专题62平面向量的运算（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

专题6.2平面向量的运算【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1向量的加减运算】 3【题型2平面向量的混合运算】 3【题型3由平面向量的线性运算求参数】 4【题型4向量共线定理的应用】 5【题型5根据向量关系判断三角形的心】 5【题型6向量线性运算的几何应用】 6【知识点1平面向量的线性运算】1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法则前提已知非零向量,，在平面内任取一点A.作法作，连接AC.结论向量叫做与的和，记作，即.图形向量

加法

的平

行四

边形

法则前提已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O.作法作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.结论以O为起点的向量就是向量与的和，即.图形规定对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即=+().求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则==.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向量的数乘的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；

②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特别地，我们有()=()=()，()=.

(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有()=.【题型1向量的加减运算】【例1】（2023·云南·高二学业考试）化简AC−BD+CD−AB得（

）A．AB B．DA C．BC D．0【变式11】（2023·全国·高一专题练习）OM−A．MB B．BA C．AB D．BM【变式12】（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图所示，在△ABC中，BD=6DC，则AD=

A．17AB+C．16AB+【变式13】（2023上·广西南宁·高二校考开学考试）下列各式中，化简后不是零向量的是（

）A．AB+BC+C．OA−OD+【题型2平面向量的混合运算】【例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简6a−bA．6a+2bC．−2a−14b【变式21】（2023上·北京·高二校考阶段练习）设i,j,k是两两不共线的向量，且向量a=−i+2A．11i−2j+5k B．−11i【变式22】（2023下·浙江·高一校联考阶段练习）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则2MA+3MBA．AB B．BC C．CD D．5【变式23】（2023·全国·高一专题练习）若a=2b+cA．−a B．C．−c 【题型3由平面向量的线性运算求参数】【例3】（2023·山东·校联考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yA．83 B．3 C．103 【变式31】（2022·高一课时练习）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若DA=2BD,3CD=A．2 B．１C．2 D．－1【变式32】（2022·河南·校联考模拟预测）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且BD=2BE−BA，若mCEA．7 B．6 C．3 D．2【变式33】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λAB+μADλ,μ∈A．−56 B．−16 C．【知识点2向量共线定理】1．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.

(2)向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=()，由于,不共线，则解方程组即可.【题型4向量共线定理的应用】【例4】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量a,b不共线，AB=a+3b，A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【变式41】（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2e2，BC=−e1+λeA．12 B．2 C．4 D．【变式42】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM,AC=n

A．2 B．3 C．92 【变式43】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2BD，CE=2EA，A．AD+BE+CF与BC反向平行 B．C．3BE+3CF−BC与CA反向平行 【题型5根据向量关系判断三角形的心】【例5】（2022·高一课时练习）已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的三边为a,b,c，若aOA→+bOB→+cOCA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式51】（2023·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心【变式52】（2023下·上海奉贤·高一校考期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则A．6 B．83 C．127 【变式53】（2022上·山西太原·高三统考期中）已知点O,P在△ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0，PA=A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心【题型6向量线性运算的几何应用】【例6】（2023·全国·高二课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．

(1)AG+(2)12(3)13【变式61】（2023·全国·高一随堂练习）在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：MN=【变式62】（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形