高等数学定理与公式速查手册

高等数学定理与公式速查手册一、一元函数微积分（一）极限与连续1.极限的定义（ε-δ语言）设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义，若对任意给定的正数\(\varepsilon\)，存在正数\(\delta\)，使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)时，恒有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称\(A\)为\(f(x)\)当\(x\tox_0\)时的极限，记为：\[\lim_{x\tox_0}f(x)=A\]2.两个重要极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)（推广：\(\lim_{\alpha(x)\to0}\frac{\sin\alpha(x)}{\alpha(x)}=1\)）；\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)（推广：\(\lim_{\alpha(x)\to0}(1+\alpha(x))^{\frac{1}{\alpha(x)}}=e\)）。3.无穷小的比较（\(x\tox_0\)时）设\(\alpha(x),\beta(x)\)为无穷小：高阶无穷小：\(\alpha(x)=o(\beta(x))\Leftrightarrow\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0\)；同阶无穷小：\(\alpha(x)\simC\beta(x)\Leftrightarrow\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0\)；等价无穷小：\(\alpha(x)\sim\beta(x)\Leftrightarrow\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\)。常用等价无穷小（\(x\to0\)）：\(\sinx\simx\),\(\tanx\simx\),\(\ln(1+x)\simx\),\(e^x-1\simx\),\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\),\((1+x)^\alpha-1\sim\alphax\)。4.极限存在准则夹逼准则：若\(g(x)\leqf(x)\leqh(x)\)且\(\limg(x)=\limh(x)=A\)，则\(\limf(x)=A\)；单调有界准则：单调递增（递减）且有上界（下界）的数列必有极限。（二）导数与微分1.导数的定义函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的导数：\[f'(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]左导数\(f'_-(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)，右导数\(f'_+(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)。可导条件：\(f'(x_0)\)存在当且仅当\(f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\)。2.基本导数公式（部分）\((C)'=0\)（\(C\)为常数）；\((x^\alpha)'=\alphax^{\alpha-1}\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)）；\((e^x)'=e^x\),\((a^x)'=a^x\lna\)（\(a>0,a\neq1\)）；\((\sinx)'=\cosx\),\((\cosx)'=-\sinx\),\((\tanx)'=\sec^2x\)；\((\lnx)'=\frac{1}{x}\),\((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0,a\neq1\)）；\((\arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\),\((\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}\)。3.复合函数求导（链式法则）设\(y=f(u),u=\varphi(x)\)，则：\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\]4.高阶导数\((e^x)^{(n)}=e^x\)；\((\sinx)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\),\((\cosx)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\)；\((\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)。（三）积分1.不定积分的定义与性质定义：若\(F'(x)=f(x)\)，则\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)为任意常数）；性质：\(\int[f(x)\pmg(x)]dx=\intf(x)dx\pm\intg(x)dx\)，\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\neq0\)）。2.基本不定积分公式（部分）\(\intx^\alphadx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\)（\(\alpha\neq-1\)）；\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)；\(\inte^xdx=e^x+C\),\(\inta^xdx=\frac{a^x}{\lna}+C\)（\(a>0,a\neq1\)）；\(\int\sinxdx=-\cosx+C\),\(\int\cosxdx=\sinx+C\)；\(\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C\),\(\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx+C\)。3.换元积分法第一类换元（凑微分）：\(\intf(\varphi(x))\varphi'(x)dx=F(\varphi(x))+C\)；第二类换元：\(\sqrt{a^2-x^2}\tox=a\sint\),\(\sqrt{x^2+a^2}\tox=a\tant\),\(\sqrt{x^2-a^2}\tox=a\sect\)。4.分部积分法\[\intudv=uv-\intvdu\]常用配对：多项式与指数函数（\(u=\)多项式）、多项式与三角函数（\(u=\)多项式）、对数函数与多项式（\(u=\lnx\)）。5.牛顿-莱布尼茨公式若\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的原函数，则：\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]（四）中值定理与泰勒公式1.拉格朗日中值定理若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续、\((a,b)\)可导，则存在\(\xi\in(a,b)\)，使得：\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\]2.泰勒公式（带拉格朗日余项）若\(f(x)\)在\(x_0\)处有\(n+1\)阶导数，则：\[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]其中\(\xi\in(x_0,x)\)。常用麦克劳林展开（\(x_0=0\)）：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)；\(\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m})\)；\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\)（\(x>-1\)）。（五）导数的应用1.单调性判别若\(f'(x)>0\)在\((a,b)\)内恒成立，则\(f(x)\)在\((a,b)\)严格递增；若\(f'(x)<0\)，则严格递减。2.极值判别必要条件：若\(f(x)\)在\(x_0\)处可导且取极值，则\(f'(x_0)=0\)（驻点）；充分条件：一阶导数法：\(x_0\)左邻域\(f'(x)>0\)、右邻域\(f'(x)<0\)，则\(f(x_0)\)为极大值；反之则为极小值；二阶导数法：若\(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)>0\)，则\(f(x_0)\)为极小值；若\(f''(x_0)<0\)，则为极大值。3.渐近线水平渐近线：\(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=C\Rightarrowy=C\)；垂直渐近线：\(\lim_{x\tox_0^\pm}f(x)=\pm\infty\Rightarrowx=x_0\)；斜渐近线：\(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=k\neq0\)且\(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=b\Rightarrowy=kx+b\)。二、多元函数微积分（一）偏导数与全微分1.偏导数的定义函数\(z=f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)处对\(x\)的偏导数：\[f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Deltax}\]对\(y\)的偏导数类似。2.全微分的定义若\(\Deltaz=f(x+\Deltax,y+\Deltay)-f(x,y)=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)），则\(dz=Adx+Bdy\)。可微条件：\(f_x,f_y\)连续，则\(dz=f_xdx+f_ydy\)。3.复合函数偏导数（链式法则）设\(z=f(u,v),u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\)，则：\[\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx},\quad\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialy}\]（二）重积分1.二重积分的计算直角坐标：\(D=\{(x,y)|a\leqx\leqb,\varphi_1(x)\leqy\leq\varphi_2(x)\}\)，则：\[\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\]极坐标：\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)，\(d\sigma=rdrd\theta\)，则：\[\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\betad\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\]2.三重积分的计算柱坐标：\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z\)，\(dV=rdrd\thetadz\)；球坐标：\(x=r\sin\varphi\cos\theta,y=r\sin\varphi\sin\theta,z=r\cos\varphi\)，\(dV=r^2\sin\varphidrd\varphid\theta\)。（三）曲线积分与曲面积分1.格林公式设\(D\)为平面闭区域，\(L\)为\(D\)的正向边界，\(P,Q\)连续可偏导，则：\[\oint_LPdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy}\right)d\sigma\]2.高斯公式设\(\Omega\)为空间闭区域，\(\Sigma\)为\(\Omega\)的外侧边界，\(P,Q,R\)连续可偏导，则：\[\oiint_\SigmaPdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}+\frac{\partialR}{\partialz}\right)dV\]三、无穷级数（一）常数项级数1.收敛的定义若部分和\(S_n=\sum_{k=1}^nu_k\)的极限存在，则级数\(\sum_{n=1}^\inftyu_n\)收敛，记为\(S=\lim_{n\to\infty}S_n\)。2.正项级数判别法比较判别法：\(0\lequ_n\leqv_n\)，则\(\sumv_n\)收敛\(\Rightarrow\sumu_n\)收敛；\(\sumu_n\)发散\(\Rightarrow\sumv_n\)发散；比值判别法：\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)，\(\rho<1\)收敛，\(\rho>1\)发散；根值判别法：\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\)，\(\rho<1\)收敛，\(\rho>1\)发散。3.交错级数（莱布尼茨判别法）若\(u_n>0\)单调递减且\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)，则\(\sum(-1)^{n-1}u_n\)收敛。（二）幂级数1.收敛半径与收敛域收敛半径：\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)（比值法）或\(R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)（根值法）；收敛域：求\(|x|<R\)内的收敛区间，再判断端点\(x=\pmR\)的敛散性。2.幂级数的性质逐项求导：\(S'(x)=\sum_{n=1}^\inftyna_nx^{n-1}\)，收敛半径不变；逐项积分：\(\int_0^xS(t)dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)，收敛半径不变。（三）傅里叶级数1.傅里叶系数设\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上可积，其傅里叶级数为\(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cosnx+b_n\sinnx)\)，其中：\(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)dx\)；\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\cosnxdx\)（\(n=1,2,\cdots\)）；\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\sinnxdx\)（\(n=1,2,\cdots\)）。2.收敛定理（狄利克雷条件）若\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上连续或只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则傅里叶级数在\(x\)处收敛于\(\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}\)（\(x^+\)为右极限，\(x^-\)为左极限）。四、常微分方程（一）一阶方程1.一阶线性方程形式：\(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)，通解为：\[y=e^{-\intP(x)dx}\left(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C\right)\]2.可分离变量方程形式：\(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)，解法：\(\int\frac{dy}{g(y)}=\intf(x)dx\)。（二）高阶线性方程1.二阶线性齐次方程形式：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\)，解的结构：若\(y_1,y_2\)线性无关，则通解为\(y=C_1y_1+C_2y_2\)。2.常系数线性齐次方程形式：\(y''+ay'+by=0\)，特征方程\(r^2+ar+b=0\)：实根\(r_1\neqr_2\)：\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)；实根\(r_1=r_2=r\)：\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)；复根\(r=\alpha\pmi\beta\)：\(y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)\)。五、线性代数基础（一）行列式1.行列式的性质转置：\(|A^T|=|A|\)；换行：交换两行，行列式变