考点11指数与指数函数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）原卷版

考点11指数与指数函数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．【知识点】1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x<0时，当x<0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．【核心题型】题型一指数幂的运算(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例题1】（2024·广东·模拟预测）若，则．【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数则．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：（1）=

（2）（=（3设，则的值为题型二指数函数的图象及应用对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．题型三指数函数的性质及应用(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．命题点1比较指数式大小【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（

）A． B．C． D．命题点2解简单的指数方程或不等式【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合，集合，则（

）A． B． C． D．命题点3指数函数性质的综合应用【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)求在上的值域.【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象恒经过定点．(1)求的值；(2)当在上是增函数，求a的范围．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式.(1)求不等式的解集；(2)若当时，不等式总成立，求的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024·四川绵阳·二模）的展开式中，x的系数为（

）A． B． C．5 D．102．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算：（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（

）A． B．C． D．二、多选题5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数且进得研究，得出如下结论，其中正确的有（

）A．函数的定义域为 B．函数有可能是奇函数，也有可能是偶函数C．函数在定义域内单调递减 D．函数不一定有零点6．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（

）A．的定义域为B．的值域为C．当时，为奇函数D．当时，三、填空题7．（2023·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是.8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则，函数的值域为.四、解答题9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像(1)；(2).10．（2024高三·全国·专题练习）化简：(1)；(2)11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，.(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数，，，其中均为实数.(1)若函数的图像经过点，，求的值;(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.(3)若满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值.综合提升练一、单选题1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知为奇函数，则（

）A． B． C．2 D．-23．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（

）A． B． C． D．5．（2023·江西南昌·三模）设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．7．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设的小数部分为x，则（

）A．1 B． C．2 D．8．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（

）A． B．

C． D．二、多选题9．（2024·广西柳州·三模）若，则（

）A． B． C． D．10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（

）A．不等式的解集是B．，都有C．是R上的递减函数D．的值域为11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝，则下列结论正确的是（

）A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数三、填空题12．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是．13．（2024·全国·模拟预测）已知，，则．14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是.四、解答题15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简(1)计算：；(2)化简（用分数指数幂表示）：16．（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的.(1)；(2)；(3)；(4).17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数．(1)求的值；(2)记集合，集合，若，求实数的取值范围．18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：(1)．(2)．19．（23-24高三下·全国·自主招生），求拓展冲刺练一、单选题1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（

）A． B．C． D．3．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，，且，则（）A．，， B．，，C． D．5．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（

）A． B． C． D．4二、多选题6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（

）A． B．C． D．7．（20