2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（广西版）-高考解答题专项四　第2课时　求空间角

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第2课时求空间角高考解答题专项四2026考点一异面直线所成的角典例突破例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(1)证明:SC⊥AE;(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤

对点训练1如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE,AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)证明:BD∥平面CEF;(2)求异面直线BD与CE所成角的余弦值.(1)证明如图①,连接AC,交BD于点M,取CF的中点N,连接MN,NE.又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四边形MNED是平行四边形,所以BD∥NE.又因为BD⊄平面CEF,NE⊂平面CEF,所以BD∥平面CEF.图①

(2)解以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图②所示,图②

考点二直线与平面所成的角典例突破例2.

如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明:FN⊥AD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF为二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF为等边三角形.又N为BC的中点,∴FN⊥BC.又CF⊂平面BCF,CB⊂平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN⊂平面BCF,∴FN⊥DC.又DC⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD⊂平面ABCD,∴FN⊥AD.方法总结求直线与平面所成角的两种方法

对点训练2如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明

∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.

(方法2

空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.考点三二面角典例突破例3.(2024新高考Ⅱ,17)如图,在平面四边形ABCD中,AB=8,

(1)证明:EF⊥PD;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.则EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=4,所以EF=2,所以EF2+AE2=AF2,所以AE⊥EF,即PE⊥EF,DE⊥EF.又PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE,所以EF⊥平面PDE.又PD⊂平面PDE,所以EF⊥PD.(2)解如图,连接EC.由题可得DE=

,CD=3.因为∠ADC=90°,所以DE2+DC2=EC2,所以EC=6,所以PE2+CE2=PC2,所以PE⊥CE.又PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CE⊂平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.又ED⊂平面ABCD,所以PE⊥ED,即EF,ED,EP两两垂直.分别以EF,ED,EP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α,方法总结利用空间向量求二面角的两种常用方法

对点训练3(2024九省联考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)证明:C1O⊥平面ABCD;(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.(1)证明连接BC1,DC1.因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC,又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1.因为O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD.则C1C2=OC2+C1O2,所以C1O⊥OC,又OC∩BD=O,OC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.(2)解

因为在正方形ABCD中,AC⊥BD,又C1O⊥平面ABCD,所以以点O为坐标原