专题10锐角三角函数及其应用（45题）江西专用：2021~2025中考1年模拟数学真题专项试题

代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知ADⅡEF，AM，DN是太阳光线，AM^MN，DN丄MN，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量ME=FN=20.0m，(1)求“大碗”的口径AD的长；(1)连接CD，求证：DC丄BC；（2）如图，AB=AD，AC平分ÐBAD．求证：△ABC≌△ADC．留小数点后一位）枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直量得胳膊MN=28cm，（1）求ÐABC的度数；小红与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角ÐBAC和第二时刻光线与地面的夹角ÐADB相等，测得第一时刻的影长为转30°,则此时AB的长为cm．逆时针旋转120°,使得点B落在直线AB上的点E处．若DE的垂直平分线l经过△ABC一边的中点，则BD的长为．(1)如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角a，当AQPBE时，求a的度数．14．图1是总台蛇年春晚舞蹈《喜上枝头》的节目图片，节目汲取“喜鹊登枝王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼阁前，有一段风景优美的斜坡AB，斜坡AB的坡度滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角上DBE为60°,在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°.(1)求斜坡的高度AC；(2)求滕王阁的高度DE．和BC边上的高）践小组想测量和合塔的高度MN，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为30°,然后从点A处出发，沿着南偏西25°的方向行进了207m到达点B（A，B，N三点位17．图1为一折叠画板，图2为其侧面示意图，支撑点D可在BM上移动或固定，锁定杆EF的端点E也固定在AB上，另一端点F可在CD上移(2)如图3，小明绘画时为达到最佳舒适感，调节面板架AB与BM的夹角上ABM，当经过人工测量测得操控者A和纪念碑BC之间的距离AC为85.5m，点A,B,C,D都在同一平(1)求此时无人机D到纪念碑BC的距离（结果保留根号）形ABCD是矩形，主席台高AB为1米.上午某时刻，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点G处，测得上EGD=71.6°,阴影区域的宽度AG为4.0米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内.（结果精确到0.1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin71.6°≈0.95，(1)求点E距离地面BC的高度；(2)当太阳光线与地面夹角为71.6°时，若要AC所在直线的距离为0.8m．(1)求A，C两点间的距离．南昌之星摩天轮的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，顶端B的仰角为56°.同一水平线上．(1)如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角a，当AQPBE时，求a的度数．tan80°≈5.67）如图①,组长小红在点D处如图②,组长小军在C处测得……(2)请你选择一个合理的测量方案计算雕像的高度AB．25．坐落于赣州市阳明路与解放路交汇口测量标准钟顶部装饰层AB的高度测角仪、皮尺及1.6m长的标杆MN从标杆顶端M处测得B点的仰顶部装饰层AB落在地面上的影长EF=6.9m，此时标杆MN的影长NG=2.4m．(1)已知标准钟的总高度约为当前7层住宅楼的高，那么a的值应该是()(2)结合（1）中得到的数据，请你选择其中一个小组的方案，求出标准钟顶部装饰层AB的点A，C，E在同一直线上，BC是连接杆．经测量，DF=100cm,AD=AE=70cm，AB=AC=30cm,DE=42cm．(1)求连接杆BC的长度；sin72.54°≈0.9539，cos72.54°≈0.3000，tan72.54°≈3.1793）树干的点E处，使得A，C，E三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中(2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得上BAC=104所示，四边形AMND可绕点N旋转得到四边形AM1ND，设旋转角为a(a≥0°)，当C，N，M1三点共线时a最大．经测量BM=64mm，BC=42mm，CN=7(1)求MN的长度．(2)①当a为何值时，点M1到边BC的距离最大，并求出最大距离；@直接写出当a为何值时，点M1到边CN的距离等于42mm．考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）32．如图（1）是一款桌面可调节的学习桌，其侧面，其长度为40cm，桌面倾斜程度可以根据需求自由调节．桌面的倾斜角为最大倾斜角为60°,桌面平放时高度为DE为70cm．形ABCD是矩形，主席台高AB为1米．上午某时刻，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点F处，测得上EFD=58°,主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度AF为2.6阴影区域的宽度AG为4.0米，点A，B，C，D，(1)求点E距离地面BC的高度；(2)当太阳光线与地面夹角为71.6°时，若35．某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，E-A-B-C是水管，AE丄台面MN．A-D-F是开关，可整体绕点A上下旋转，且AD丄DF，此时点F¢到台面MN的距离（结果保留整数参36．如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为i=3:4的竖直高度的最大值为12m．以OB所在的水平方向为x轴，OA所在的竖直方向为y轴建立平(1)若上D-上C=11°,则ÐC的度数为_______；39．水碓（duì)是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成图．已知OE是垂直水平地面AF的支柱，碓杆AB可绕支点O在竖直平面内转动，且AB垂端点A接触到水平地面时，碓头顶点C抬升到最大高度．(2)当碓头顶点C抬升到最高时，求碓头点D到水平地面AF的距离（精确到0.1米，参考数(2)若110cm≤AB≤197cm，求展示支架的高（点A到BC的距离）的取值范围.边形ABFE为矩形，DG为法线（法线DG与液面EF互相垂直点P处玻璃棒PQ长度为30cm．(1)求漏斗口处点N到底座AD的高度；(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为53°,求此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离．43．小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形ABCD，(2)若矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°,求点F¢到BC的最大距离参厢板收起时，EF恰好与AB重合，点C，D重合均落在AB中点处，当厢板升起过程中，有务．图1是共享单车放在水平场地的实物图，图2是其示意图，其中AB(1)求证：AMⅡBC；(2)求横杆AB到地面的距离（结果精确到1cm【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正a如图2，过点C作CH丄AB的延长线于点H，则CH=BD，BH=CD，2．(1)“大碗”的口径AD的长为80.0m；(2)“大碗”的高度AM的长为40.0m．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问求得BH的长，据此求解即可．【详解】（1）解：∵ADⅡEF，AM^MN，DN丄MN，:四边形AMND是矩形，答：“大碗”的口径AD的长为80.0m；（2）解：延长EB交AD于点H，如图，∵矩形碗底BEFC，:EH丄AD，:四边形AMEH是矩形，答：“大碗”的高度AM的长为40.0m．(2)雕塑的高约为4.2米（2）过点E作EF^BC，交BC的延长线于点F，在Rt△BDC中，得出:DC丄BC；（2）如图所示，过点E作EF^BC，交BC的延长线于点F，在Rt△EBF中:EF=BE.sinB答：雕塑的高约为4.2米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，41）22）证明见解析:ÐBAC=ÐDAC，:△ABC≌△ADC(SAS)．【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，:EF∥DG，:四边形DEFG为平行四边形；:DG＝EF＝6.2，在Rt△APG中， :PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．【点睛】61）∠ABC的度数为113.6°2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见（2）延长PM交FG于点H，∠NMH=45°,在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得HM的长，比较即可判断．:MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，在Rt△BMK中，（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90°,在Rt△NMH中，2:枪身端点A与小红额头的距离为50-19.796-16.8-8.5=4.904≈4.9:枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．【分析】本题考查了解直角三角形，过点C作CH丄AB于点H，得到Rt△ACH，【详解】解：如图，过点C作CH丄AB于点H，:AB=6，:tanB==，【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．根据题意得：AC=6尺，BC=2.4尺，故答案为：15【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数．如图1，设等腰直角△MNQ的直【详解】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，则小正方形的边长为a，:MP=2a，AE3a3中小正方形的边长为x，则小等腰直角三角形的直角边长为x，进而求出BC=x,AC=2x，【详解】解：设七巧板排中小正方形的边长为x，则小等腰直角三角形的直角边长为x，:BC=x,AC=2x，AC=2AE=4cm，将三角尺绕点C顺时针旋转30°【详解】解：由刻度尺度数可知，BC=4cm，2:AC=2AE=4cm，2①当DE的垂直平分线l经过AB的中点F时，②当DE的垂直平分线l经过AC的中点F时，③当DE的垂直平分线l经过BC的中点F时，根据线段垂直平分线的性质和解直角三角形 ①当DE的垂直平分线l经过AB的中点F时，连接DF，2@当DE的垂直平分线l经过AC的中点F时，③当DE的垂直平分线l经过BC的中点F时:VEDF是等边三角形，:ED=EF=DF，综上所述，BD的长为2或或，故答案为：2或或．(2)101.4cm（2）过A点作AM丄BE，垂足为M，过C点作CN丄BE，垂足为N，根据AM平分BE，故a=30°;（2）解：如图：过A点作AM丄BE，垂足为M，过C点作CN丄BE，垂足为N，:AM平分BE，:在Rt△AEM中又QCN丄BE，:上BNC=90°,:上CBN=110°-30°=80°,:A到CD的距离为101.4cm；14．(1)点A到点B的垂直距离1.17m(2)道具“松枝”的高度5.31m（2）过点D作DJ丄BC的延长线于意得DJ=3.15m和EK=2.61m，结合DJ+E则点A到点B的垂直距离1.17m；（2）解：过点D作DJ丄BC的延长线于点J，过点D和点E作DK丄EK相:DJ=3.15m，:EK=2.61m，【分析】本题主要考查解直角三角形的应用.（2）过点A作AF丄DE，垂足为点F，则AC=EF=6米，AF=CE，在Rt△ABC中求得在RtVADF中求得DF=AF·tan45°,根据DF+EF=DE解x，即可知DE．∵斜坡AB的坡度答：斜坡的高度AC为6米；（2）解：如图，过点A作AF丄DE，垂足为点F，【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，仰角俯角．（1）过A点作ADTBC于D点，过C作CETAB于E点，如图1，根据正弦的定义得到用正切的定义计算出MN的长．【详解】解1）过A点作ADTBC于D点，过C作CETAB于E点，如图1，在Rt△ABD中:AD=c.sinB，在Rt△BCE中在Rt△AMN中，:tan上，答：和合塔的高度MN为126.2m．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）根据题意，EF丄AB，利用勾股定理求得CF的长，据此即可求得支撑架CD的长；（2）过点C作CH丄BD，在Rt△CBH和Rt△CDH中，分别利用三角函数的定义求得BH和DH的长，据此计算即可求解．（2）解：如图，过点C作CH丄BD，垂足为H，在Rt△CBH中，在Rt△CDH中，(2)19.27m（2）过点B作BF丄DE，垂足为F，则四边形BCEF是矩形，则BF≈33.54m答：此时无人机D到纪念碑BC的距离为．答：纪念碑BC的高度约为19.27m．(2)向下移动1.5米【分析】（1）过点E作EM丄BC于点M，交AD于点H，则四边形CDHM为（2）设改变后EH的长度为b米，同理，米，根据题意解得b=3.3，【详解】（1）解：过点E作EM丄BC于点M，交A设EH的长度为a米，:FG=AG-AF=4-2.6=1.4米，:FH-GH=FG=1.4米，:EM=EH+HM=4.8+1=5.8米．答：点E距离地面BC的高度约为5.8米；同理，米，:AG为4.5米，:点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．20．(1)A，C两点间的距离为2.52m；(2)点C到地面的距离为3.29m．【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应（2）过C作CM丄EF于点M，则求得上CEM=70°,又AB=DG=1m，【详解】（1）解：如图，连接AC，过B作BH丄AC于点H，:A，C两点间的距离为2.52m；（2）解：如图，过C作CM丄EF于点M，:上CEM=70°, ,:点C到地面的距离为3.29m．(2)160m明△BDH是等腰直角三角形．则把数值代入tan上解得x的值，即可作答．（2）解：如图，延长DF交AB于点H，:四边形AEFH是矩形，:△BDH是等腰直角三角形．设BH=xm，:DH=BH=xm，:DH-FH=DF，::AB=BH+AH=160m，:南昌之星摩天轮AB的高度约为160m．(2)99.4cm（2）过A点作AM丄BE，垂足为M，过C点作CN丄BE，垂足为N，根据AM平分BE，故a=30°;（2）解：如图：过A点作AM丄BE，垂足为M，过C点作CN丄BE，垂足为N，:AM平分BE，:在Rt△AEM中又QCN丄BE，:上BNC=90°,:上CBN=110°-30°=80°,:AM+NC=23+76.44=99.44(cm)，:A到CD的距离为99.4cm；(2)选择甲，3.6m【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够灵活运用直角三角形中边角的:BC=AB，答：雕像的高度AB为3.6米．三角形，分别求出AF,EF，即可得出结果．:上BAF=38°,:ABⅡDE，在Rt△ABF中，AB=2.37m，:CE=0.62m，在Rt△ECF中，CE=0.62m，答：AE（即雕塑的高度）的长为3.8m．:AP=DK．:DK=AP=AE-EP=3.8-0.98≈2.8(m)．【分析】（1）如图1，延长MD交AC于H，可得四边形MHCN是矩形，即得得BC=15m，如图2，过点B作BTⅡEF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，即（2）如图2，过点B作BTⅡEF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，即得【详解】（1）解：如图1，延长MD交AC于H，则上AHM=90°,四边形MHCN是矩形，如图2，过点B作BTⅡEF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，:BT=EF=6.9m，故选：B；如图2，过点B作BTⅡEF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，:BT=EF=6.9m，:标准钟顶部装饰层AB的高度为4.6m．26．(1)连接杆BC的长度为18cm；(2)广告展示牌最高点F到DE的距离约为95.4cm．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，（2）分别过点A，F作DE的垂线AG,FH，垂足分别为点G，H，求出DG=21(cm)，根答：连接杆BC的长度为18cm．（2）解：如图，分别过点A，F作DE的垂线AG,FH，垂足分别为点G，H，在Rt△ADG中，cos上答：广告展示牌最高点F到DE的距离约为95.4cm．(2)点E下降的高度约为0.8m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助（2）过E作EF丄D于点F，证明四边形EFDQ是矩形，得出EF=DQ=4m，分别求出:OC=AC.sina=3×sin60°=(m)，:BC=2OC=3m．答：遮蔽宽度BC为3m．（2）解：如图，过点E作EF丄AD于点F．∴四边形EFDQ是矩形，:EF=DQ=4m，在Rt△AFE中答：点E下降的高度约为0.8m．(2)①a=108.4°,最大距离为(78+14)mm；@0°或3（1）过点M作ME丄CD于点E，上ME 时，点M1到边BC的距离最大，即可求解；@当a=0°,即点M与点M1重合时，点M1到 边CN的距离等于42mm；过点M1作M1H丄CD交CD的延长线于点H，则M1H=42mm，:四边形BCEM是矩形，当C，N，M1三点共线时，点M1到边BC的距离最大，此时a=180°-7MNE=180°-71.6°=108.4°,:当a=0°,即点M与点M1重合时，点M1到边CN的距离等于42mm；过点M1作M1H丄CD交CD的延长线于点H，则M1H=42mm，综上所述，当a为0°或36.8°时，点M1到边CN的距离等于42mm．【分析】本题考查四边形内角和、含30度角直角三角形的性质、矩形的判定和性质和解直（2）过点B作BF丄DC，BE丄AD，垂足分别为F，E，得到四边形BFDE为矩形，再根据矩形的性质和30度角直角三角形的性质可得BF=3m，然后根据解直角三:ÐB=360°-ÐA-ÐC-ÐD=360°-60°-110°-90°=100°.:四边形BFDE为矩形，:BE=DF，BF=ED，:ÐBCF=70°,:ED=BF=AD-AE=3m，即BC的长约为3.2m；30．13.4m过点A作AM∥ED，再分别过点E，B作AM的垂线，垂足分别为点F，G，先【详解】解：如图，过点A作AM∥ED，再分别过点E，B作AM的垂线，垂足分别为点F，G:AE=12m，AB=6m:BG=AB.cos上ABG=AB.cos66:点B到ED的距离为BG+EF=2.442+10.968≈13.4m．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点A作AH丄MN于点H，MN=MH+HN即可求解．【详解】解：如图，过点A作AH丄MN于点H，则四边形ABNH是矩形，在Rt△AMH中，答：路灯顶部到地面的距离MN约为4.8m．(2)83.6cm线段和求出点A到地面的高度．:点A运动的路径长为)．（2）解：过点A作AF丄BC于点F，:在Rt△ABF中，sin上上ABC=20°,:点A到地面的高度为AF+DE=13.6+70=83.6(cm)．33．(1)点A到地面的距离为10.9cm得出CM的值，进而可得DM的值；（2）过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，本题考查了解直角三角形的应用、含30°则在Rt△MCB中:点A到地面的距离为10.9cm；（2）解：如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，34．(1)点E距离地面BC的高度约为5.8米；(2)点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造图（1）过点E作EM丄BC于点M，交AD于点H，设EH的长度为a米，解Rt△FHE得到解Rt△GHE中得到，而FG=1.4米，则FH-GH=1.4米，据此列式【详解】（1）解：过点E作EM丄BC于点M，交A设EH的长度为a米，:FG=AG-AF=4-2.6=1.4米，:FH-GH=FG=1.4米，:EM=EH+HM=4.8+1=5.8米．答：点E距离地面BC的高度约为5.8米；米，设改变后EH的长度为b米，同理，米，:AG为4.5米，:点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．(2)点F¢到台面MN的距离约为24cm:AF的长度约为12cm；:AE=14cm，:点F¢到台面MN的距离约为24cm．是直线AB和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点C坐标．:5t=15，:点A的坐标为(0,9)，点B的坐标为(12,0)．:水柱所在抛物线的函数表达式为将点A(0,9)，点B(12,0)代入得:直线AB的解析式为:点C的横坐标为，:点C距出水口的水平距离为m．(2)点D到BC的距离约为1.9m（2）过点D分别作DE丄AB于点E,DF丄BC于点F，证明四边形DEBF是矩形，得出（2）解：如图，过点D分别作DE丄AB