥S-ABCDE.65下图中的（3）（7）（10）和（16）都是棱锥，而且它们的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，我们把这样的棱锥称为正棱锥.（3）（7）（10）和（16）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥.2.1.2圆柱和圆锥的几何特征圆柱我们用一个长方形的硬纸片绕其一边旋转一周，就能得到一个几何体.66如图所示是矩形O'OBB'以一边O'O

所在的直线为旋转轴旋转而成的圆柱.我们把旋转轴称为圆柱的轴；垂直于轴的边O'B'和OB

旋转而形成的圆称为圆柱的底面；两个底面之间的距离称为圆柱的高；平行于轴的边B'B

旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边B'B都称为圆柱的母线.圆柱可以用表示它的轴的字母表示.例如，如图所示的圆柱可以表示为圆柱O'O.我们通常将圆柱和棱柱统称为柱体.67圆锥与圆柱一样，圆锥也是由平面图形旋转而成的.如图所示是直角三角形SBO

以一条直角边SO

所在的直线为旋转轴旋转而成的圆锥.68我们把旋转轴称为圆锥的轴；直角边SO

的长度称为圆锥的高；另一条直角边OB

旋转而成的圆称为圆锥的底面；斜边SB旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边SB都称为圆锥的母线.圆锥可以用表示它的轴的字母表示.例如，上图所示的圆锥可以表示为圆锥SO.69下图中的（4）和（15）就是圆锥形物体.我们通常将圆锥和棱锥统称为锥体.702.1.3球的几何特征同样，球也是由平面图形旋转而成的.如图所示的球是半圆以直径AB

所在的直线为旋转轴旋转而成的.在这个球中，AB

的中点O称为球心，通过球心，且两端在球面上的线段称为球的直径，两端分别为球心和球面上任意一点的线段称为球的半径.球常用表示球心的字母表示.例如，如图所示的球可以表示为

球O.71下图中的（5）和（8）具有球体的几何特征，它们都是球.722.1.4简单组合体观察如图b所示的零件，从整体看，它不属于前面学过的任何一种几何体，但它是由一个正六棱柱和一个圆柱组成的，我们把它称为简单组合体.732.2空间几何体的三视图和直观图74实例考察分组进行下面的两个游戏，在游戏中体会对物体形状的描述方法，同时锻炼自己的空间想象能力.游戏一

选出四个同学围坐在一张桌子的四周，桌子上面放着一张写有数字

“9”的纸（见下图），甲同学看到了“9”，乙同学看到了

“6”，丙同学看到了

“6”，丁同学看到了“6”.根据他们看到的图形你能确定他们分别是哪位同学吗？75实例考察游戏二

如图所示，准备13个边长为a的小正方体.选出同学甲，以不同数目的小正方体搭建不同的几何体，然后向其他同学描述自己所搭建的几何体的形状.根据同学甲的描述，其他同学在纸上绘出示意图（不要求精确，但要求体现出大致形状）.同学甲在描述几何体时可以使用任意方式，但要求其中一种方式为分别描述出从几何体的正面、左面和上面看到的图形.其他同学在绘制出示意图后，对照同学甲搭建的几何体，看看自己绘制的是否正确.76通过“游戏一”可以看出，对于平面物体，例如游戏中的数字“9”，从不同角度进行观察，看到的形状会有所不同.通过“游戏二”可以看出，对于不同的几何体，我们可以采用多种方式对它们进行描述，例如语言描述和图形描述，从而向其他人传递几何体的形状信息.对于一些形状复杂的几何体，单纯依靠语言和文字很难作出精确和简明的描述，所以，自从劳动开创人类文明史以来，图形始终是人们认识自然、表达和交流思想的重要形式之一.772.2.1空间几何体的三视图在

“游戏二”中，假设同学甲使用了两个边长为a的正方体搭建了如图a所示的几何体.我们想象有平行射线分别对几何体从前向后（主视方向）、从上向下（俯视方向）和从左向右（左视方向）投射，这时在几何体的后面、下面和右面的平面上所得到的平面图形分别称为几何体的主视图、俯视图和左视图，如图b所示.78

如上图c所示，保持主视图平面不动，将俯视图平面向下旋转90°，左视图平面向右旋转90°，这样三个视图就在一个平面上了.以这三种视图方式来表现空间几何体的结构就称为空间几何体的三视图.上图d就是同学甲所搭建几何体的三视图.792.2.2空间几何体的直观图对于空间几何体的直观图，我们并不陌生.例如在“游戏二”中，下图就是同学甲用13个正方体搭建几何体的直观图，下图是圆柱的直观图.直观图都有较强的立体感，接近人们直接观察的效果.从图中我们可以看到，水平放置的平面图形变化较明显，如正方体的上、下底面画成了平行四边形，圆柱的上、下底面画成了类似椭圆的图形.因此，要画空间几何体的直观图，就要先研究水平放置的平面图形的直观图.802.3简单几何体的表面积和体积81实例考察在日常生活中，经常会涉及物体（空间几何体）表面积和体积的计算，观察下面的例子，体会空间图形计算的重要性.工件下料

制作如图所示空心圆柱筒，需要裁剪一块长方形板材，然后圈制而成.若已知圆柱筒的直径和高度，那么需要准备多大面积的一块矩形板材（不考虑壁厚）？82实例考察游泳池注水

如图所示游泳池的长为50m，宽为25m，深为2m.向池中注水，每小时注水量为90m3，那么注满整个游泳池需要多长的时间？832.3.1正棱柱与正棱锥的表面积和体积将较厚的纸板按下图的样子画好并剪裁，再把它沿虚线折起来并粘上，做成模型.84通过观察可以发现，由上图a所示纸板折成的模型是正五棱柱：五个矩形成了五棱柱的侧面，构成一个大的矩形，上下两个五边形成了正五棱柱的两个底面，且这个矩形的长等于正五棱柱底面的周长，这个矩形的宽等于正五棱柱的侧棱长，也即正五棱柱的高.实际上，上图a就是正五棱柱的表面展开图.表面展开图的面积就是正五棱柱的表面积，即S表=S侧+2S底.85由上图b所示纸板折成的模型是正五棱锥：五个全等的等腰三角形围成了棱锥的侧面，正五边形为棱锥的底面，且五个等腰三角形底边长的和等于正五棱锥底面的周长，等腰三角形的腰长为侧棱长.实际上，上图b就是正五棱锥的表面展开图.表面展开图的面积就是正五棱锥的表面积，即S表=S侧+S底.86正棱柱、正棱锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表.872.3.2圆柱与圆锥的表面积和体积用纸剪出一个矩形和一个扇形.把矩形卷起来，并把它的一组对边粘好，再把扇形卷起来（见下图），并把它的两条半径粘好.88观察可以发现，由矩形围成的是一个圆柱体的侧面.因此，圆柱的侧面展开图是一个矩形，且矩形的长等于圆柱底面圆的周长，宽为母线长，即圆柱的高.圆柱的底面为两个全等的圆.由扇形围成的是一个圆锥体的侧面.因此，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长.圆锥的底面为一个圆.圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表.89902.3.3球的表面积和体积912.4空间直线的位置关系922.4.1平面及其基本性质实例考察我们在生活中会接触到很多平面图形和立体图形.仔细观察下面的两个例子，试分析平面图形在研究空间物体中的作用.立体到平面

平行的光线从上方照射空间物体，在物体下方的地面上就可以得到该物体的平面投影图形（见下图）.93平面到立体

制作立方体包装盒时，需要按照该立方体展开的平面图形裁剪纸板，然后拼接制作完成（见下图）.94平面的表示方法正像直线是可以无限延伸的一样，平面也是可以无限延伸的，也就是说，平面是没有边界的.在日常生活中常见的桌面、黑板面（见下图）等，都只是平面的局部.95平面可以用一个小写希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上表示三个（或三个以上）不在同一直线上点的大写英文字母表示.例如，在如图所示的长方体

ABCD-A1B1C1D1

中，下底面可用“平面ABCD”

表示；有时，也用平行四边形对角线上的顶点大写英文字母表示平面，例如，“平面ABCD”也可表示为“平面AC”或“平面BD”.96要在纸上画出一个无限延展的平面时，通常只画出平面的一个局部，并画成平行四边形.例如，下图a表示的是一个水平放置的平面α；下图b表示的是竖直放置的平面的三种画法，其中平面α、平面β和平面γ分别表示在观察者的左前方、正前方和右前方的平面.97当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画（见下图）.98点、直线与平面的确定找一块平板，在它的某一面（该面平整）上任意画出点A，B.使用直尺在点A，B间画线，可以发现，只要直尺边缘上有两点分别与A，B重合，那么直尺边缘就会全都在平板的平面上（见下图）.99公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（见下图）.观察下图所示的相机三脚架，在它的调节范围内，调节任意一条腿的高度，都可以保证三脚架三点着地，稳定地立在平面上.100公理2不共线（不在同一条直线上）的三个点确定一个平面.如图所示，A，B，C三个点确定一个平面α，这里“确定一个平面”指“有且只有一个平面”.101不共线的三个点A，B，C确定的平面可以记作“平面ABC”.根据公理1、公理2，可得出：推论1

一条直线和直线外一点确定一个平面（见下a）.推论2

两条相交直线确定一个平面（见下图b）.推论3

两条平行直线确定一个平面（见下c）.102公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线.如图所示，点A

是平面α和β的一个公共点，则α和β有且只有一条经过点A的公共直线l.这时也称α和β相交于l.1032.4.2空间直线的位置关系在同一平面内不重合的两条直线，只有相交和平行两种位置关系.观察下图中的空间图形，判断下列各组中的两条直线是否也只有这两种位置关系.104如上图a所示长方体的棱AA1

和棱BC所在直线；如上图b所示正四棱锥的棱SA

和棱BC所在直线；如上图c所示六角螺母的棱AB

和CD

所在直线；如上图d所示蜗轮蜗杆传动中蜗轮与蜗杆的轴线.通过观察可以发现：上述各图中指定的两条直线不同在任何一个平面内，既不相交也不平行.105我们把类似于上图中的那些不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.空间中不重合的两条直线的位置关系有且只有三种（见下图）：1.平行———两条直线在同一平面内，且无公共点.2.相交———两条直线在同一平面内，有且只有一个公共点.3.异面———两条直线不同在任何一个平面内，无公共点.106显然，两条异面直线具有下列特征：不平行、不相交、不同在任何一个平面内.画异面直线时，要以辅助平面作衬托，把两条直线明显地画在不同的平面内，以体现“异面”的特点（见下图）.107空间的平行直线观察如图所示的V型架，它的两条侧边a和b均平行于V形架底边c，即a∥c，b∥c.容易看出，两条侧边a与b也互相平行，即a∥b.公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行.公理4所表述的性质，通常称为空间平行线的传递性.108等角定理

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（见下图）.109异面直线所成的角如图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b.根据等角定理可知，a'和b'所成角的大小与点O

位置的选取无关.我们把a'和b'所成的锐角（或直角）称为异面直线a与b所成的角（或夹角）.110

如果两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线相互垂直，记作a⊥b.实例考察中长方体的棱AA1

与棱BC，以及蜗轮与蜗杆的轴线都相互垂直.1112.5直线与平面的位置关系112实例考察从日常生活和生产中，体会应用直线与平面位置关系的重要性.跳高

在跳高比赛中，横杆与地面必须平行才能保证运动员成绩测量的准确性（见下图）.如果将跳高用的横杆看成是直线，地面看作平面，那么这就是直线与平面平行关系的应用.113钻孔

在工件上钻削与工件表面成90°的垂直孔时，必须保证钻头与工件表面垂直（见下图）.如果将钻削用的钻头看作直线，工件表面看作平面，那么这就是直线与平面垂直关系的应用.1142.5.1空间直线与平面的三种位置关系观察下图a中线段

AB1

所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1

的六个面的位置关系；再观察下图b中正四棱锥侧棱SA

所在直线与正四棱锥的五个面的位置关系.115通过实例观察与分析，我们可以得到空间直线和平面的位置关系有且只有以下三种：直线在平面内、直线与平面相交和平行.直线l与平面α相交和平行可以统称为直线在平面外，记作l⊄α.1162.5.2直线与平面平行的判定在实例考察跳高的例子中，横杆与地面给我们以平行的印象.直线和平面平行应该怎样判断呢？我们来观察一扇门（见下图a），门框左右两条边缘所在的直线是a，b.把墙面所在的平面记作α.若门关着，直线a，b同在平面α上，且a∥b；若门开着，a离开了平面α，但仍保持与b

平行，而且a

与平面α

也是平行的（见下图b）.117一般地，我们可以得到下面的定理.线面平行判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行（见下图）.1182.5.3直线与平面平行的性质如果把下图b中墙面和门面所在的平面分别记为α和β，则门边缘所在直线b是α与β的交线，且a∥b.这表明，当直线a和平面α平行时，过a的平面β与平面α的交线必与a平行.119由此，我们可以得到直线和平面平行的性质定理.线面平行性质定理

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行（见下图）.1202.5.4直线与平面垂直的判定观察如图所示长方体

ABCD-A1B1C1D1，在上底面A1C1

中，过点

A1

作

任意线段，可以发现它们都与侧棱

AA1垂直.121如果直线l与平面α内的任何直线都垂直，则称直线与平面互相垂直，记作l⊥α.l称为平面α的垂线，α称为直线l的垂面，l与α的交点称为垂足（见下图）.

从平面外一点向平面引垂线，这个点到垂足的距离称为这个点到这个平面的距离.122一般地，我们可以得到下面的定理.线面垂直判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于此平面（见下图）.1232.5.5直线和平面垂直的性质如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱

AA1，BB1，CC1，DD1所在的直线都垂直于平面ABCD，而我们知道这四条棱是相互平行的.一般地，有直线与平面垂直的性质定理.线面垂直性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.1242.5.6直线与平面所成的角如果一条直线与一个平面相交但不垂直，则称这条直线是平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足.如图所示，从平面α外一点P，分别作α的垂线PO

和斜线PA，其中O

为垂足，A

为斜足，则称PO

是平面的垂线段，PA

是平面的斜线段，OA是斜线段PA

在平面内的射影，垂足O称为点P

在平面内的射影.125斜线段和它在另一个平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线段所在的斜线与平面所成的角.如果一条直线与一个平面垂直，则规定它们所成的角是直角；如果一条直线与一个平面平行或在平面内，则规定它们所成角的角度是0°.1262.6平面与平面的位置关系127实例考察在实际生产和生活中，体会平面和平面位置关系的重要性.在机床加工中，如果将工作台看作一个平面，立柱也看作一个平面，工作台面需要与立柱保持严格的垂直关系（见下图）.这样在进行切削加工时，刀具能够沿着垂直方向对工件进行精确加工，才能保证加工精度.例如在加工精密零件时，若工作台与立柱不垂直，会导致加工出的零件尺寸偏差较大，表面粗糙度也不符合要求.128129通过大量的实例可以发现，两个不重合的平面要么没有公共点，要么有无数个公共点.我们将没有公共点的两个平面称为平行平面，将有公共点的两个不重合平面称为相交平面.2.6.1两个平面平行的判定一个平面α与另一个平面β平行，记作α∥β（见下图a）.一般地，我们可以得到下面的定理.面面平行判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（见下图b）.130根据上述定理，我们还能得到下面两个推论.推论1如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行（见下图）.131推论2垂直于同一条直线的两个平面平行.安装车轮时（见下图），只要使轮轴两端的两个车轮所在平面都垂直于轴，这两个车轮就互相平行.这是推论2的一个应用实例.1322.6.2两个平面平行的性质机械零件的加工过程中常常需要保证多个平面之间的平行度（见下图）.当两个平行的加工面与另一个平面（如装配基准面）相交时，只要确保交线平行，就能保证零件的精度和装配的准确性.由此，我们可以得到下面的定理.133面面平行性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（见下图）.我们把两个平行平面间垂直线段的长，称为这两个平行平面间的距离.1342.6.3二面角及其平面角如图所示为普通车刀刀头，它的各个刀面与水平面、垂直面所成角度对车削加工的质量、效率影响很大.其中，前刀面与水平面（基面）所成的角称为前角.前角越大，车刀越锋利，但会降低车刀的强度.因此，生产中要根据需要选择适当的前角.又如，修筑堤坝时，为了使其经久耐用，必须使堤坝的斜面和水平面成适当的角度.下面，我们来研究两个平面所成的角.135沿着平面内的一条直线将平面对折，得到两个半平面，这两个半平面组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.如果棱用

AB

表示，二面角可以记作α-AB-β；如果棱用l表示，则可记作α-l-β（见下图a）.136如果以二面角α-AB-β的棱AB上任意一点M

为端点，在两个面α，β内分别作垂直于棱的射线MN，MP，则称∠NMP

为这个二面角的平面角（见上图b）.二面角的大小用它的平面角来度量，且与点

M

在棱上的位置无关.平面角为90°的二面角称为直二面角.1372.6.4两个平面垂直的判定两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.如图所示，平面α和β垂直，记作α⊥β.138

一般地，我们可以得到如下平面与平面垂直的判定定理.面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直（见下图）.1392.6.5两个平面垂直的性质一般地，我们可以得到下面的定理.面面垂直性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如上图所示，设β⊥α，CD

是α与β的交线，AB

为平面β内的一条直线，若AB⊥CD，则AB⊥α.140平面解析几何（Ⅰ）——直线与圆的方程第3章141目录3.1直线与方程3.2圆与方程3.3参数方程3.4极坐标及应用3.5解析几何应用实例142学习目标1.会利用两点间距离公式，探求线段中点坐标公式；学会使用坐标法解决平面几何中的一些简单问题，初步体会用代数方法研究几何图形的数学思想.2.会结合图形，探索确定直线位置的几何要素；会用直线的倾斜角和斜率的定义及计算公式，求经过两点的直线的斜率和倾斜角.3.会根据确定直线位置的几何要素，求直线的点斜式、斜截式方程并转化为一般式方程.4.会根据直线的斜率判断两条直线的位置关系；会求两条相交直线的交点坐标.143学习目标5.会用公式求点到直线的距离及两条平行直线间的距离.6.能根据给定的圆的几何要素，求圆的标准方程与一般方程.7.能根据给定的直线与圆，判断直线与圆的位置关系，并体会用代数方法研究几何图形的数学思想.8.学会在直角坐标系中，利用直线与圆的知识解决一些简单的实际问题.9.了解参数方程的概念，会将曲线的参数方程化为普通方程.10.了解极坐标的概念，了解简单曲线的极坐标方程.144知识回顾两点间的距离公式数轴上两点间的距离公式已知数轴上两点A，B

的坐标分别为x1，x2（见下图），则A，B

两点间的距离为丨AB丨=丨x2-x1丨.145平面上两点间的距离公式已知同一平面内的两点

A，B

的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）.过A，B

分别作x，y

轴的垂线，垂线的延长线相交于点C（见下图），得到点C的坐标为（x1，y2），则丨BC丨=丨x2-x1丨，丨AC丨=丨y2-y1丨.

所以1463.1直线与方程147实例考察我们知道，平面上的两点能确定唯一的一条直线.如图中，A（2，3），B（-4，-1）.此时，经过点A，B

的直线是唯一确定的，那么我们如何去描述这条直线呢？1483.1.1直线的倾斜角和斜率如图a所示，在直角坐标系中，当直线l与x

轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角α，可以很好地反映直线l的倾斜程度.我们把它称为直线l的倾斜角.如图b所示的上海徐浦大桥桥塔上过同一点P的两条拉索（同一平面内）中，左侧拉索所在直线的倾斜角α1

是锐角，右侧拉索所在直线的倾斜角α2

是钝角；下图c中的直线l垂直于x轴，它的倾斜角α是90°；下图d中直线l垂直于y轴，我们规定它的倾斜角α是0°.因此，直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°（或写作α∈[0，π））.149150151这样，平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等.当直线l的倾斜角α≠90°时，α与其正切tanα是一一对应的，因此直线的倾斜程度也可以用tanα来表示.152

由正切函数的知识，可以得到直线的倾斜角α与斜率k之间的关系如下：当直线垂直于y轴时，α=0°

⇔

k=0；当直线的倾斜角是锐角时，0°<α<90°

⇔k>0；当直线垂直于x轴时，α=90°

⇔

k不存在；当直线的倾斜角是钝角时，90°<α<180°

⇔

k<0.因此，任意一条直线都有倾斜角，但斜率不一定存在.153

事实上，无论直线的倾斜角α是锐角还是钝角，我们都能得到如下结论：3.1.2直线的方程我们知道，一次函数y=2x+3的图像是一条直线l，其解析式y=2x+3可以看作一个关于x，y

的二元方程，而直线l上任意一点的坐标（x，y）都满足方程y=2x+3.这时，我们就把方程y=2x+3称为直线l的方程.即直线的方程是直线上任意一点的横坐标x和纵坐标y所满足的一个关系式.在平面直角坐标系中，给定一个点P0（x0，y0）和斜率k或给定两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2），就能唯一确定一条直线.也就是说，平面直角坐标系中的点是否在这条直线上是完全确定的.那么，我们能否用上述给定的条件，将直线上任意一点的坐标（x，y）满足的关系式表达出来呢？答案是肯定的.154155直线的点斜式方程已知直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k.如图所示，设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，由直线的斜率公式，得将上式两边同乘以（x-x0），得

①因为点P0

的坐标（x0，y0）同样满足上述关系式，所以关系式①就是所求直线l的方程.由于这个方程是由直线l上一定点P0（x0，y0）和直线l的斜率k所确定的，所以把方程①称为直线的点斜式方程.156直线的斜截式方程如图所示，点P0

是直线l与y轴的交点，设其坐标为（0，b），则我们把b称为直线l在y轴上的截距（纵截距）.此时，直线l的点斜式方程为y-b=k（x-0），

②方程②是由直线l的斜率k和在y轴上的截距b确定的，所以把方程②称为直线的斜截式方程.157直线的一般式方程从上述讨论可知，直线的方程无论是点斜式方程还是斜截式方程，都是关于x，y的二元一次方程.二元一次方程的一般形式是Ax+By+C=0（A，B

不全为零）.那么，形如Ax+By+C=0（A，B

不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢？我们通过下表来讨论这个问题.158159综上所述，方程Ax+By+C=0（A，B

不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线.我们把形如Ax+By+C=0（A，B

不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程.3.1.3两条直线平行的判定如图所示，设直线l1和l2的倾斜角分别为α1和α2，斜率分别为k1和k2.若l1∥l2，则直线l1与l2的倾斜角相等，即α1=α2，则tanα1=tanα2，即k1=k2.因此，若l1∥l2，则k1=k2.160若直线l1

与l2不重合，且k1=k2，即tanα1=tanα2（α1，α2∈[0，π））.则α1=α2，得到l1∥l2.因此，若k1=k2，则l1∥l2.

若它们的斜率都不存在，那么它们的倾斜角均为90°，也有l1∥l2

.1613.1.4两条直线垂直的判定设两条直线l1

与l2

的倾斜角分别为α1

与α2（α1，α2≠90°），l1的方程为y=k1x+b1（k1≠0），l2

的方程为y=k2x+b2（k2≠0）.我们来讨论l1⊥l2

时它们的斜率k1

与k2

之间的关系.由下图a可得α1+（180°-α2）=90°，162163则所以，k1=，即k1·k2=-1.因此，斜率都存在的两条直线l1

与l2，当l1⊥l2

时，必有k1·k2=-1.反之，当k1·k2=-1时，有则164所以α1+（180°-α2）=90°，即l1⊥l2.因此，有

如果两条直线l1与l2

的斜率一个等于0，另一个不存在，如上图b所示，显然，这两条直线也垂直.3.1.5相交直线的交点设平面内两条不重合的直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0.

如果l1，l2

不平行，则必然相交于一点，交点的坐标既满足l1的方程，又满足l2

的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1

与l2的交点.因此求两条相交直线的交点，只需解以下方程组即可.这个方程组的解就是l1

与l2

的交点坐标.1653.1.6点到直线的距离如图所示，在平面直角坐标系中，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0.过点P0

作直线l的垂线P0Q，Q

为垂足，则垂线段P0Q

的长度就是点P0

到直线l的距离，记作d.1663.2圆与方程167实例考察某圆拱桥示意图如图所示，该圆拱桥的跨度

AB

为20m，拱高OP

为4m，在建造时，每隔2m需用一个支柱支撑，求这些支柱的总长度.1683.2.1圆的标准方程如图所示，在平面直角坐标系中，已知一个圆以C（a，b）为圆心，r为半径.设P（x，y）是圆上任意一点，则丨PC丨=r.由两点之间的距离公式，可得关于点P的坐标的关系式：将上式两边平方，得

①169若点P（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点P

的坐标满足方程①；反之，若点P

的坐标（x，y）满足方程①，则表明点P

到圆心C的距离为r，即点P在以点C

为圆心的圆上.所以方程①就是以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程.我们称这个方程为圆的标准方程.如果圆心在坐标系的原点，这时a=0，b=0，那么圆的标准方程就是1703.2.2圆的一般方程圆的方程还有一种形式.我们看一个具体的例子.如图所示，已知圆的圆心为C（6，-5），半径r为4.由此，我们可以写出这个圆的标准方程（x-6）2+（y+5）2=16.171将上面的方程展开并整理得x2+y2-12x+10y+45=0.我们把方程x2+y2-12x+10y+45=0称为这个圆的一般方程.通常，如果形如的方程能够表示一个圆，我们就把它称为圆的一般方程.需注意的是，与方程③类似的方程并不都能表示一个圆.1723.2.3直线与圆的位置关系在平面几何中，我们已经学习过直线与圆的三种不同的位置关系及它们的判定方法.已知圆O的半径为r，设圆心O

到直线l的距离为d.1.直线和圆有两个公共点时，称为直线与圆相交（见右图a），这时直线称为圆的割线.直线l与圆O

相交

⇔

d<r.1732.直线和圆有唯一公共点时，称为直线与圆相切（见上图b），这时直线称为圆的切线，唯一的公共点称为切点.直线l与圆O

相切

⇔

d=r.3.直线和圆没有公共点时，称为直线与圆相离（见上图c）.直线l与圆O相离

⇔

d>r.以上应用了几何方法判定直线与圆的位置关系.在平面直角坐标系中，圆的圆心为O（a，b），直线l的方程为Ax+By+C=0，则圆心O到直线l的距离d为174比较d与r的大小，即可判定直线与圆的位置关系.应用代数方法，从联立方程组的解的个数，也能判定它们的位置关系.通过方程组中的第一式解出y，代入第二式，得出一个关于x的一元二次方程，由这个一元二次方程的判别式Δ的符号就能判定直线与圆是相交、相切，还是相离.175我们把上述讨论的直线与圆的位置关系及判定方法总结如下：1763.3参数方程177实例考察平面上有一动点A，其坐标表示为（1-2t，t），t∈R，当t取遍所有实数时，请问动点A

移动的轨迹是什么图形？我们前面学习了直线的方程

Ax+By+C=0（A，B

不全为零）和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.直线和圆的方程都可以表示为F（x，y）=0的形式.方程F（x，y）=0描述了曲线上任一点的坐标x，y之间的关系，习惯上，我们把方程F（x，y）=0称为曲线的普通方程.下面，我们要学习曲线方程的另一种形式———参数方程.1783.3.1参数方程的概念如图所示，直线的方程是y=x，P（x，y）是直线上任意一点，现设有向线段

的数量为t（当点P在x轴上方时t>0，当点P

在x

轴下方时t<0，当点P与点O

重合时t=0），则点P

的坐标x，y与变量t之间的关系为179参数是联系曲线上任意一点

P（x，y）的坐标x，y

的桥梁，它可以是一个有几何意义或物理意义的变量，也可以是没有实际意义的变量.请同学们思考并完成实例考察中的问题.1803.3.2圆的参数方程如图所示，设圆心在原点、半径为r的圆O

与x轴的正半轴的交点是A.设在圆上的点从点A

开始按逆时针方向运动到达点P，∠AOP=θ.则点P

的位置与旋转角θ有关.当θ确定时，点P在圆上的位置也就确定了.点P（x，y）的坐标x，y都是θ的函数，由三角函数的定义，得181从而得到，圆心在原点、半径为r的圆的参数方程是如图所示，已知圆的圆心为点

C(a，b)，半径为r，P(x，y)是圆上任意一点，x轴正方向到有向线段

的转角为θ，选取θ为参数，则圆的参数方程是1823.3.3化参数方程为普通方程将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，它们都表示曲线上任意一点的坐标

之间的关系.曲线的参数方程

消去参数t后即化为曲线的普通方程，但要注意的是消参数的过程中一定要保证不使曲线的范围发生改变.1833.4极坐标及应用184实例考察在实际生活中，经常需要确定某个目标的方位.如图所示是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请你直接回答下列问题.问题一

他向东偏北60°走了180m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？问题二

如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？1853.4.1极坐标系的概念实例考察中的问题，如果以

A

为基点，以射线

AB

为参照方向，利用与点

A的距离以及与射线AB所成的角，就可以直接回答.事实上，在台风预报、地震预报、测量、航空、航海等方面，需要确定目标的方位时，若采用直角坐标系，不仅坐标轴难以选择，而且点的坐标也不便确定，这时，我们可以建立一个新的坐标系来解决问题.186如图所示，在平面内取一定点O，称为极点，自极点O

引一条射线Ox，称为极轴，再选定一个长度单位，并取逆时针方向为角的正方向，这样就建立了一个极坐标系.设点

M

是平面上任意一点，极点O

与点M的距离

OM

称为点M

的极径，记作ρ；以极轴Ox为始边，射线OM

为终边的角称为点M

的极角（一般以弧度为单位），记作θ.有序数对（ρ，θ）称为点

M

的极坐标，记作

M（ρ，θ）.一般情况下，无特殊说明时，我们规定：ρ≥0，0≤θ<2π.这时，除极点外，平面上的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）表示；同时，极坐标（ρ，θ）表示的点也是唯一确定的.对于极点，我们约定，它的极坐标是（0，θ），极角θ可取任意角.187

极坐标系和直角坐标系是两种不同的平面坐标系，但它们之间有着密切的联系.把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.如图所示，设

M是平面上任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则它们之间的关系是：或这就是极坐标与直角坐标的互化公式.1883.4.2曲线的极坐标方程在直角坐标系中，曲线可以用关于

x，y

的二元方程F（x，y）=0来表示，方程F（x，y）=0是曲线的直角坐标方程.同理，在极坐标系中，曲线也可以用含有ρ

和θ

的二元方程f（ρ，θ）=0来表示，方程f（ρ，θ）=0称为曲线的极坐标方程.求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求曲线的直角坐标方程类似，即把曲线看成是适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上点的极坐标ρ和θ的关系式f（ρ，θ）=0表示出来，从而得到曲线的极坐标方程.1893.5解析几何应用实例190实例考察你能利用学过的知识求出下图a中R10圆弧所在的圆心D

以及切点B

与C的坐标吗？191实例考察

在生产加工中我们经常会遇到一些测量、检验尺寸（如点到直线的距离）以及有关点的坐标（如上图b所示圆心、切点的坐标）的计算.平面解析几何能利用简单的数学方程来准确地描述零件轮廓的几何形状，因此分析、计算过程往往比较简单，并减少了较多层次的中间运算，可使计算误差大大减小.特别是在数控机床加工的手工编程中，平面解析几何计算法是应用较普遍的计算方法之一.由于我们在加工中常见的零件轮廓都由直线和圆弧组成，本节将通过一些实例来介绍利用直线和圆方程进行计算的方法.1923.5.1有关检验、控制尺寸的计算一些控制、检验尺寸在零件图样上并没有直接加以标注，但在实际加工时必须知道，这时就需要我们通过计算解决.

例1

如图所示为某工件的一部分，弧DB

是圆心在O点、半径为5的圆弧.AB

为直线段，和弧

DB

切于点B（3，4），OC⊥OD，并交AB

于C点.求圆弧中心O到C的距离.193解

建立如图所示的直角坐标系.求OC长就是求直线AB

在y轴上的截距，只要求出直线AB

的方程即可解决.因为直线OB

的