综合解析人教版8年级数学下册《平行四边形》综合测试试卷（含答案详解）

人教版8年级数学下册《平行四边形》综合测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD折叠后，A点的对应点落在CD边上，EF为折痕，A和EF交于G点，当AG+BG取最小值时，此时EF的值为（）A． B．3 C．2 D．52、下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形3、如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．64、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°5、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，将长方形ABCD按图中方式折叠，其中EF、EC为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知∠BEC＝65°，那么∠AEF的度数是_____．2、如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若，则GE的长为__________．3、如图，在正方形ABCD中，，E是AB的中点，P是AD上任意一点，连接PE，PC，若是等腰三角形，则AP的长可能是______．4、如图，在正方形ABCD中，点O在内，，则的度数为______．5、如图，△ABC中，AC=BC=3，AB=2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．（1）求证：；（2）若，，求BG的长．2、如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．（1）是________三角形；（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．3、如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）求证：CF＝BG；（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．4、已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．

5、如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】过点作于，由翻折的性质知点为的中点，则为的中位线，可知在上运动，当取最小值时，此时与重合，利用勾股定理和相似求出的长即可解决问题．【详解】解：过点作于，将矩形折叠后，点的对应点落在边上，点为的中点，为的中位线，在上运动，在上运动，当取最小值时，此时与重合，，，，，，，，，在和中，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明在上运动．2、D【解析】【分析】根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意；D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解本题的关键．3、C【解析】【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=AB=4，连接BP，依据正方形的对称性可知PB=PD，则PE+PD=PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长．【详解】解：连接BP．∵四边形ABCD为正方形，面积为16，∴正方形的边长为4．∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=4．∵四边形ABCD为正方形，∴△ABP与△ADP关于AC对称．∴BP=DP．∴PE+PD=PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值=BE=4．故选：C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、正方形的性质和轴对称—最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．4、A【解析】【分析】可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．【详解】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠性质可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝10°，∴∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB＝90°，∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，∴α+β＝30°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，＝10°+α+β，＝10°+30°，＝40°．则∠EAF的度数为40°．故选：A．【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．5、B【解析】【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．二、填空题1、25°【解析】【分析】利用翻折变换的性质即可解决．【详解】解：由折叠可知，∠EF＝∠AEF，∠EC＝∠BEC＝65°，∵∠EF+∠AEF+∠EC+∠BEC＝180°，∴∠EF+∠AEF＝50°，∴∠AEF＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2、##【解析】【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF==13，S△ABF=AB•AF=BF•AH，∴12×5=13AH，∴AH=，∴AG=2AH=，∵AE=BF=13，∴GE=AE-AG=13-=，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．3、或或【解析】【分析】分三种情况：当时，当时，当时，利用等腰三角形的性质和正方形的性质进行求解即可．【详解】解：如图1，当时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，BC=DC，∴，∴则，∵E是AB的中点，∴∴；如图2．当点P与点D重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠A=∠B=90°，∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴即PE=CE，是等腰三角形．∴；如图3．当时，设，则，在直角△PDC中，，在直角△AEP中，，则．解得，即．综上所述，AP的长可能是1或2或．故答案为：1或2或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质和正方形的性质．4、135°【解析】【分析】先根据正方形的性质得到∠OAC+∠OAD=45°，再由∠OAC=∠ODA，推出∠ODA+∠OAD=45°，即可利用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD=45°，∴∠OAC+∠OAD=45°，又∵∠OAC=∠ODA，∴∠ODA+∠OAD=45°，∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=135°，故答案为：135°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质．5、##【解析】【分析】首先证明四边四边形ABCD是菱形，作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′＋P′F最小，求出ME即可．【详解】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′＋P′F最小，此时P′E′＋P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝1，由勾股定理可得，CH＝，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE＋PF最小为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题1、（1）见解析；（2）【分析】（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；（2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长【详解】（1）∵BF⊥DE∴∠BFE=90°∵四边形ABCD是正方形∴∠DCE=90°,∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，∴∠CBG=∠CDE∴△BCG≌△DCE∴CG=CE（2）∵，且，，∴∵CG=CE∴，在中，【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．2、（1）等边；（2）见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，即可证明△OBC是等边三角形；

（2）先证明，即可利用SAS证明，得到；（3）先证明，即可利用SAS证明，得到．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，O是AB的中点，∴，∴△OBC是等边三角形，故答案为：等边；（2）由（1）可知，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，；（3）成立，证明：由（1）可知，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由余角的性质可得∠3=∠7=∠4，可得CE=CF，可得△CEF为等腰三角形；

（2）过E作EM∥BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，由“AAS”可证△CAE≌△MAE，推出CE=EM，由三角形的面积关系可求GB的长；

（3）证明△CEF是等边三角形，求出BC，可得结论．【详解】（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，∵EG∥AB，∴四边形EMBG是平行四边形，∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠7，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形；（2）证明：过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，∴BG=EM，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，∵在△CAE和△MAE中，∴△CAE≌△MAE（AAS），∴CE＝EM，∵CE＝CF，EM＝BG，∴CF＝BG．（3）∵CD⊥AB，EG∥AB，∴EG⊥CD，∴∠CEG＝90°，∵CF＝FG，∴EF＝CF＝FG，∵CE＝CF，∴CE＝CF＝EF＝1，∴△CEF是等边三角形，∴∠ECF＝60°，∴BC＝3，∠B＝30°，∴∴Rt△ABC中∴解得．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合