2024-2025学年广州市荔湾区八年级（下）期末数学试题含答案

试题试题2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中是最简二次根式的是(

)A.a2+b2 B.(a−b2.下列计算正确的是(

)A.12=32 B.2+3.一组数据的方差为s2=15A.5 B.4 C.30 D.204.△ABC的三条边分别记为a，b，c，三个内角分别记为∠A，∠B，∠C，则由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是(    )A.a：b：c=1：1：3 B.(b−c)(b+c)=a2

C.∠A+∠B=2∠C D.a=25.某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(

)年龄(单位：岁)13141516频数(单位：名)812x10−xA.平均数，中位数 B.众数，中位数 C.众数，方差 D.平均数，方差6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为(

)A.33

B.35

C.7.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC=10，BD=24，则OM的长为(

)A.5

B.132

C.6

D.8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是(

)A.5s时，两架无人机都上升了40m

B.10s时，两架无人机的高度差为30m

C.乙无人机上升的速度为6m/s

D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m

9.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在直线y=x上，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是(

)A.(2,2) B.(3,3) C.(23,10.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线上，且EF=22，AB=6，给出下列结论：①OD平分∠EOC；②CF=BD=217；③AE=10；④CF⊥ADA.①②③ B.③④ C.①③④ D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若a+5在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是______．12.某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了10位同学，得到如表数据：则这10位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时．时长(小时)56789人数1233113.若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为1：5，则其中较小内角的度数是______．14.如图，一次函数y1=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数y2=kx(k为常数且k>0)的图象交于点P(−4,−2)，则关于x的方程(a−k)x+b=0

15.一次函数y=−2x−3，当m≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤y≤d，那么代数式d−cn−m的值是______．16.如图，在边长为6的正方形ABCD中，△AMN的顶点M，N分别在BC，CD边上，且MN=BM+DN，连接BD分别交AM，AN于点E，F.其中DF=22，则EF=______．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

计算：27+(2+18.(本小题4分)

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE=CD，连接BE.求证：四边形AEBD是矩形．19.(本小题6分)

某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个苹果并编号为1号到10号，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如图：

统计量/供应商平均数中位数众数甲8080a乙80bc根据以上信息，解答下列问题：

(1)则a=______，b=______，c=______；

(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；(填“甲”或“乙”)

(3)超市规定直径82mm(含82mm)以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果3500个，那么大果约有多少个？20.(本小题6分)

某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买A，B两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买.其中，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多80元，购买3台A型机器人模型和购买5台B型机器人模型的费用相同．

(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？

(2)学校准备购买A型和B型机器人模型共20台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍.设购买A型机器人模型a台，购买A，B两种型号机器人模型共花费w元，求出w关于a的表达式，并求出购买多少台A型机器人模型时，w取值最小？最小是多少？21.(本小题8分)

在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，其中BC=10．

(1)如图1，若∠CBE=15°，求AB的长；

(2)如图2，若AB=6，求EC的长．

22.(本小题10分)

已知点A(0,2)，B(4,0)及第一象限的动点P(x,y)，且x+y=6，设△AOP，△BOP的面积分别为S1，S2．

(1)分别求出S1，S2关于x的函数解析式，以及相应x的取值范围；

(2)请判断S1=S2是否成立？如果成立，求此时P点坐标；如果不成立，请说明理由；

(3)画出23.(本小题10分)

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在CD上，AE=5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AB−BC−CD向点D运动，到点D停止，设点P运动的时间为t秒．

(1)当四边形APCE是平行四边形时，求t的值；

(2)请用含有t的代数式表示出线段BP的长；

(3)当t为何值时，△APE为直角三角形？请说明理由．24.(本小题12分)

如图1，直线l1：y=43x+4分别交x轴，y轴于点B和点A，直线l2：y=kx+b分别交x轴，y轴于点D和点C，l1和l2交于点E(−2,a)，已知OB=32OD．

(1)求直线l2的解析式；

(2)如图2，连接AD，将△DAB绕点D顺时针旋转90°得到△DA′B′，边A′B′所在直线交y轴于点H，求出点H的坐标；

(3)在(2)的条件下，将直线l2平移经过点B，得直线l3，将△AOB沿直线l3平移得到△A1O1B1，其中边A1B1所在直线与25.(本小题12分)

如图，平行四边形ABCD中，BC=BD，点F是线段AB的中点，过点C作CG⊥BD交BD于点G，CG的延长线交DF于点H，且CH=DB．

(1)如图1，若DH=1，求FH的值；

(2)如图2，连接FG，求证：DB=2FG+HG；

(3)如图3，延长FG交CD于点N，求HGDN的值．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；

B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

D、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：A．

满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．

本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键．2.【答案】D

【解析】解：A．12=23，故本选项不符合题意；

B.2和3不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；

C.62≠3，故本选项不符合题意；

D3.【答案】D

【解析】解：一组数据的方差为s2=15[(x1−4)2+(x2−4)2+(4.【答案】B

【解析】解：A、∵a：b：c=1：1：3，

∴设a=k，b=k，c=3k，

∴a2+b2=k2+k2=2k2，c2=(3k)2=3k2，

∴a2+b2≠c2，

∴△ABC不是直角三角形，

故A不符合题意；

B、∵(b−c)(b+c)=a2，

∴b2−c2=a2，

∴b2=a2+c2，

5.【答案】B

【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，

则总人数为：5+15+10=30，

故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142=14岁，

即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；

故选：B．

由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．6.【答案】A

【解析】解：由勾股定理得，AB=AC2+BC2=2+1=3，

∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，

∴AB=AD=BD=3，

∴△ABD7.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，

∴AC⊥BD，OC=12AC=5，OB=12BD=12，

∴∠BOC=90°，

∴BC=OB2+OC2=13，

∵点M为AB的中点，

∴OM是△ABC的中位线，

∴OM=12BC=1328.【答案】B

【解析】解：由图象可得，

A.5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40−30=10(m)，故错误；

B.10s时，两架无人机的高度差为：(8×10)−(30+2×10)=30(m)，故正确；

C.甲无人机的速度为：40÷5=8(m/s)，乙无人机的速度为：(40−30)÷5=2(m/s)，故错误；

D.10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10=80(m)，故错误；

故选：B．

根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．

本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．9.【答案】D

【解析】解：如图：点C为点B关于y=x的对称点，则C(0,4)，连接AC交直线y=x于点P，此时点P就是PA+PB的值最小时的位置，

设直线AC的解析式为y=kx+4，代入点A(2,0)坐标得：

2k+4=0，解得k=−2，

∴y=−2x+4，

当y=x时，x=−2x+4，解得x=43，

∴P(43,43)，

10.【答案】C

【解析】解：①在正方形ABCO中，∠AOC=90°，AO=CO，

∵点A，O，E在同一直线上，

∴∠COE=90°，

在正方形DEFO中，∠DOE=90°，∠DOE=45°，

∴∠DOC=∠COE−∠DOE=45°，

∴∠DOC=∠DOE=45°，

∴OD平分∠EOC，

故结论①正确；

②连接DF交OE于点P，FD的延长线交BC的延长线于点H，如图1所示：

在正方形DEFO中，EF=OD=OF=222，DF⊥OE，OP=DP=PF=12OE，DF=OE，

在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE=EF2+OF2=(22)2+(22)2=4，

∴OP=DP=12OE=2，DF=OE=4，

在正方形ABCO中，OA=AB=BC=OC=6，∠AOC=∠OCB=90°，

∴∠COP=∠OPH=∠OCH=90°，

∴四边形OCHP是矩形，

∴CH=OP=2，PH=OC=6，

∴FH=PH+PF=6+2=8，DH=PH−DP=6−2=4，BH=BC+CH=6+2=8，

在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF=CH2+FH2=22+82=217，

在Rt△BDH中，由勾股定理得：BD=DH2+BH2=42+82=45，

∴CF≠BD，

故结论②不正确；

③∵OA=6，OE=4，

∴AE=OA+OE=6+4=10，

故结论③正确；

④设CF与AD交于点M，AD于OC交于点N，如图2所示：

∵∠AOC=∠DOE=90°，

∴∠AOC+∠COD=∠DOE+∠COD，

∴∠AOD=∠COE，

在△AOD和△COE中，

AO=CO∠AOD=∠COEOD=OF，

∴△AOD≌△COE(SAS)，

∴∠OAD=∠OCF，

在△OAN中，∠OAD+∠ONA+∠AOC=180°，

在△AMN中，∠OCF+∠MNC+∠CMN=180°，

又∵∠ONA=∠MNC，

∴∠AOC=∠CMN=90°，

∴CF⊥AD，

故结论④正确，

综上所述：正确的结论是①③④．

故选：C．

①在根据正方形性质得∠COE=90°，∠DOE=45°，进而得∠DOC=∠DOE=45°，由此可对结论①进行判断；

②连接DF交OE于点P，FD的延长线交BC的延长线于点H，先求出OE=4，进而得11.【答案】a≥−5

【解析】解：若a+5在实数范围内有意义，

则a+5≥0，

解得a≥−5，

故答案为：a≥−5．

二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．

12.【答案】7.1

【解析】解：这10位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是110×(5+6×2+7×3+8×3+9)=7.1(小时)，

故答案为：7.1．

根据加权平均数的定义列式计算即可．13.【答案】30°

【解析】解：设相邻两个内角分别为x，5x．

由平行四边形的相邻内角互补，可得x+5x=180°，

∴x=30°，

∴其中较小的内角为30°．

故答案为：30°．

设相邻的两个内角的度数x，5x，构建方程求解．

本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14.【答案】x=−4

【解析】解：∵一次函数y1=ax+b(a,b为常数且a≠0)与正比例函数y2=kx(k为常数且k≠0)的图象交于点P(−4,−2)，

∴关于x的方程(a−k)x+b=0的解是x=−4．

故答案为：x=−4．15.【答案】2

【解析】解：∵一次函数中k=−2<0，

∴y随x的增大而减小，

∵当m≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤y≤d，

∴(m,d)，(n,c)在一次函数图象上，

∴d=−2m−3①，c=−2n−3②，

∴d−c=2(n−m)，

∴d−cn−m=2(n−m)n−m=2，

故答案为：16.【答案】5【解析】解：过点A作AH⊥AN交CB的延长线于点H，过点B作BK⊥BD交AH于点K，连接EK，如图所示：

∴∠HAN=90°，∠KBE=90°，

在正方形ABCD中，AB=AD=6，∠ABC=∠ADN=∠BAD=90°，∠ADF=∠ABE=45°，

∴∠ABH=∠ADN=90°，∠HAN=∠BAD=90°，

∴∠BAH+∠BAN=∠BAN+∠DAN，

∴∠BAH=∠DAN，

在△ABH和△ADN中，

∠ABH=∠ADN=90°AB=AD∠BAH=∠DAN，

∴△ABH≌△ADN(ASA)，

∴BH=DN，AH=AN，

∴MH=BM+BH=BM+DN，

∵MN=BM+DN，

∴MH=MN，

在△AMH和△AMN中，

AH=ANMH=MNAM=AM，

∴△AMH≌△AMN(SSS)，

∴∠MAH=∠MAN，

∵∠KBE=90°，∠ABE=45°，

∴∠ABK=∠KBE−∠ABE=45°，

∴∠ABK=∠ADF=45°，

在△ABK和△ADF中，

∠BAH=∠DANAB=AD∠ABK=∠ADF，

∴△ABK≌△ADF(ASA)，

∴BK=DF=22，AK=AF，

在△AKE和△AFE中，

AK=AF∠MAH=∠MANAE=AE，

∴△AKE≌△AFE(SAS)，

∴EK=EF，

在Rt△ABD中，AB=AD=6，

由勾股定理得：BD=AB2+AD2=62，

设EF=x，则EK=EF=x，

∴BE=BD−DF−EF=62−22−x=42−x，

在Rt△EKB中，由勾股定理得：BK2+BE2=EK2，

∴(22)2+(42−x)2=x2，

解得：x=522，

∴EF=x=522．

故答案为：522．

过点A作AH⊥AN交CB的延长线于点H，过点B作BK⊥BD交17.【答案】3+1【解析】解：原式=33+4−3−23

=318.【答案】见解析．

【解析】证明：∵点D是BC的中点，

∴BD=CD，

又∵AE=CD，

∴AE=BD，

∵AE//BC，AE=BD，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴四边形AEBD是矩形．

由点D是BC的中点，得到BD=CD根据平行四边形的判定定理得到四边形AEBD是平行四边形，求得∠ADB=90°，根据矩形的判定定理得到四边形AEBD是矩形．

本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．19.【答案】83，79.5，76；

甲；

1050个．

【解析】(1)通过观察甲的数据可知83出现的次数最多，故众数a=83，

对乙的10个数据进行排序为：75，76，76，76，79，80，81，83，86，88，

所以，中位数为a=79+802=79.5，众数c=76，

故答案为：83，79.5，76；

(2)S甲2=110×[(76−80)2+(83−80)2+(77−80)2+(79−80)2+(81−80)2+(78−80)2+(83−80)2+(83−80)2]=5.8，

S乙2=110×[(81−80)20.【答案】A型机器人模型的单价是200元，B型机器人模型的单价是120元；

购买5台A型机器人模型时，w取值最小，最小是2800元．

【解析】(1)设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是(x−80)元，

根据题意得：3x=5(x−80)，

解得：x=200，

∴x−80=200−80=120，

答：A型机器人模型的单价是200元，B型机器人模型的单价是120元；

(2)设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型(20−a)台，

根据题意得：20−a≤3a，

解得：a≥5，

∴5≤a<20，

根据题意得：w=200a+120(20−a)=80a+2400，

∵80>0，

∴w随着x的增大而增大，

∴a=5时，w最小，w最小=80×5+2400=2800，

答：购买5台A型机器人模型时，w取值最小，最小是2800元．

(1)设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是(x−80)元，根据购买3台A型机器人模型和购买5台B型机器人模型的费用相同，列出一元一次方程，解方程即可；

(2)设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型(20−a)台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，列出一元一次不等式，解得a≥5，则5≤a<20，再求出w与a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．

本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用、一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；21.【答案】5；

103．【解析】(1)由题知：∠FBC=2∠EBC=2×15=30°，

∴∠ABF=90−∠FBC=60°，

∴Rt△ABF中，∠AFB=30，FB=BC=10，

∴AB=12BF=5．

(2)由题知Rt△ABF中，AB=6，BF=BC=10，

∴AF=BF2−AB2=8，

∴DF=AD−AF=10−8=2，

设CE=x.则FE=x，DE=6−x

Rt△DEF中DF2+DE2=EF2

222.【答案】S1=x(0<x<6)，S2=−2x+12(0<x<6)；

成立，P(4,2)；

【解析】(1)S1=12×2×x=x(0<x<6)，

S2=12×4×(6−x)=−2x+12(0<x<6)；

(2)成立，理由如下：

当−2x+12=x时，x=4，

∴P(4,2)；

(3)4<x<6．

(1)根据三角形面积公式求解即可；

(2)23.【答案】t=52；

BP=8−2t(0≤t≤4)2t−8(4<t≤6)4t2−48t+160(6<t≤10)；

当t【解析】(1)∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=5，DC=AB=8，∠D=90°，

在Rt△ADE中，

∵AE=5，

∴DE=AE2−AD2=52−42=3，

∴CE=8−3=5，

∵四边形APCE是平行四边形，

∴AP=CE=5，

∴2t=5，

∴t=52；

(2)①当点P在AB边上时，0≤t≤4，

∵AP=2t，AB=8，

∴BP=AB−AP=8−2t；

②当点P在BC边上时，4<t≤6，

∵点P运动的距离为2t，

∴BP=2t−8；

③当点P在DC边上时，6<t≤10，如图，

则CP=2t−12，

∴BP=CP2+BC2=(2t−12)2+42=4t2−48t+160．

∴综上，BP=8−2t(0≤t≤4)2t−8(4<t≤6)4t2−48t+160(6<t≤10)；

(3)①当∠APE=90°时，如图，当点P位于AB边上，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∵∠APE=90°，

∴四边形APED为矩形，

∴AP=DE=3，

∴2t=3，

∴t=32(秒)；

②当∠APE=90°时，如图，当点P位于CD边上，

此时点P与点D重合，

∴2t=8+4+8=20，

∴t=10(秒)；

③当∠AEP=90°时，则点P位于BC边上，如图，

由(2)知：BP=2t−8，则CP=BC−BP=12−2t．

在Rt△ABP中，AP2=AB2+BP2=82+(2t−8)2，

在Rt△ECP中，EP2=CE2+CP2=52+(12−2t)2，

在Rt△AEP中，

∵AE2+EP2=AP2，

∴52+52+(12−2t)2=82+(2t−8)2，

∴t=338(24.【答案】y=−13x+23；

H(0,132【解析】(1)令y=0，则x=−3，即B(−3,0)，

∴OB=3=32OD，

∴OD=2，

∴D(2,0)，

令x=0，则y=4，即A(0,4)，

∵E(−2,a)在直线y=43x+4上，

∴E(−2,43)，

直线l：y=k+b分别过点E和点D，

∴y=−13x+23；

(2)作A′K⊥x轴交于K点，

∴△AOD≌△DKA′(AAS)，

∴DK=OA=4，AK=OD=2，

∴A(6,2)，

∵BD=DB′=5，∠BDB′=90°，

∴B′(2,5)，

∴直线A′B′：y=−34x+132，

∴H(0,132)；

(3)∵直线l2平移得直线l3，

设l3的解析式为y=−13x+b，

将点B(−3,0)代入，可得1+b=0，

解得b=−1，

∴y=−13x−1，

设B1(m,−13m−1)，直线A1B1与直线AB平行，

∴直线A1B1的解析式为y=43x−53m−1，

∴B1(m,−13m−1),F(54m+34,0),H(0,132)，

设G(n,−13n+23