专题08长方体和正方体的体积（二）（解析）

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题08长方体和正方体的体积（二）知识精讲知识精讲专题简析在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。解答上述问题，必须掌握这样几点：1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。典例分析典例分析【典例分析01】有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？【思路点拨】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。【典例分析02】将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。【思路点拨】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。【典例分析03】有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？【思路点拨】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。【典例分析04】有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？【思路点拨】首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。【典例分析05】长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？【思路点拨】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。因此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30×30。所以，这个长方体的体积是30立方厘米。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．【思路点拨】这座假山的体积等于水下降部分的体积，用长方体容器的底面积乘水面下降的高度即可。【规范解答】解：10×10×（7﹣4）＝100×3＝300（立方分米）答：这座假山的体积是300立方分米。故选：B。【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式的应用，解答本题关键是理解假山的体积等于水下降部分的体积。2．【思路点拨】没水部分的体积是300毫升，由②可知，5个大铁球的体积正好等于300毫升，进而求出大铁球的体积。由③可知，6颗小铁球的体积小于300毫升，6颗小铁球再加1个大铁球的体积大于300毫升。由此判断。【规范解答】解：600﹣300＝300（毫升）300÷5＝60（立方厘米）300÷6＝50（立方厘米）（300﹣60）÷6＝240÷6＝40（立方厘米）答：一个小铁球的体积大约在40cm3～50cm3。故选：B。【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗大铁球的体积，进而得解。3．【思路点拨】这10条金鱼的体积等于下降的水的体积，下降水的高度是2.5﹣2.4＝0.1分米，再用长方体的体积＝长×宽×高列式解答即可．【规范解答】解：6×3×（2.5﹣2.4）＝18×0.1＝1.8（立方分米）1.8立方分米＝1800立方厘米答：10条金鱼的体积约是1800cm3．故选：A．【考点评析】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积＝长×宽×高；在解答时要注意：选择有用的数据进行计算．要注意单位的统一．4．【思路点拨】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。由题意可知，把2块铁块放入盛满水的容器中，使铁块完全浸没在水中，溢出水的体积就等于这2块铁块的体积和，根据加法的意义，用加法解答。【规范解答】解：500+500＝1000（立方厘米）1000立方厘米＝1立方分米答：容器里的水会溢出1立方米。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用，整数加法的计算法则及应用，体积单位相邻单位之间的进率及换算方法的应用。5．【思路点拨】由题意可知：两个正方体铁块的体积＝溢出的水的体积，利用正方体的体积公式V＝a3即可逐步求解．【规范解答】解：1×1×1×2＝1×2＝2（立方分米）2立方分米＝2升答：盆中的水将减少2升．故选：B．【考点评析】解答此题的关键是明白：两个正方体铁块的体积＝溢出的水的体积，从而可以逐步求解．二．填空题（共8小题，满分19分）6．【思路点拨】根据题意可知，从这个长方体冰块中截下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【规范解答】解：2×2×2＝4×2＝8（立方米）答：这座正方体冰魔方的体积是8立方米。故答案为：8。【考点评析】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。7．【思路点拨】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。【规范解答】解：150÷50÷4＝3÷4＝0.75（米）0.75米＝75厘米答：可以铺75厘米厚。故答案为：75。【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。8．【思路点拨】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。（2）根据不规则物体体积的计算方法，把石块放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是比3个正方体的表面积和减去了正方体的4个面的面积，拼成长方体的体积等于3个正方体的体积和。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（1）5÷（8×2.5）＝5÷20＝0.25（米）0.25米＝2.5分米答：沙子厚2.5分米。（2）25×20×（12﹣10）＝500×2＝1000（立方厘米）答：石头的体积是1000立方厘米。（3）2×2×6×3﹣2×2×4＝24×3﹣16＝72﹣16＝56（平方厘米）2×2×2×3＝8×3＝24（立方厘米）答：这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。故答案为：2.5；1000；56，24。【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。9．【思路点拨】根据图意可知，淘淘把棱长为10cm的正方体铁块浸没在水中，水面上升了5厘米，用正方体铁块的体积除以上升的高度，即可求出长方体容器的底面积，最后把石头放入长方体容器，水面又上升了2厘米，石头的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可求出石头的体积。【规范解答】解：10×10×10÷5×2＝1000÷5×2＝200×2＝400（立方厘米）答：淘淘把“棱长为10cm的正方体铁块”浸没在水中目的是求长方体容器的底面积。这块石头的体积是400立方厘米。故答案为：长方体容器的底面积，400。【考点评析】本题关键是根据等量替换思想，理解第二次上升部分水的体积就是这个石块的体积；本题用到的知识点是：长方体的体积公式V＝Sh，解题关键是求出长方体容器的底面积。10．【思路点拨】（1）根据正方体的体积公式V＝a×a×a，求出玻璃缸的容积；（2）因为放进石头后，缸里的水还剩，所以石头的体积是玻璃缸的容积的：1﹣＝，由此用乘法列式求出石头的体积；进而求出缸里还剩下水的体积．【规范解答】解：1分米＝10厘米，（1）10×10×10＝1000（立方厘米），1000立方厘米＝1000毫升．答：这个玻璃缸的容积是1000毫升．（2）1000×（1﹣），＝1000×，＝400（毫升）．1000﹣400＝600（毫升）．答：石头的体积是400毫升，剩下水的体积是600毫升，故答案为：1000；400，600．【考点评析】关键是明白石头的体积等于石头排开的水的体积．11．【思路点拨】由题意可知：把缸中水的体积看作单位“1”，则缸中水体积的（1﹣）是石块的体积，根据正方体的体积计算公式求出缸中盛满水时的体积，然后根据一个数乘分数的意义，用乘法即可求出石块的体积．【规范解答】解：1×1×1×（1﹣），＝（立方分米）；答：石块的体积是立方分米．【考点评析】明确缸中水体积的（1﹣）是石块的体积，是解答此题的关键；用到的知识点：正方体体积的计算方法．12．【思路点拨】乌鸦将一块石子投到水瓶里，水面上升了0.1cm，则说明这块石子的体积相当于一个底面积是[（20÷2）2×3.14]cm2，高是0.1cm的圆柱的体积；接下来根据圆柱的体积＝底面积×高进行求解即可；第二个空，先求出水面上升的高度，再根据一块石子的体积水面上升了0.1cm进行求解即可。【规范解答】解：（20÷2）2×3.14＝3.14×100＝314（cm2）314×0.1＝31.4（cm3）10﹣8＝2（cm）2÷0.1＝20（块）答：这块石子的体积是31.4cm3。若水面有10cm高时，乌鸦还需要再投到水瓶里20块相同大小的石子。故答案为：31.4；20。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。13．【思路点拨】往盛水的长方体玻璃缸里放入一块石头后，水面升高了，升高了的水的体积就是这块石头的体积，升高的部分是一个长15厘米，宽15厘米，高2厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式V＝abh列式解答即可．【规范解答】解：15×15×2＝225×2＝450（立方厘米）答：这块石头的体积是450立方厘米．故答案为：450．【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法，注意上升的水的体积就是石头的体积．三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）14．【思路点拨】只有在一个装满水的正方体容器里，放入一个石块，石块完全浸没在水中，溢出的水的体积等于石块的体积．【规范解答】解：因为只有在一个装满水的正方体容器里，放入一个石块，石块完全浸没在水中，溢出的水的体积等于石块的体积；题干中一是没有说明容器是满的；二是没有说石块完全浸没在水中；所以题干说法错误．故答案为：×．【考点评析】解决本题关键是明确要使石块的体积等于溢出的水的体积，（2）原来容器必须是装满水的；（2）石块完全浸没在水中．15．【思路点拨】由题意得：石头的体积等于上升的水的体积，利用长方体体积＝长×宽×高计算出石头的体积，再与2立方厘米比较即可判断．【规范解答】解：1分米＝10厘米10×10×2＝200（立方厘米）这块石头的体积是200立方厘米，不是2立方厘米，原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的运用．关键是明确石头的体积等于上升的水的体积．注意单位要统一．16．【思路点拨】该物体的体积等于它在容器中排开水的体积，已知容器的底面是一个边长2分米的正方形，一个物体浸入水中，这时容器中的水位升高了3分米，根据长方体的体积计算公式v＝abh，列式解答．【规范解答】解：2×2×3＝4×3＝12（立方分米）答：这个物体的体积是12立方分米．故答案为：×．【考点评析】此题主要考查长方体的体积的计算方法的实际应用，关键是明白：升高的那部分水的体积就等于物体的体积，求出升高的水的高度，是解答本题的关键．17．【思路点拨】用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，据此判断。【规范解答】解：求一个不规则物体的体积，把这个物体放到水里（浸没未溢出），求升高的水的体积就可以了，原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。四．计算题（共2小题，满分10分，每小题5分）18．【思路点拨】首先根据图意，求出放入西红柿后水面上升的高度，然后利用底面积乘上升的高度即可解答。【规范解答】解：6﹣5＝1（厘米）15×6×1＝90（立方厘米）答：这个西红柿的体积是90立方厘米。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。19．【思路点拨】观察图形可知，放入一个大圆球一个小圆球后，溢出12ml水，再放入三个小圆球后溢出水到24ml，那么三个小圆球的体积就是这次溢出的水的体积24﹣12＝12ml，由此可得：一个小圆球的体积是：12÷3＝4ml，那么一个大圆球的体积是12﹣4＝8ml，据此即可解答．【规范解答】解：（24﹣12）÷3＝12÷3＝4（ml）12﹣4＝8（ml）8ml＝8cm3答：大圆球的体积是8cm3．【考点评析】解答此题的关键是求出一个小圆球的体积是多少，由放入三个小圆球后溢出水的体积为24﹣12＝12ml即可进行解答．五．应用题（共9小题，满分53分）20．【思路点拨】由题意得土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2厘米的长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高列式解答即可。【规范解答】解：4×2×0.2＝1.6（立方厘米）答：这个土豆的体积是1.6立方厘米。【考点评析】解决本题关键是明确土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2厘米的长方体的体积。21．【思路点拨】这块石头的体积等于下降的水的体积，用底面积乘下降的厘米数即可。【规范解答】解：5×4×（3﹣1.8）＝20×1.2＝24（立方分米）答：小石块的体积是24立方分米。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。22．【思路点拨】根据题意可知，把铅球从水箱中取出后，下降部分水的体积就等于10个铅球的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出10个铅球的体积，然后除以10就是每个铅球的体积。【规范解答】解：100×60×（25﹣21）÷10＝6000×4÷10＝24000÷10＝2400（立方厘米）答：每个铅球的体积是2400立方厘米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．【思路点拨】这块石头的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。关键是求出长方体内壁的长、宽各是多少厘米，利用原来的长减去厚度即可。【规范解答】解：87﹣1﹣1＝85（厘米）52﹣1﹣1＝50（厘米）85×50×2＝85×100＝8500（立方厘米）答：这块石头的体积是8500立方厘米。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。24．【思路点拨】（1）根据题意，利用玻璃缸的底面积乘水面上升的高度即可，关键是明白水面上升的高度是容器的高减去注入的水的高再减去距离缸口的高度即可；（2）木头是漂浮在水面的，不能用此方法测量木块的体积。【规范解答】解：（1）20×12×（15﹣10﹣2）＝240×3＝720（立方厘米）答：这块不规则石头的体积是720立方厘米。（2）木头是漂浮在水面的，不能用此方法测量木块的体积。【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。25．【思路点拨】根据题意可知，当注水的高度等于假山石的高时，水能将假山石刚刚淹没，根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出鱼缸内水的高度是3分米时水与假山石的体积和。用水与假山石的体积和减去假山石的体积计算需要注入水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用需要注入水的体积除以每分钟注入水的体积就是需要注入水的时间。据此解答。【规范解答】解：5×2×3＝30（立方分米）（30﹣4）÷8＝26÷8＝3.25（分钟）答：至少需要3.25分钟能将假山石刚刚淹没。【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是求出当鱼缸内水的高等于假山石的高时，需要注入水的体积。26．【思路点拨】因为土豆和红薯都是放入同一个长方体容器里，并且里面的