椭圆知识专题练习题及解析

椭圆知识专题练习题及解析引言椭圆是解析几何的核心内容之一，也是高考数学的重点考查对象（常以选择题、填空题、解答题形式出现，分值约10-15分）。其考查范围涵盖定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系及综合应用（如最值、向量结合、参数方程）等。掌握椭圆的核心概念与解题方法，对提升解析几何解题能力至关重要。本文按专题分类设计练习题，从基础到综合逐步递进，每道题附详细解析（含思路点拨与方法总结），旨在帮助读者巩固知识点、掌握解题技巧。一、椭圆的定义与标准方程（一）知识点回顾1.第一定义：平面内到两定点\(F_1,F_2\)（焦点）的距离之和为定值\(2a\)（\(2a>|F_1F_2|\)）的点的轨迹。注：若\(2a=|F_1F_2|\)，轨迹为线段\(F_1F_2\)；若\(2a<|F_1F_2|\)，无轨迹。2.第二定义：平面内到定点\(F\)（焦点）与定直线\(l\)（准线）的距离之比为定值\(e\)（\(0<e<1\)，离心率）的点的轨迹。3.标准方程：焦点在\(x\)轴上：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(c^2=a^2-b^2\)，\(c\)为焦点到原点距离）；焦点在\(y\)轴上：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。（二）练习题及解析例1（第一定义应用）已知椭圆的两个焦点为\(F_1(-2,0)\)，\(F_2(2,0)\)，点\(P\)在椭圆上且\(|PF_1|+|PF_2|=8\)，求椭圆的标准方程。解析：由第一定义，定值\(2a=8\)，故\(a=4\)；焦点坐标得\(c=2\)；由\(b^2=a^2-c^2=16-4=12\)，得标准方程为：\[\boxed{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1}\]例2（第二定义应用）已知椭圆的焦点为\(F(3,0)\)，准线为\(x=12\)，求椭圆的标准方程。解析：由第二定义，准线方程为\(x=\frac{a^2}{c}=12\)，焦点得\(c=3\)；代入得\(a^2=12\times3=36\)，故\(a=6\)；\(b^2=a^2-c^2=36-9=27\)，标准方程为：\[\boxed{\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1}\]例3（标准方程求法）椭圆的一个顶点为\((0,5)\)，焦点在\(x\)轴上，且离心率为\(\frac{3}{5}\)，求标准方程。解析：焦点在\(x\)轴，顶点\((0,5)\)为短轴端点，故\(b=5\)，\(b^2=25\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)，得\(c=\frac{3}{5}a\)；由\(a^2-c^2=b^2\)，代入得\(a^2-\frac{9}{25}a^2=25\)，解得\(a^2=\frac{625}{16}\)；标准方程为：\[\boxed{\frac{16x^2}{625}+\frac{y^2}{25}=1}\]二、椭圆的几何性质（一）知识点回顾椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的核心性质：1.范围：\(x\in[-a,a]\)，\(y\in[-b,b]\)；2.顶点：长轴端点\((\pma,0)\)，短轴端点\((0,\pmb)\)；3.焦点：\((\pmc,0)\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)；4.离心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越大，椭圆越扁；\(e\)越小，椭圆越圆）；5.准线：\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)。（二）练习题及解析例1（离心率计算）椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率是多少？解析：\(a^2=25\)，故\(a=5\)；\(b^2=9\)，故\(b=3\)；\(c^2=a^2-b^2=25-9=16\)，故\(c=4\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)：\[\boxed{\frac{4}{5}}\]例2（离心率与\(a,b,c\)的关系）已知椭圆的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，求椭圆的离心率。解析：设长轴\(2a\)，短轴\(2b\)，则\(2a+2b=18\)，即\(a+b=9\)；焦距\(2c=6\)，故\(c=3\)；由\(a^2-b^2=c^2=9\)，得\((a-b)(a+b)=9\)，代入\(a+b=9\)，得\(a-b=1\)；联立\(\begin{cases}a+b=9\\a-b=1\end{cases}\)，解得\(a=5\)，\(b=4\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)：\[\boxed{\frac{3}{5}}\]例3（几何性质综合）椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\)上一点\(P\)到左焦点\(F_1\)的距离为3，求点\(P\)到右焦点\(F_2\)的距离及点\(P\)的横坐标。解析：由椭圆定义，\(|PF_1|+|PF_2|=2a=8\)，故\(|PF_2|=8-3=5\)；左焦点\(F_1(-3,0)\)，设\(P(x,y)\)，则\(|PF_1|=\sqrt{(x+3)^2+y^2}=3\)，平方得\((x+3)^2+y^2=9\)；又\(P\)在椭圆上，\(y^2=7(1-\frac{x^2}{16})=7-\frac{7x^2}{16}\)，代入上式得：\[(x+3)^2+7-\frac{7x^2}{16}=9\implies\frac{9x^2}{16}+6x+16=9\implies9x^2+96x+112=0\]解得\(x=\frac{-96\pm\sqrt{96^2-4\times9\times112}}{2\times9}=\frac{-96\pm84}{18}\)，即\(x=-\frac{4}{3}\)（\(x=-\frac{28}{3}\)超出椭圆范围，舍去）。答案：点\(P\)到右焦点的距离为\(\boxed{5}\)，横坐标为\(\boxed{-\frac{4}{3}}\)。三、椭圆与直线的位置关系（一）知识点回顾1.位置判断：联立椭圆与直线方程，消元得一元二次方程，通过判别式\(\Delta\)判断：\(\Delta>0\)：相交（有两个不同交点）；\(\Delta=0\)：相切（有一个交点）；\(\Delta<0\)：相离（无交点）。2.弦长公式：若直线与椭圆交于\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则弦长：\[AB\]3.中点弦问题：若弦\(AB\)的中点为\(M(x_0,y_0)\)，则弦所在直线的斜率\(k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\)（点差法推导）。（二）练习题及解析例1（位置关系判断）判断直线\(y=x+1\)与椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)的位置关系。解析：联立方程，将\(y=x+1\)代入椭圆得：\[\frac{x^2}{4}+\frac{(x+1)^2}{2}=1\implies3x^2+4x-2=0\]判别式\(\Delta=4^2-4\times3\times(-2)=16+24=40>0\)，故直线与椭圆相交：\[\boxed{\text{相交}}\]例2（弦长计算）求直线\(y=2x+1\)与椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)相交的弦长。解析：联立方程，将\(y=2x+1\)代入椭圆得：\[\frac{x^2}{9}+\frac{(2x+1)^2}{4}=1\implies40x^2+36x-27=0\]设交点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=-\frac{36}{40}=-\frac{9}{10}\)，\(x_1x_2=-\frac{27}{40}\)；弦长公式：\[AB\]\[\boxed{\frac{3\sqrt{195}}{10}}\]例3（中点弦问题）椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的弦\(AB\)的中点为\(M(2,1)\)，求弦\(AB\)所在直线的方程。解析：设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，中点\(M(2,1)\)，故\(x_1+x_2=4\)，\(y_1+y_2=2\)；\(A\)、\(B\)在椭圆上，故：\[\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}=1,\quad\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}=1\]两式相减得：\[\frac{(x_1^2-x_2^2)}{25}+\frac{(y_1^2-y_2^2)}{16}=0\implies\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{25}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{16}=0\]两边除以\((x_1-x_2)\)，得弦的斜率\(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{16(x_1+x_2)}{25(y_1+y_2)}=-\frac{16\times4}{25\times2}=-\frac{32}{25}\)；直线方程为\(y-1=-\frac{32}{25}(x-2)\)，整理得：\[\boxed{32x+25y-89=0}\]四、椭圆的综合应用（一）知识点回顾椭圆综合应用常涉及最值问题（点到直线/定点距离最值）、参数方程（用三角函数简化计算）、向量结合（如向量垂直、中点）等，核心是转化思想（将几何问题转化为代数问题）。（二）练习题及解析例1（点到直线距离最值）求椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)上的点到直线\(2x+3y-6=0\)的距离的最小值。解析：设椭圆上点\(P(3\cos\theta,2\sin\theta)\)（参数方程，\(\theta\)为参数），则点\(P\)到直线的距离为：\[d=\frac{|2\times3\cos\theta+3\times2\sin\theta-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|6(\cos\theta+\sin\theta)-6|}{\sqrt{13}}=\frac{6|\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})-1|}{\sqrt{13}}\]当\(\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=1\)时，\(d\)取得最小值：\[d_{\text{min}}=\frac{6(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{13}}=\frac{6(\sqrt{26}-\sqrt{13})}{13}\]\[\boxed{\frac{6(\sqrt{26}-\sqrt{13})}{13}}\]例2（向量与椭圆结合）已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，点\(M(1,\frac{1}{2})\)，过\(M\)作直线\(l\)交椭圆于\(A,B\)两点，若\(M\)为\(AB\)的中点，求直线\(l\)的方程及\(|AB|\)。解析：直线方程：用点差法，设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=2\)，\(y_1+y_2=1\)；两式相减得\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0\)，故斜率\(k=-\frac{x_1+x_2}{4(y_1+y_2)}=-\frac{2}{4\times1}=-\frac{1}{2}\)；直线方程为\(y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(x+2y-2=0\)；弦长计算：联立\(\begin{cases}x+2y-2=0\\\frac{x^2}{4}+y^2=1\end{cases}\)，消去\(x\)得\((2-2y)^2+4y^2=4\)，化简得\(8y^2-8y=0\)，解得\(y=0\)或\(y=1\)，对应\(x=2\)或\(x=0\)，故\(A(2,0)\)、\(B(0,1)\)，\(|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}\)。答案：直线\(l\)的方程为\(\boxed{x+2y-2=0}\)，弦长\(|AB|\)为\(\boxed{\sqrt{5}}\)。例3（定点距离最值）已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，点\(A(1,0)\)，点\(P\)在椭圆上，求\(|PA|\)的最大值和最小值。解析：设\(P(x,y)\)，则\(y^2=1-\frac{x^2}{4}\)，故\(