专题2.1简单事件的概率 2025~2026学年九年级数学上册（浙教版）

个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，2．下列事件是必然事件的是()（3）1+2=3；：（(2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度；一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是()饼干中质量超过ag的饼干有袋．在数学中，我们把把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率发生的概率记为P(A)．介于0与1之间，一般用P表示．事件发生的概率记为P(A)．如果事件的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件Am(m<n)，那么事件A发生的概率为8．下图表示各事件发生的概率，其中随机事件的个数是()可能性很大，但不一定发生”．该事件是填“甲、乙或丙”）10．一个不透明的袋中有5个球，分别标有1，王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是()个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾得一支卡皮巴拉铅笔．小明购此新商品花了72元．14．如图，在3×2的正方形网格中，线段AB的端点在格点上．在其它格点中任选一点C，使△ABC是等腰三角形的概率为()与双曲线没有交点的概率为．(2)能否通过只改变盒子中红球的数量，使个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，一个小球在平行四边形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的概率是()P(2)搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率.上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指(3)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6=0的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6=0的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．26．有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、7cm、9cm成一个三角形的概率是()27．“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、出相同手势的概率为．包含其中的结果数为m(m<n)，那么事件A发生的概率．n0.5930.6040.599(1)将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白率是()过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在75%左右，则箱子里棋子总数可能数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，33．甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上35．“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是()36．彤彤抛五次硬币，3次正面朝上，2次反面朝上，她抛第6次时，下面说法正确的是哪一个？() 在△BOC内的概率是()2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有()率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是()41．AI技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“DeepSeek”“腾讯元宝”“文小言”四个AI软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是()则定点P在所选角内部的概率是()48．若有一多项式为a2+ka+9，其中k的值从-3，-6，6，9中随机抽取一个，那么正好“射中9环以上”的次数41“射中9环以上”的频率根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率为（精确到爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大角边长为b，若ab=24cm2，大正方形的面积为60cm2012mn数学的重要著作（依次记为A，B，C为了让学生了解更多的数学文化，某中学开展了后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？55．下列为随机事件的是()A．通常加热到100℃时，水沸腾B．C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．无论a为何实数，a2+1结果一定为正数蓝色球个数最接近()随机向此正方形网格中投针，则落在△ABC内部的概率是()在一起，姐姐再随机抽取一张，姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是()厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为()60．有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是()0.600A．0.50B．0.59C．0.62D．0这一试验结果的可能是()ìx+8<4x-1lx>mìx+8<4x-1lx>mxmxmx-11-x于点F，连接DE若EF:AE=1:3，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸68．如图所示的正五边形ABCDE的每个顶点为一个花坛，已知花坛A,B分别种植了凌霄、三角梅，在花坛C,D,E中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为2．），“C．手打牛肉丸”的概率，部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了(1)本次随机抽取的学生共________人，并把(3)假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同(1)a=___________；与x轴交点A的坐标为___________，与y轴交点B的坐标为___________；(2)过点B作线段BC丄AB，且BC=AB，求直线AC的75．在下列事件中，不可能事件是().....别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是()概率为()个条件中任意选取两个，能使。ABCD是正方形的概率为()抛掷次数n“正面朝上”的次数m“正面朝上”的0.58则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为()A．0.52B．0.55C．0.58\3\3中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则…ABC…D…(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球完善的统计图表A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格等级频数AmBCnD6(1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中m=______，n=______；91．如图，曲线过点P(4,t)．(2)直线l:y=-x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；），题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）93．九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A,B数字外，都相同班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x=y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，(2)求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P．致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表．A5B4CmDE9(1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中A的圆心角度数是__(2)若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定当n=7或8或9时，一定能摸到红球、白球、黑球至335124）【详解】解1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件；综上所述：必然事件有（3不可能事件有（5随机事件有（124故答案为35124【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及事件发生的可能性大小，正确理解题意、所以选修琵琶的人数为200-50-60-30-20=40人，所以扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度；【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，熟练掌握简单事件发生的可能性大小的计算，【详解】解:设白球有x个．取到白球的可能性为，取到红球的可能性为．只需满足x>4．根据众数的定义即可得到a=49，根据众数的定义即可得到抽到质量为49g的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过ag的饼干的数量．:a=49；:抽到质量为49g的可能性最大，:不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1．理由是：概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试事件B和事件C是随机事件，:对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．10．(1)摸到1号球或2号球或3号球或4号球或5号球判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件答：会出现的可能结果有：摸到1号球或2号球或3号球或4号球或5号球；:每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是，:①抽到“K”的概率为；【点睛】此题考查了概率大小，解题的关键果数．P(必然事件)=1；P(不可能事件）=0．【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用，求解随机事件的概率，如图，取格点D,E，可得再进一步求解即可.【详解】解：如图，取格点D,E，:△ABD，△AEB为等腰三角形；:在其它格点中任选一点C，使△ABC是等腰三角形的概率为； b2-4ac<0，然后找到m的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．整理得：x2-mx+2=0，:直线y=-x+m与双曲线没有交点，:x2-mx+2=0无实数根，:Δ=b2-4ac=m2-4×1×2<0，:-2<m<2，:在-3，-2，-1，0，1，2，3这7个数中满足-2<m<2的有5个，即-2，-1，【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式列解得：x=4，:盒子中白球的个数为4；解得：y=4，:盒子还要增加4个红球．【分析】本题考查了概率公式的应用，首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，:袋中白球的个数为9个．出从袋中任意摸出一个球的所有等可能的结果，再找出从中任意摸出一个球是白球的结果，:从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，:大圆面积是小圆面积的4倍，:阴影部分面积是小圆面积的3倍，S△ADO=S△CDO=S△BOC=S△ABO=S平行四边形ABCD，然后证明△EOD≌△FOB(ASA)，则有S△EOD=S△FOB，故S阴影=S△AOE+S△FOB=:OA=OC，OB=OD，ADⅡBC，:△EOD≌△FOB(ASA)，:S△EOD=S△FOB，:S阴影=S△AOE+S△FOB=S△AOE+S△EOD=S△AOD=S平行四边形ABCD，:它落在阴影部分的概率是，故选：A．16【分析】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中a区域的圆心角为180。，可求出P1，:OA=OC，:OC=OD=CD，:△OCD是等边三角形，【分析】本题主要考查了列举法求解概率，概率公式，正确列出所有情:搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为，:恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是，状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情解方程x2-5x+6=0得：x1=2,x2=3，其中两个数字都是方程x2-5x+6=0的解有4次，两个数字都不是方程x2-5x+6=0的解布布:他们出相同手势的概率为．故答案为：0.6．【分析】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，（2）利用频率估计概率得到随机摸出一个白球的概率，则根据概率公式得到,然后解关于m的方程即可．:随机摸出一个白球的概率=，【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，根据树状图求出共有12种等可能的情D，:恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为．由题意可知白棋子的概率为75%，可得黑棋子的概率为1-75%=25%，再根据黑棋子的数量:摸出白棋子的概率为75%，:摸出黑棋子的概率为1-75%=25%，:箱子里棋子总数可能是20÷25%=80，【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键．由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；:每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上，【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率ABCD的面积之比．先根据平行四边形的性质得出S△AOB=S△COB=S△AOD=S△COD，求出【详解】解：:在平行四边形。ABCD中，S△AOB=S△COB=S△AOD=S△COD，:△BOC的面积占。ABCD面积的，得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案．【详解】解：:摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，:摸到印有艾片的卡片的概率为，:5÷0.2=25，:口袋中印有白果的卡片数约是25-5=20（张）【分析】本题主要考查了求概率，根据概率的基本公式，计算【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计7AOC,7COD,7BOD,7AOD,7BOC,7AOB共6个角，其中定点P在角内部的有7COD,7AOD,7BOC,7AOB共4个，再利用概率公式计算即可．【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是OB,OD,OC和OA，可以构成6个不同的角：7AOC,7COD,7BOD,7AOD,7BOC,7AOB，其中定点P在角内部的有4个：7COD,7AOD,7BOC,7AOB，【分析】根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，【详解】解：每一次正面朝上的概率都为，【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白:③中白球的个数最多:“摸到白球”的可能性更大的布袋是③.:任取三条线段能组成三角形的概率是，【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据题意列出【详解】解：设袋中白棋子有x个，则解得x=15．故答案为：15【详解】解：若a2+ka+9为完全平方式，则k=±6，即k的值从-3，-6，6，9中随机抽取一个，那么正好让这个多项式成为完全平方式的概率49．0.8【详解】解：根据表格数据，射击数据较多时，“射中9环以上”的频率稳定在0.81，:估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．故答案为：0.8．【详解】解：:ab=24cm2，大正方形的面积为60cm2，:阴影部分的面积为:飞镖落在阴影小正方形内的概率是:m=12，:n=24-12-12=0．:小红选择《九章算术》的概率是，ABCA(A,A)(A,B)B(B,A)(B,B)C(C,A):共有9种等可能结果，其中小红和小亮同时选中同一本数学著作的有(A,A),(B,B),(C,C)，:P（小红和小亮同时选中同一本数学著作）【分析】本题考查了用概率公式求概率，熟练掌握概率公42:转出的数字不大于5的概率==；:P（能构成等腰三角形）:P（构成的三角形的周长小于13:这个游戏规则对双方公平．D．无论实数a取何值，a2+1始终为正数，属于必然事件，不是随机事件．试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸40%左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率．先求出三角形ABC的面积，然后用概率公式计算．三角形ABC的面积【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．21所以抽取的公园名称相同的概率==.42【详解】解：设上马为A，中马为B，下马为C，所以租到是A类即租到上马的概率为．【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是:A选项摸出红球可能性最大，根据表格中的数据可知，针尖朝上频率在0.62左右波动，据此可得出结论．:根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”的概率约为0.62．到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同【详解】解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于:能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，:两个人出生月份相同的概率为1，红球，根据摸到一个球是红球的概率是建立方程，解方程即可得．解得x=2，方程解的情况求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组解集的情况可得ìx+8<4x-1①:不等式组的解集为x>3，:m≤3，解分式方程，得x=2-m，:分式方程有解，:x≠1，:m≠1，:m的取值范围为m≤3且m≠1，【详解】解：∵AD为三角形纸板ABC的角平分线，∵AE=AC,AD=AD，:△BFE是直角三角形，:BE=2EF，:AE=3x:S△ABC=4m，3角梅，则列举C、D、E种植凤仙花、木槿、月季的可能结果，然后用概率公式即可求解，【详解】解：C,D,E三个花坛种植花卉的等可能结果有6种，按顺序分别为:P（凤仙花与木槿两种花卉相邻解得：x=14.4，:估计该银杏叶的面积为14.4cm2，234245635674678:甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，:这个游戏不公平，(2)放入了5个白球【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是（2）设放入了x个白球，则此时共有(x+3)个白球，(9-x)个红球，根据概率关系列出方:取出白球的概率为；则此时共有(x+3)个白球，(9-x)个红球，解得x=5，:放入了5个白球．，．A等级人数为50-20-17-8=5（人男男男女女男男男女女:抽取的同学恰好是一男一女的概率为．74．(1)-2，(2,0)，(0,4)（2）分C在直线AB的左侧和右侧讨论，然后根据全等:a=-2，:函数解析式为y=-2x+4，:A(2,0)，:B(0,4)，故答案为：-2，(2,0)，(0,4)；:△BCD≌△ABO，:直线AC解析式为y=3x-6；:△BCD≌△ABO，:DO=OB-DB=2，:C(-4,2)，:直线AC解析式为综上，直线AC解析式为y=3x-6或定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的:数字1有3个，数字2有2个，则数字3只有1个红黄红黄:两次摸出的都是红球的概率为．根据从①AC=BD，②AC^BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、解：从①AC=BD，②AC^BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共:。ABCD，从①AC=BD，②AC^BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，为0.55．中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=．:任意摸出一个球，摸到红球的概率是，【详解】解：由题意，得式和一元二次方程的定义可得，则b2≥4a且a≠0，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到b2≥4a且a≠0的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．:b2≥4a且a≠0，-112-1(-1,1)(-1,2)1(2(2,-1)由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足b