2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（广西版）-第四节　随机事件与概率

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第四节随机事件与概率第十一章2026内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.强基础增分策略知识梳理1.事件的分类

确定事件必然事件Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件基本事件把只包含一个样本点的事件称为基本事件2.频率与概率一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用

来估计概率

.

从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小

频率fn(A)P(A)微点拨理解频数与频率需注意:(1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.(2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比微思考随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系?提示

随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.3.事件的关系与运算

事件的关系与运算含义符号表示包含事件A发生,则事件B一定发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,A∪B=Ω微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.微思考随机事件A,B互斥与对立有何区别与联系?提示

当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件.4.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有

;

②等可能性:每个样本点发生的可能性

.

判断一个试验是否是古典概型的关键点

有限个

相等

(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=

.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.

微思考试验:“种下一粒种子,观察它是否发芽”是古典概型吗?提示

不是.“发芽”与“不发芽”出现的可能性不相等.常用结论概率的几个基本性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.(

)(3)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.(

)√××2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为(

)A.0.62 B.0.38

C.0.7

D.0.68答案

B

解析

由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.3.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为

.

解析

设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.增素能精准突破考点一随机事件(多考向探究)考向1.随机事件之间关系的判断典例突破例1.(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(

)A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件(2)(多选)从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球,则(

)A.“都是红球”与“都是白球”是互斥事件B.“至少有1个红球”与“都是白球”是对立事件C.“恰有1个白球”与“恰有1个红球”是互斥事件D.“至少有1个红球”与“至少有1个白球”是互斥事件答案

(1)D

(2)AB

解析

(1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.(2)“都是红球”与“都是白球”不能同时发生,是互斥事件,A正确;“至少有1个红球”与“都是白球”不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,B正确;“恰有1个白球”与“恰有1个红球”能够同时发生(如1红1白),不是互斥事件,C错误;“至少有1个红球”与“至少有1个白球”能够同时发生(如1红1白),不是互斥事件,D错误.故选AB.方法总结判断互斥事件、对立事件的两种方法

对点训练1

(1)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有(

)A.2个小球不全为红球 B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球 D.2个小球都为绿球(2)(多选)同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”,事件B表示“红色骰子的点数是偶数”,事件C表示“两枚骰子的点数相同”,事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是(

)A.A与C互斥 B.B与D对立C.A与D相互独立 D.B与C相互独立答案

(1)BD

(2)AD

解析

(1)口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则样本空间Ω={(红,红),(绿,绿),(蓝,蓝),(红,蓝),(红,绿),(蓝,绿)},共6种情况.则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有2个小球恰有1个红球和2个小球都为绿球,故B,D正确;而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件,故A错误;2个小球至少有1个红球包括2个红色、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色,故C错误.故选BD.(2)对于选项A,因为两枚骰子的点数相同,所以两枚骰子的点数之和不能为5,所以A与C互斥,故A正确;对于选项B,当红色骰子的点数为偶数,蓝色骰子的点数为奇数时,B与D同时发生,因此这两个事件不对立,故B错误;对于考向2.随机事件的频率与概率典例突破例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解

(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为

=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a.方法总结计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤

对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解

(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25

℃,由表格数据知,最高气温低于25

℃的频率为

=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25

℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20

℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20

℃,由表格数据知,最高气温不低于20

℃的频率为

=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.考向3.互斥事件与对立事件的概率典例突破例3.经统计,在某银行一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解

记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.方法总结求复杂互斥事件概率的两种方法

对点训练3(1)人类通常有O,A,B,AB四种血型,某一血型的人能给哪些血型的人输血,是有严格规定的,输血法则可归结为4条:①X→X;②O→X;X→AB;④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O,A,B,AB中某种血型,箭头左边表示供血者,右边表示受血者).已知我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照规则,若受血者为A型血,则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为(

)A.0.27 B.0.31

C.0.42

D.0.69(2)厦门山海健康步道全长约23千米,起于邮轮码头,终于观音山梦幻沙滩,沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率为(

)解析

(1)当受血者为A型血时,供血者可以为A型或O型,即B,AB两种血型不能为供血者,我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P=24%+7%=31%=0.31.故选B.(2)从11个景点随机选取相邻的3个游览,共有9种情况,选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的,共有4种情况,则其概率P=,从11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率P=1-.故选C.考点二古典概型典例突破例4.(1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(

)(2)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(

)答案

(1)D

(2)D

(2)由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P=.方法总结古典概型中样本点个数的探求方法

对点训练4(1)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(

)(2)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为

.

解析(1)甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同考点三古典概型与统计的综合应用典例突破例5.某市围绕“贯彻新发展理念,建设节水型城市”这一主题,开展了形式多样、内容丰富的活动,进一步增强全民保护水资源,防治水污染,节约用水的意识.为了解活动开展成效,某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况,随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分,将得到的分数分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值,并估计这300名业主评分的中位数;(2)若先用分层随机抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人,然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈,求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率.解(1)由题意得,(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1,解得a=0.040.又第一组的频率为0.025×5=0.125,第二组的频率为0.035×5=0.175,第三组的频率为0.200,前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500,故这300名业主评分的中位数为85.(2)由频率分布直方图,知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数的比值为3∶2,采用分层随机抽样法抽取5人,评分在[90,95)的有3人,评分在[95,100]的有2人.设评分在[90,95)的3人分别为A1,A2,A3,评分在[95,100]的2人分别为B1,B2