第二十四章 圆 单元测试 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册第二十四章圆单元测试一、选择题1.如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为（）A.B.2C.D.42.如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（）A.25°B.40°C.50°D.65°3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（）A.110°B.100°C.120°D.125°4.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A.12°B.22°C.24°D.44°5.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（）A.50°B.55°C.60°D.65°6.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB=3，则圆片的面积为（）A.πB.3πC.9πD.12π7.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），B的坐标为（1，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.（3，2）B.（3，1）C.（4，1）D.（4，2）8.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）A.B.C.4D.69.已知：如图，△ABC．求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．④∵∠A+∠B＝180°，这四个步骤正确的顺序应是（）A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②10.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）A.2B.3C.4D.11.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（）A.B.C.D.12.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（3，0）、B两点，∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（﹣1，0），⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A.2B.3C.4D.5二、填空题13.已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为

．14.如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是

．15.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是

（“相等”或“不等”）．16.已知：⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OD＝3：5，则AC的长为

．17.如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为

．三、解答题18.如图，AB，CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么，.（2）如果=，那么，.（3）如果∠AOB=∠COD，那么，.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE和OF相等吗？为什么？19.如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．（1）求证：AC＝BD；（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．20.在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是

．21.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD；（2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径．22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．（2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）．

人教版九年级上册第二十四章圆单元测试（参考答案）一、选择题1.如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为（）A.B.2C.D.4【答案】D【解析】解：∵OC⊥AB，∴=且AB＝2BD，∴∠AOC=∠BOC=45°∴∠AOB=90°∵OB＝2，∴OB2+OA2＝AB2，∴2OB2＝AB2，∴AB＝4．故选：D．2.如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（）A.25°B.40°C.50°D.65°【答案】B【解析】∵∠D＝25°，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切⊙O于点C，∴OC⊥AC∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．故选：B．3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（）A.110°B.100°C.120°D.125°【答案】A【解析】解：∵∠ABC＝125°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝55°，∴∠AOC＝2∠ADC＝110°．故选：A．4.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A.12°B.22°C.24°D.44°【答案】C【解析】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，∴∠AOC＝156°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，故选：C．5.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（）A.50°B.55°C.60°D.65°【答案】A【解析】解：如图所示，连接OD，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝2∠ABD＝40°，∵OA＝OD，∴，∵BD∥OA，∴∠OAB＝∠ABD＝20°，∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝50°，故选：A．6.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB=3，则圆片的面积为（）A.πB.3πC.9πD.12π【答案】C【解析】解：连接OC，OB，∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，∵∠CAB=60°+30°=90°，∴四边形ABOC是正方形，∴OB=AB=3，∴圆片的面积=π×32=9π故选：C．7.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），B的坐标为（1，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.（3，2）B.（3，1）C.（4，1）D.（4，2）【答案】B【解析】解：如图，建立直角坐标系，该圆弧所在圆的圆心是弦BC，弦AB垂直平分线的交点O′，坐标是（3，1）．故选：B．8.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）A.B.C.4D.6【答案】C【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵A是弧BC的中点，∴＝，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝4．故选：C．9.已知：如图，△ABC．求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．④∵∠A+∠B＝180°，这四个步骤正确的顺序应是（）A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②【答案】D【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．2、∵∠A+∠B＝180°，3、∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．4、因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．故选：D．10.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）A.2B.3C.4D.【答案】A【解析】解：如图，连接BI，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵点I为等边△ABC的内心，∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°，∴AD是△ABC外接圆的直径，∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，∴△DBI是等边三角形，∴DI＝BI，∵∠IAB＝∠IBA，∴AI＝BI，∴DI＝AI＝AD＝2，∴BD＝DI＝2，∴线段DB的长为2，故选：A．11.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：如图，连接AC.∵CD为直径，CD⊥AB，A，O，E共线且AE⊥BC于E.∴直线CD垂直平分线段AB，直线AE垂直平分线段BC∴AC=BC=AB∴△ABC为等边三角形∵AC=AB=BC，且AE⊥BC，∴∠BAE=∠30°（三线合一）∵AO＝1，∴OF＝AO＝，由勾股定理，得AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+××＝．故选：B．12.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（3，0）、B两点，∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（﹣1，0），⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：如图，当圆与直线AB相切时，切点是D和E，连接P′D，P′′E，∴P′D⊥AB，P′′E⊥AB，∵∠BAO＝30°，∴AP′＝2P′D＝2，同理：AP′′＝2，∴P′的横坐标是3﹣2＝1，P′′的横坐标是3+2＝5，∴P的横坐标的范围是大于1且小于5，∴横坐标为整数的点P的坐标是（2，0），（3，0），（4，0），共有3个．故选：B．二、填空题13.已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为

．【答案】【解析】解：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BC＝10，∴BD＝5，AB＝10，∴AD＝＝5，∴的长为＝．故答案为：．14.如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是

．【答案】2π【解析】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝4，又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝2．∴S阴影部分＝S⊙O﹣S扇形ABC＝π×22﹣＝2π．故答案为：2π．15.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是

（“相等”或“不等”）．【答案】相等【解析】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝EB，CF＝DF，∵AB＝CD，∴AE＝CF，∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），∴OE＝OF．故答案为：相等．16.已知：⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OD＝3：5，则AC的长为

．【答案】4或2【解析】连接OA，∵OE：OD＝3：5，设OD＝5x，OE＝3x，则OD＝OC＝5x，∵CD＝10，∴OE＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB，在Rt△OAM中，OA＝5，AE＝OA2-OE2＝当如图1时，CE＝OC+OE＝5+3＝8，在Rt△ACE中，AC＝AE2+CE2＝＝当如图2时，CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，在Rt△ACE中，AC＝AE2+EC2＝＝综上所述，AC的长为4或2．17.如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为

．【答案】【解析】解：∵OM⊥AB，点A坐标为（1，0），∴OA＝OB＝1，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴当BC是⊙M的直径时，线段OD取得最大值，如图，∵点M坐标为（0，1），∴OM＝1，在Rt△OBM中，BM＝，∴BC＝2BM＝2，∴OD＝＝，即线段OD的最大值为．故答案为：．三、解答题18.如图，AB，CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么，.（2）如果=，那么，.（3）如果∠AOB=∠COD，那么，.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE和OF相等吗？为什么？【答案】解：（1）如果AB=CD，那么=，∠AOB=∠COD；（2）如果=，那么∠AOB=∠COD；AB=CD；（3）如果∠AOB=∠COD，那么=，AB=CD；（4）OE与OF相等．理由如下：∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，∴AE=BE，CF=DF，而AB=CD，∴AE=CF，∵OE=，OF=，∵OA=OC∴OE=OF．故答案为：=，∠AOB=∠COD；∠AOB=∠COD，AB=CD；=，AB=CD．【解析】19.如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．（1）求证：AC＝BD；（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点，∴，∴，∴，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接CD，AD，∵∠BDC＝25°，，∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，∴∠BEC＝∠AED＝130°．【解析】20.在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是

．【答案】解：（1）如图，连接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半径为6cm长，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；（2）∵以点A为