高三数学上学期专题突破练：三角函数（含解析）

高三数学上学期专题突破练：三角函数一．选择题（共8小题）1．（2024秋•天津期末）sin240°＝（）A．−32 B．32 C．12．（2025春•红桥区校级期中）若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2025•广州模拟）已知ω＞0，曲线y＝cosωx与y=cos(ωx−π3)A．33π B．22π C．4．（2025春•湖南期中）已知锐角α满足cosα=1010，则tan2A．−14 B．−12 5．（2025春•金山区校级期中）对于函数y＝f（x），f（x）＝3cos2x的图像（）得到f(x)=3cos(2x−πA．向右平移π6 B．向右平移πC．向右平移π3 D．向右平移6．（2025春•湖南期中）已知ω＞0，函数f(x)=cos(ωx+π4)−3的最小正周期为T，若π＜T＜2π，且f（x）的图象关于直线x=−A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣47．（2024秋•西湖区校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则f（1）+fA．2 B．0 C．2+2 D．8．（2025春•沙市区校级月考）已知函数f（x）＝|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f(2014π3)=−3③f（x）在区间[−π4，π4]上单调递增；④其中正确说法的序号是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025春•凤城市校级期中）下列说法正确的是（）A．若α终边上一点的坐标为（3k，4k）（k≠0），则cosα=3B．若角α为锐角，则2α为钝角 C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3πD．若sinα+cosα=15，且0＜α＜π（多选）10．（2025春•云南月考）关于函数f（x）＝sin2x和g(x)=sin(x+πA．函数f（x）和g（x）有相同的最小值 B．存在直线l，使函数f（x）和g（x）的图象都关于直线l对称 C．存在点P，使函数f（x）和g（x）的图象都关于点P对称 D．函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[0，4π]有6个零点（多选）11．（2025•长沙校级一模）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A．ω＝1 B．函数y=f(x−π4C．y＝f（x）在[0，m]上有4个零点，则13π4D．当x∈(0，π3)时，函数三．填空题（共3小题）12．（2025春•金山区校级期中）已知sin(π2+α)=45，则cos（π13．（2025春•沙市区校级月考）已知α，β均为锐角，且满足3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0，则α+2β值为．14．（2025•海淀区校级模拟）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π2，若P为弧AB上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点，当△POQ的面积大于38时，设∠POQ＝θ，满足上述条件的一个sinθ的取值为四．解答题（共5小题）15．（2025春•内蒙古校级月考）函数f(x)=2sin(2x+φ)(0＜φ＜π2)（1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到；（2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图．16．（2025春•陕西月考）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)图象的相邻对称轴之间的距离为π（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈[−π2，0]，都有2f（x）≥2c2﹣3c17．（2025•肇庆一模）已知向量m→=(3sinωx，sinωx)，n→=(cosωx，sinωx)，ω＞0，函数f(x)=m（1）若x∈[0，5π12]，求f（2）将f（x）的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y＝cosx的图象重合，求实数m18．（2024秋•大兴区期末）如图，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，且P的横坐标为−13，（Ⅰ）求sinα，tanα的值；（Ⅱ）求2sin(π19．（2025春•和平区校级月考）已知f（x）=（1）求f（x）的解析式．（2）若f(x)+2f(x−π2)=（3）若函数g(x)=cos(ωx+5π6)，如图A，B是直线y=32与曲线y＝g（x）的两个交点，若|AB|=

高三数学上学期专题突破练：三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADACADBB二．多选题（共3小题）题号91011答案CDABDABC一．选择题（共8小题）1．（2024秋•天津期末）sin240°＝（）A．−32 B．32 C．1【解答】解：sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°=−3故选：A．2．（2025春•红桥区校级期中）若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设扇形圆心角的弧度为θ，半径为r，由于扇形的弧长为4，面积为16，则θr=412θ故选：D．3．（2025•广州模拟）已知ω＞0，曲线y＝cosωx与y=cos(ωx−π3)A．33π B．22π C．【解答】解：设曲线y＝cosωx与y=cos(ωx−π3)相邻的三个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，由cosωx＝cos（ωx−π3）=12cosωx+32sinωx，可得32sin即sin（ωx−π6）＝0，解得x=kπω+不妨取k＝0、1、2，解得x1=π6ω，x2=7π6ω，可得AB2＝BC2=(πω)根据△ABC为直角三角形，可得AB2+BC2＝AC2，即2(πω)故选：A．4．（2025春•湖南期中）已知锐角α满足cosα=1010，则tan2A．−14 B．−12 【解答】解：根据cosα=1010，α∈（0，π2所以tanα=sinαcosα=3故选：C．5．（2025春•金山区校级期中）对于函数y＝f（x），f（x）＝3cos2x的图像（）得到f(x)=3cos(2x−πA．向右平移π6 B．向右平移πC．向右平移π3 D．向右平移【解答】解：将f（x）＝3cos2x向右平移π6个单位可得函数f（x）＝3cos（2x−故选：A．6．（2025春•湖南期中）已知ω＞0，函数f(x)=cos(ωx+π4)−3的最小正周期为T，若π＜T＜2π，且f（x）的图象关于直线x=−A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：函数f(x)=cos(ωx+π4)−3因为π＜T＜2π，所以π＜2πω＜2π又f（x）的图象关于直线x=−π6对称，所以π＜T＜2解得ω=−6k+3因为1＜ω＜2，取k＝0，可得ω=3所以f（x）＝cos（32x+π4）﹣3，故f（故选：D．7．（2024秋•西湖区校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则f（1）+fA．2 B．0 C．2+2 D．【解答】解：由图象可知，A＝2，T＝8，故ω=2πT=π4，f（x）＝2sin（又f（0）＝0且|φ|＜π2，∴φ＝0，故又根据函数的对称性可知−f(7)=2，f（2）＝﹣f（6）＝2，f（4）＝f所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（8）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2024）＝253×[f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（8）]＝0．故选：B．8．（2025春•沙市区校级月考）已知函数f（x）＝|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f(2014π3)=−3③f（x）在区间[−π4，π4]上单调递增；④其中正确说法的序号是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④【解答】解：分析①：2014π3=671×2π+4π3，周期为2cos4π3=−12因此f(4π3)=分析②：f(πf(5π故f(π4)≠f(分析③：当x∈[−π4，π4令t＝2x，t∈[−π2，π2]，sint在[−π分析④：验证中心对称需f(−π取x=π4，f(−π和为﹣1≠0，不关于(−π2，0)综上，①③正确．故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025春•凤城市校级期中）下列说法正确的是（）A．若α终边上一点的坐标为（3k，4k）（k≠0），则cosα=3B．若角α为锐角，则2α为钝角 C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3πD．若sinα+cosα=15，且0＜α＜π【解答】解：对于A，点（3k，4k）（k≠0）到原点的距离为r＝5|k|，若k＜0，则cosα=3k5|k|=−35，若k对于B，若α=π6是锐角，但2α=π对于C，圆心角为π3的扇形的弧长为π，设扇形的半径为r，则π3r=π，解得r＝3，所以扇形的面积S=对于D，因为sinα+cosα=15，且0＜α＜即(sinα+cosα)2=1所以sinαcosαsin2α+cos因为sinα+cosα=15＞0，sinαcosα=−1225＜0，所以|sinα|＞|cos故选：CD．（多选）10．（2025春•云南月考）关于函数f（x）＝sin2x和g(x)=sin(x+πA．函数f（x）和g（x）有相同的最小值 B．存在直线l，使函数f（x）和g（x）的图象都关于直线l对称 C．存在点P，使函数f（x）和g（x）的图象都关于点P对称 D．函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[0，4π]有6个零点【解答】解：对于A，f（x）与g（x）的最小值为1，故A正确；对于B，函数f（x）＝sin2x的对称轴为2x1=π2+所以x1=π4+kg(x)=sin(x+π4)所以x2=π4+k2π，k2∈Z，可知，x=π4是函数对于C，函数f（x）＝sin2x的对称中心为2x3＝k3π，k3∈Z，所以x3=k3π2g(x)=sin(x+π4)的对称中心为x4+π4=令k3π2不存在k3，k4∈Z，k3−2k对于D，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，即f（x）＝g（x），即sin2x=sin(x+π4)2sin2(x+x∈[0，4π]，则x+π当sin(x+π4)=1时，x+解得x=π4或当sin(x+π4)=−12时，x+π4解得x=11π12或19π12或35π所以函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[0，4π]有6个零点，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（2025•长沙校级一模）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A．ω＝1 B．函数y=f(x−π4C．y＝f（x）在[0，m]上有4个零点，则13π4D．当x∈(0，π3)时，函数【解答】解：对于选项A：因为f(x)=sinωx+acosωx=1+可得f（x）的最小正周期T=2(5π又ω＞0，所以ω＝1，所以f（x）＝sinx+acosx，故A正确；对于选项B：因为当x=π4+5π42=所以f(3π4)=sin可得f(x)=sinx−cosx=2可得y=f(x−π4)=对于选项C：令f(x)=2sin(x−π因为x∈[0，m]，则x−π若y＝f（x）在[0，m]上有4个零点，则3π≤m−π4＜4π，解得13π对于选项D：由于y=f(x)又x∈(0，π可得tanx∈(0，3)，则可得y=f(x)cosx的值域为(−1，3故选：ABC．三．填空题（共3小题）12．（2025春•金山区校级期中）已知sin(π2+α)=45，则cos（π﹣α【解答】解：由cosα=sin(πsin(π2+α)=∴cos（π﹣α）＝﹣cosα=−4故答案为：−413．（2025春•沙市区校级月考）已知α，β均为锐角，且满足3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0，则α+2β值为π2【解答】解：∵3sin2α+2sin2β＝1，∴3sin2α＝1﹣2sin2β＝cos2β，∵3sin2α﹣2sin2β＝0，∴3sinαcosα＝sin2β，两式相除得：sinαcosα∴cosαcos2β﹣sinαsin2β＝cos（α+2β）＝0，∵α，β均为锐角，∴0＜α+2β＜3π∴α+2β=π故答案为：π214．（2025•海淀区校级模拟）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π2，若P为弧AB上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点，当△POQ的面积大于38时，设∠POQ＝θ，满足上述条件的一个sinθ的取值为2【解答】解：由已知，OQ＝cosθ，OP＝1，所以△POQ的面积S=1由△POQ的面积大于38，得sin2θ4＞3因为0＜θ＜π2，所以解得π3＜2θ＜2π3，π6＜θ＜故答案为：22四．解答题（共5小题）15．（2025春•内蒙古校级月考）函数f(x)=2sin(2x+φ)(0＜φ＜π2)（1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到；（2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图．【解答】解：（1）由题意得f(π则2π3+φ=kπ，k∈Z，解得因为0＜φ＜π2，所以k＝1时，所以f(x)=2sin(2x+π当2x+π3=π2+2kπ，k∈Z，即当2x+π3=−π2+2kπ，k∈Z，即（2）列表如下：2x+ππ3π2π3π22π7π3x0π12π37π125π6πy320﹣203函数f（x）在[0，π]上的简图如下，16．（2025春•陕西月考）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)图象的相邻对称轴之间的距离为π（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈[−π2，0]，都有2f（x）≥2c2﹣3c【解答】解：（1）函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，由函数f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为∴T=π=2πω，可得又f(π6)=−12∴解得φ=π∴f（x）的解析式为f(x)=cos(2x+π（2）当x∈[−π2，0]∴f(x)∵对任意x∈[−π2，0]，都有2f（x）≥2c2∴2f(x)min≥2c2−3c，即2c∴实数c的取值范围为[117．（2025•肇庆一模）已知向量m→=(3sinωx，sinωx)，n→=(cosωx，sinωx)，ω＞0，函数f(x)=m（1）若x∈[0，5π12]，求f（2）将f（x）的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y＝cosx的图象重合，求实数m【解答】解：（1）向量m→=(3sinωx，sinωx)，则f(x)==sin(2ωx−π因为f（x）最小正周期为π，所以2ω=2πT=2所以f(x)=sin(2x−π因为x∈[0，5π12]则sin(2x−π所以f(x)=sin(2x−π所以当x∈[0，5π12]时，f（x（2）向下平移12个单位长度得y=sin(2x−向左平移m（