考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）原卷版

考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知识点】1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有⇔函数y＝f(x)的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号【核心题型】题型一函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（

）A．， B．C． D．【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间.题型二函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题2】（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法：的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；在区间上单调递增；当时，的取值范围为；在区间上有个零点．以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为.【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数，给出下列三个命题：①是周期函数；②曲线关于直线对称；③在区间上恰有3个零点．其中真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型三函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.命题点1根据零点个数求参数【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（

）A．，使函数恰有1个零点B．，使函数恰有3个零点C．，函数都有零点D．若函数有2个零点，则实数的取值范围为【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是.【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程在上有两个不同的根，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.(1)求证：是奇函数；(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.命题点2根据函数零点的范围求参数【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，且在区间上只有1个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（

）A． B．或.C． D．或.【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为.【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像．若在区间内有零点，无极值，则的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数的零点分别为，则（

）A． B．C． D．2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（

）A．2 B． C．4 D．13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．在内有零点 D．若在内有零点，则4．（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（

）A． B． C． D．5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法正确的是（

）A．在区间上的值域是B．C．函数在上单调递增D．函数在区间内有3个零点二、多选题6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（

）A．当有2个零点时，只有1个零点B．当有3个零点时，只有1个零点C．当有2个零点时，有2个零点D．当有2个零点时，有4个零点7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数的零点为，下列判断正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2024·重庆·模拟预测）若，则关于的方程的解的个数是．9．（2023·河北·模拟预测）已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则的值为.四、解答题10．（2023·四川成都·一模）已知函数.(1)若时，求曲线在点处的切线方程；(2)若时，求函数的零点个数；(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，是的零点．(1)求的值；(2)求函数的值域．12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数．(1)若为奇函数，求实数的值；(2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．综合提升练一、单选题1．（2023·吉林长春·一模）方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（

）A．26 B．63 C．57 D．257．（2023·四川南充·模拟预测）函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（

）A． B．的解集为C．是曲线的切线 D．点是曲线的对称中心10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（

）A．B．的最小值为C．若函数在上存在零点，则的最小值为D．函数在上一定存在零点11．（2023·江西·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数B．若只有一个零点，则C．当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为D．对于任意的，一定存在极值三、填空题12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．13．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为.四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)若不等式恒成立，求实数m的最大值；(2)若函数有零点，求实数的取值范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时，方程有两个解，求参数的取值范围.17．（2023·江苏·三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．19．（2023·福建福州·模拟预测）设，函数．(1)判断的零点个数，并证明你的结论；(2)若，记的一个零点为，若，求证：．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·模拟预测）已知函数，下列命题正确的是（

）①是奇函数；②方程有且仅有1个实数根；③在上是增函数；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（

）个①

②

③A．0 B．1 C．2 D．35．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程的两根为，，则（

）A．， B．C． D．二、多选题6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．若且，则C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为D．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线的交点的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．的最小值为8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数