专题43对数（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

专题4.3对数【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1对数的概念的理解】 2【题型2指数式与对数式的互化】 2【题型3对数的运算性质的应用】 3【题型4换底公式的应用】 4【题型5指、对数方程的求解】 4【题型6带附加条件的指、对数问题】 4【题型7对数的实际应用】 6【知识点1对数的概念】1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.

用图表示为：2．常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数简记作lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

≈2.71828简记作lnN【题型1对数的概念的理解】【例1】（2022春·江苏南京·高一校考阶段练习）下列说法中错误的是（

）A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数【变式11】（2022秋·高一单元测试）已知对数式loga+124−a有意义，则aA．−1,4 B．−1,0C．−4,0∪0,1 【变式12】（2022秋·四川甘孜·高一校考阶段练习）对于a>0，且a≠1，下列说法中，正确的是（

）①若M=N，则logaM=logaN;

③若logaM2=logaN2，则A．①③ B．②④ C．② D．①②④【变式13】（2023·全国·高一假期作业）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型2指数式与对数式的互化】【例2】（2023·高一课时练习）设log45=2m，则4mA．125 B．25 C．15 【变式21】（2023秋·天津河西·高三校考期末）已知a>b>1，若logab+logba=103A．6 B．7 C．8 D．9【变式22】（2023秋·高一课前预习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（

）A．e0=1与ln1=0 B．log39=2与91C．8-13=12与log812=13【变式23】（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【知识点2对数的运算】1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).【题型3对数的运算性质的应用】【例3】（2023春·云南·高二校考阶段练习）下列各式正确的是（

）A．e2⋅e3=e6 B．【变式31】（2023·全国·高一专题练习）设log34=a，log35=b，则A．2a+4b B．4a−2bC．12a+b 【变式32】（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知alog4a=162A．11或−238 B．11或−218 C．12或【变式33】（2023·天津河西·天津市校考模拟预测）已知a=log0.12,b=log50A．2 B．1 C．1 D．2【题型4换底公式的应用】【例4】（2023春·江苏南通·高一校考阶段练习）lg2⋅log8A．3 B．log310 C．13【变式41】（2023·全国·高三专题练习）已知lg2=a,lg3=b，则logA．a−b+22a B．b−2a+22a C．b−a+22a【变式42】（2023·四川泸州·四川省校考二模）已知log189=a，18b=5，则A．−aa+b B．2−aab C．2a【变式43】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知a=log26，3b=36A．12 B．1 C．2 【题型5指、对数方程的求解】【例5】（2023春·北京·高一校考开学考试）方程3log2xA．4log32 B．2log22【变式51】（2022秋·高一单元测试）方程log3x2A．3,3 B．C．3 D．3【变式52】（2021·高一课时练习）方程2logx25−3A．535 B．∅ C．125【变式53】（2023·高一课时练习）若α、β是方程(lgx)2−lgA．−4 B．−2 C．2 D．4【题型6带附加条件的指、对数问题】【例6】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知log189=a，18b=5，求（2）已知log94=a，9b=5，求【变式61】（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知实数a，b满足3a=2，(1)用a表示log3(2)计算9a【变式62】（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）（1）已知10m=2,10（2）已知a12+（3）计算：12【变式63】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）（1）已知alog23=1（2）已知2x+2【知识点3对数的实际应用】1．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型7对数的实际应用】【例7】（2023秋·湖南长沙·高三校考开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（

）（lg2≈0.301，lgA．10117万年 B．10118万年 C．10119万年 【变式71】（2023·福建三明·统考三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对2p−1（p为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在p≤257的素数中，当p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p−1是素数，其它都是合数.除了p=67和p=257两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在2p−1型素数研究中所做的开创性工作，就把2p−1型的素数称为“梅森素数”，记为Mp=2p−1A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【变式72】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原来的14C会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C含量占原来的15，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：（lgA．12302 B．13304 C．23004 D．24034【变式73】（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：