2024-2025学年广东省广州市四中九年级（上）期中数学试题含答案

试题试题2024学年第一学期广州四中教育集团期中考试试题九年级数学第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（*） A． B． C． D．2．抛物线的对称轴是直线（*） A． B． C． D．3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（*）第3题 A． B． C． D．4．一元二次方程，配方后可变形为（*） A． B． C． D．5．如图，线段是的直径，于点，若长为，长为，则半径是（*）第5题 A． B． C． D．6．某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为（*） A． B． C． D．7．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（*） A．， B．， C．， D．，8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（*） A． B． C．且 D．

且9．如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（*）第9题 A． B． C． D．10．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论：；；；若为任意实数，则，其中正确的是（*）

第10题 A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是*．12．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为*．13．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为*．14．如图，、是的切线，、为切点，是圆的直径，若，则的度数为*．第14题15．如图，在中，，，．现在将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为*．第15题16．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，线段和相交于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为*．

第16题三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分4分）解方程：．18．（本题满分4分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；（2）作出与关于原点对称的．19．（本题满分6分）已知二次函数的图象经过点，．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．20．（本题满分6分）已知关于的方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）方程两个实数根分别为，，且，求的值．21．（本题满分8分）如图，四边形内接于，是直径，为的中点，延长，交于，连结．（1）求证：；（2）当，时，求线段的长．22．（本题满分10分）某商场销售一种商品，每件进价为元，调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件．（1）当销售单价为元时，平均每天可以销售______件商品；与的函数关系式为______，其中的取值范围是______；（2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？23．（本题满分10分）如图，是的直径，与交于点，平分交于点．

（1）尺规作图：过点作，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：是的切线：连接，若，，求的面积．24．（本题满分12分）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；（2）当时，的最大值为，求的值；（3）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．25．（本题满分12分）已知，点为等边三角形所在平面内一点，

（1）如图，点在外，，，求证：；（2）如图，点在内，，，，求的度数；（3）如图，点在内，且，为上一点，连接，若，求证：．2024学年第一学期广州四中教育集团期中考试试题九年级数学第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（*） A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A选项不是轴对称图形，是中心对称图形；B选项既不是轴对称图形，不是中心对称图形；C既是轴对称图形，是中心对称图形；D选项是轴对称图形，不是中心对称图形．2．抛物线的对称轴是直线（*） A． B． C． D．【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴是直线．3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（*）第3题 A． B． C． D．【答案】B【解析】绕点按逆时针方向旋转后得到，，又．4．一元二次方程，配方后可变形为（*） A． B． C． D．【答案】A【解析】．5．如图，线段是的直径，于点，若长为，长为，则半径是（*）第5题 A． B． C． D．【答案】D【解析】解：如图，连接，线段是的直径，于点，，，在中，可有，半径是．6．某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为（*） A． B． C． D．【答案】A【解析】解：某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，设蔬菜产量的年平均增长率为，可列方程为．7．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（*） A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，抛物线的对称轴为直线，则，解得：，即为，则，解得：，．8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（*） A． B． C．且 D．

且【答案】B【解析】解：根据题意可得，，，，．9．如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（*）第9题 A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，是内心，，，．10．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论：；；；若为任意实数，则，其中正确的是（*）

第10题 A． B． C． D．【答案】C【解析】解：抛物线的开口方向，；对称轴是直线，，；抛物线与轴的交点位于负半轴，，，故正确；，

，，即，，，，即正确；，即错误；根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，，，，，正确．故选C．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是*．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是．12．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为*．【答案】【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：．13．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为*．【答案】【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，，，．14．如图，、是的切线，、为切点，是圆的直径，若，则的度数为*．第14题【答案】【解析】、是的切线，、为切点，，，，，，，．15．如图，在中，，，．现在将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为*．第15题【答案】【解析】解：中，，，，，，，，是等边三角形，，，．是旋转而成，，．．是等边三角形．．16．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，线段和相交于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为*．

第16题【答案】【解析】解：如图：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，

，，，为的中点，为的中位线，，当最短时，最短，四边形是正方形，，，，，，，，点在以为直径的圆上，当点在上时，最短，，，．三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分4分）解方程：．【答案】，【解析】，18．（本题满分4分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；（2）作出与关于原点对称的．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析【解析】解：（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求．19．（本题满分6分）已知二次函数的图象经过点，．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．【答案】（1）（2）点不在这个二次函数的图象上【解析】（1）解：二次函数的图象经过点，．，解得，；（2）当时，，点不在这个二次函数的图象上．20．（本题满分6分）已知关于的方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）方程两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）关于的方程有两个实数根，，解得：；（2）方程两个实数根分别为，，，，，即，整理得：，即，，，，．21．（本题满分8分）如图，四边形内接于，是直径，为的中点，延长，交于，连结．（1）求证：；（2）当，时，求线段的长．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】解：（1）证明：为的中点，，是直径，，，，，．（2）解：如图，连接，是直径，，，，，，，，，，．22．（本题满分10分）某商场销售一种商品，每件进价为元，调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件．（1）当销售单价为元时，平均每天可以销售______件商品；与的函数关系式为______，其中的取值范围是______；（2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1），，（2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元（3）销售单价为元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是元【解析】（1）解：当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，当销售单价为元时，平均每天可以销售件商品，与的函数关系式为：，销售单价不能超过元，；（2）解：设该商品的销售单价为元，则每件商品的利润为元，由题意得：，整理得：，解得：，，，，商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元；（3）解：根据题意得：，，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，最大，为（元），销售单价为元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是元．23．（本题满分10分）如图，是的直径，与交于点，平分交于点．

（1）尺规作图：过点作，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：是的切线：连接，若，，求的面积．【答案】（1）画图见解析（2）证明见解析，【解析】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，连接，

，，平分角，，，，，，直线是的切线；如图，连接，与交于点，

为的直径，，，四边形为矩形，，，，，.24．（本题满分12分）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；（2）当时，的最大值为，求的值；（3）已知点，．若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．【答案】（1），（2）或（3）或【解析】（1）解：（1）令，则，，，抛物线的对称轴为．（2）解：由（1）可知，，抛物线顶点坐标为：，当时，抛物线开口向上，，时，为最大值，即，解得．当时，抛物线开口向下，时，取最大值．，解得．综上所述，或．（3）解：抛物线的对称轴为．设点关于对称轴的对称点为点，．，点，，都在直线上．当时，如图，当点在点的左侧（包括点）或点在点的右侧（包括点）时，线段与抛物线只有一个公共点．或．（不合题意，舍去）或．当时，如图，当在点与点之间（包括点，不包括点）时，线段与抛物线只有一个公共点．．．又，．综上所述，的取值范围为或．25．（本题满分12分）已知