第2章投影基础

第二章投影基础2.1投影法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影1、要求了解投影法的基本概念和平行投影的基本性质，熟练掌握投影面体系，掌握三面投影图中点的投影特点和点的投影与坐标的关系，熟练掌握根据物体上点的两个投影求作第三投影的方法；2、熟练掌握各种位置的直线、平面的投影特性，并能根据投影图判别其空间位置；3、掌握直线上点的投影特性和作图方法，了解两直线相交、交叉位置的三面投影特点，掌握两平行直线的投影特性及其三面投影的特点，掌握根据物体上直线、平面的两个投影求作其第三个投影的方法。教学目的及教学要求

投影法就是投射线通过空间物体，向选定的面投射，并在该平面上得到图形的方法。2.1投影法投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。投射线与投影面倾斜的平行投影法。画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图投射线相互平行的投影法投射线投射中心物体投影面投影2.1.1投影法分类中心投影法投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变思考:1、在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?2、当物体沿投影面的法线方向某著名企业时,其投影大小变不变?

（1）立体感强——中心投影法富有真实感的效果，在建筑设计领域通常采用中心投影法绘制建筑物的透视图。（2）度量性较差——投影的大小随着投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离的变化而变化，且作图复杂。发出投射线的点即使投射中心。化工与机械专业一般不用此方法绘图。中心投影法的投影特性2物体的投影有否可能反映某一个面的实形?思考:1沿投影方向某著名企业物体,其正投影的大小变不变?投影体ACB投影面abc正投影投射线垂直于投影面投影体ACB投影面abc斜投影投射线倾斜于投影面平行投影法（2）直观性较差

斜投影法在机械工程方面用于绘制立体，工程图样多数采用正投影法绘制，以后不作特殊说明，“投影”即指“正投影”。正投影特性

（1）度量性较好——投影的大小与物体、投影面之间的相对距离无关。能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且作图简便，故广泛用于工程图。真实性abABABCabcCDc(d)ABCa(b)cBAabABCabc

积聚性

类似性2.1.2正投影法的基本性质从属性abAB

平行性

定比性K●●kabABdCDabABK●●kK在AB上，则k在ab上AB∥CD，则ab∥cdAK:KB=ak:kbc第二章投影基础2.1投影法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影Pb

●●AP

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。点在一个投影面上的投影a

●解决办法？2.2点的投影采用多面投影2.2.1三投影面体系的建立

三面投影体系：由三个互相垂直的平面组成的投影面体系称为三投影面体系。这三个平面将空间分为八个分角，我国采用第一角投影。V面正投影面H面水平投影面W面侧投影面YXZOWHVoXa

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●ZY2.2.2点在三投影面体系中的投影WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右后翻向下翻不动aaZaa

yHayWaXYYO

●●az●x投影面展开①点的任意两面投影的连线必垂直于投影轴。②点的投影到投影轴的距离，等于空间点到对应投影面的距离。●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay2.2.3点的投影规律③

点的三面投影与点的空间坐标具有对应的关系。aaZaa

yHayWaXYHYWO

●●az●x450例1：已知点的两个投影，求第三投影。●●a

aax●a

●a

aaxazaz解法1:解法2:a

●通过作45°线使a

az=aax用圆规直接量取a

az=aax●XZYWO2015axazaYH24XZYWOaxazaYHaa

450XZYWOaxazaYHaa

450a

aYW(1)(2)例2：已知点Ａ（20，15，24），求点Ａ的三面投影。a'abb'c'c''b''ca''zxYW

YH0dd'd''例3：已知特殊点的两投影，求其第三投影。2.2.4两点的相对位置和重影点根据X坐标值的大小判断两点的左右位置；根据Y坐标值的大小判断两点的前后位置。根据Z坐标值的大小判断两点的上下位置；1、两点的相对位置a

a

aXZYWYHOb

bb

985例1已知A点在B点之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A点的投影。

若点A在点B正上方或正下方时，两点的H面投影重合，点A和点B称为对H面投影的重影点。同理，分别有对V面投影的重影点，对W面投影的重影点。a(b)2、重影点H面重影，被挡住的投影加()重影点及可见性判别

●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。正上（下）方●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。正前（后）方

●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。正左（右）方结论：第二章投影基础2.1投影法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.3直线的投影直线的投影图画法：

直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。直线投影图中，一般规定直线对H、V、W面的倾角分别用α，β，γ表示。直线分类：投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）统称特殊位置直线垂直于某一投影面一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线（1）投影面平行线名称直观图投影图投影特性水平线1、水平投影反映实长，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为γ。2、正面投影平行X轴。3、侧面投影平行Y轴。正平线1、正面投影反映实长，与X轴夹角为α，与Z轴夹角为γ。2、水平投影平行X轴。3、侧面投影平行Z轴。侧平线1、侧面投影反映实长，与Y轴夹角为α，与Z轴夹角为β。2、正面投影平行Z轴。3、水平投影平行Y轴。2.3.1直线的投影规律1．在所平行的投影面上的投影反应直线的实长，投影与投影轴的夹角分必然反映直线对另两个投影面的倾角。2．直线在另两个投影面上的投影垂直于同一条投影轴，且长度比实际短。投影面平行线的投影特性（2）投影面垂直线名

称直观图投影图投影特性铅垂线1、水平投影积聚为一点。2、正面投影和侧面投影都平行于Z轴，并反映实长。正垂线1、正面投影积聚为一点。2、水平投影和侧面投影都平行于Y轴，并反映实长。侧垂线1、侧面投影积聚为一点。2、正面投影和水平投影都平行于X轴，并反映实长。投影面垂直线的投影特性1．直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。2．直线在另外两个投影面上的投影平行于同一条投影轴，且反映实际长度。（3）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜，在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角。d′C′dddCAB为水平线CD为侧平线例1：判断下列直线的空间位置2.3.2直线上的点（1）从属性：点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之若一个点的各个投影都在直线的同名投影上，则该点必定在直线上。（2）定比性：若点属于直线，则点分线段之比，投影之后保持不变。AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a″c″：c″b″。例1：已知侧平线ＡＢ的正面投影、水平投影及属于ＡＢ的点Ｃ的Ｖ面投影cˊ，求Ｃ点的Ｈ面投影c。解法1、利用第三面投影定出c，如上图（a）所示解法2、利用定比关系求出c，如上图（b）所示a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法是因a

k:kb≠ak:kb

故点K不在AB上。例2：判断点K是否在线段AB上。2.3.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

x例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①对于两条一般位置直线abcdc

a

b

d

x例2：判断图中两条直线是否平行。

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。②特殊位置直线求出侧面投影如何判断？cbadd

b

a

c

b

d

c

a

判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

kk

交点是两直线的共有点k

kK2.两直线相交●●cabb

a

c

d

k

kd先作正面投影思考：如果给出CD的长度，解题过程有何变化？例1：过C点作水平线CD与AB相交。12●●d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。

“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●1

、2

是Ｖ面的重影点，3、4是H面的重影点。3

4

●●AB与CD两直线相交吗投影特性：结论：AB与CD两直线不相交。3.两直线交叉d

abca

b

c

●●d.AB为正平线,正面投影反映直角。例1：过C点作直线与AB垂直相交。c'd'aca

b

e'dbef'f例2：过点E作直线EF（ef，e'f'）与直线CD平行且与直线AB相交。第二章投影基础2.1投影法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.4平面的投影2.4.1平面的表示法（1）不属于同一直线的三点（2）直线和线外的一点（3）相交两直线（4）平行两直线（5）任意平面图形平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面真实性类似性积聚性平面的投影特性：平面分类：投影面垂直面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面正垂面（垂面于Ｖ面）侧垂面（垂面于Ｗ面）铅垂面（垂面于Ｈ面）统称特殊位置平面投影面平行面正平面（平行于Ｖ面）侧平面（平行于Ｗ面）水平面（平行于Ｈ面）一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面2.4.2各种位置平面的投影规律名

称直观图投影图投影特性水平面1、水平投影反映实形。2、正面投影积聚成平行于X轴的直线。3、侧面投影积聚成平行于Y轴的直线。正平面1、正面投影反映实形。2、水平投影积聚成平行于X轴的直线。3、侧面投影积聚成平行于Z轴的直线。侧平面1、侧面投影反映实形。2、正面投影积聚成平行于Z轴的直线。3、水平投影积聚成平行于Y轴的直线。（1）投影面平行面投影面平行面的投影特性

平面在所平行的投影面上的投影反映实形；

其余两投影积聚为直线，且投影垂直于同一条投影轴。（2）投影面垂直面名

称直观图投影图投影特性铅垂面1、水平投影积聚成直线，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为γ。2、正面投影和侧面投影具有类似性。正垂面1、正面投影积聚成直线，与X轴夹角为α，与Z轴夹角为γ。2、水平投影和侧面投影具有类似性。侧垂面1、侧面投影积聚成直线，与Y轴夹角为α，与Z轴夹角为β。2、正面投影和水平投影具有类似性。

平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，该直线与投影轴的夹角，分别反映该平面与相应投影面的倾角。

在另外两投影面上的投影仍为原形的类似形，但比实形小；投影面垂直面的投影特性（3）一般位置平面

一般位置平面与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实形，而是类似形。（a）直观图

（b）投影图2.4.3平面上的点和直线

如果点在平面内的任一条直线上，则点一定在该平面上。如果点在平面上，则该点必在这个平面的一条直线上。

（1）面上的点ada

d

b

c

bc例1：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一：bckada

d

b

c

k

解法二：d

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●面上取点的方法首先面上取线②●abca

b

k

c

k●d如果一直线通过这个平面上的两点，则该直线一定在已知平面上。如果一直线经过平面上的一点，且平行于平面上的另一直线，则该直线一定在已知平面上。

（2）平面上的直线有无数解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：根据定理一有多少解根据定理二面上取点的方法n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。2.4.4直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交（垂直）。一、平行问题直线与平面平行

平面与平面平行包括⒈直线与平面平行定理：

若一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？正平线c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef二、相交问题⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。直线与平面相交平面与平面相交包括abcmnc

n

b

a

m

（1）平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)作图k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac（2）直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看