黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六～八章，选择性必修第一册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.2.在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（）A.－1 B.1 C.i D.－i3.已知向量，，若与共线，则（）A.12 B.9 C. D.4.在中，角，，对边分别为，，，若，则的最大值为（）A. B. C. D.5.如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（）A B. C. D.6.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.7.已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（）A.2 B. C.1 D.8.已知正方体的棱长为2，为正方体内一点，若，，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则（）A B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影向量的坐标为10.如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（）A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为C.三棱锥的体积的最大值为D.若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点最短长度为511.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（）A.B.外接圆的面积为C.若，则为直角三角形D.若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的共轭复数______．13.在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．14.已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点．求证：（1）平面；（2）平面平面．16.已知，，．（1）求与的夹角；（2）若，且，求及．17.设中，角所对的边分别为，．（1）求A；（2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值．18.如图，正方体棱长为，，是棱，上的点，且（）．（1）证明：过，，三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形；（2）若，求直线与所成角的余弦值；（3）设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，证明：．19.如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．（ⅰ）求三棱锥的体积；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．参考答案1-8.【答案】C【答案】B【答案】C【答案】B【答案】D【答案】A【答案】D【答案】A9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ACD12.【答案】13.【答案】##14.【答案】##15.小问1】因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点，所以，，，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，因为为中点，所以，即，同理．又平面，所以平面．【小问2】由（1）知，，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面不在平面内，所以平面．由已知，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面不在平面内，所以平面．又，平面，所以平面平面．16.【小问1】，所以．又，所以．【小问2】由题意知，即，解得，所以，所以，所以．17.【小问1】由正弦定理及，得，，，．∵，∴，整理得．又∵，∴，∴．【小问2】由题知，则，故，两边平方得．∵，∴，即．∵，即，∴，∴．18.【小问1】在正方体中，在上取点，使得，连接，由，得四边形是平行四边形，则，又，则，四边形是平行四边形，因此，又，则四边形为平行四边形，，于是，四边形为平行四边形，所以过，，三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形.【小问2】以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，因此，所以直线与所成角的余弦值为.【小问3】依题意，平面平面，则平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，而，则，设平面的法向量为，则，取，得，则，又平面的法向量为，则，所以.19.【小问1】证明：因为，分别是，的中点，所以．因为平面平面，所以平面．【小问2】（ⅰ）如图，连接．因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以点是外接圆的圆心．因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．因为球的表面积，所以球的半径，所