（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习12 指数运算和指数函数（解析版）

第页考点12指数运算和指数函数1、正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．2、有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．3、根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．4、指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．5、利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.6、判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．7、求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．8、解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．9、函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．10、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．11、比较幂值大小的3种类型及处理方法12、简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．13、指数型复合函数的单调性(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．考点一指数与指数幂的运算根式化简求值1．若，，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．【解析】依题意，，，则，所以的值为1.故选：A2．当时，化简__________.【解析】因为，所以故答案为：3．求值_______．【解析】.故答案为：4利用分数指数幂的运算性质化简求值4．计算：______．【解析】．故答案为：．5．计算：___________________．【解析】原式=.故答案为：6．化简____________.【解析】原式＝＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214.7．计算：(1)；(2).【解析】（1）（2）（三）整体代换法求分数指数幂8．已知，求的值；【解析】，，，.9．已知，求的值．【解析】因为，两边平方得即．所以即．又，所以．10．已知，求的值；【解析】∵∴，∴，∴考点二指数函数的概念指数函数的概念11．若是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【解析】因为是指数函数，所以，解得.故选：C．12．已知函数(，且)是指数函数.(1)求k，b的值；(2)求解不等式.【解析】(1)解：因为(，且)是指数函数，所以，，所以，；(2)解：由（1）得(，且)，①当时，在R上单调递增，则由，可得，解得；②当时，在R上单调递减，则由，可得，解得，综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.求指数函数的解析式或函数值13．已知函数是指数函数，且，则________.【解析】设（且），则，得，故，因此，.故答案为：.14．已知函数，则________.【解析】函数，则，所以.故答案为：415．设且，函数，若，则的值为________．【解析】因为，且，则.故答案为：.16．已知函数若，则的值为______．【解析】由题意可知，，解得，故答案为：4．17．已知函数，，若，．(1)求，的解析式；(2)若，试比较m，n的大小．【解析】（1）由，解得：，即，（2）由，得，当时，有，所以，此时；当时，，此时；当时，，此时；18．已知函数（，且）满足.(1)求的值；(2)解不等式.【解析】（1）因为所以，整理得，解得或（舍）（2）由（1）可得，所以，即为，整理可得，因为为单调递增函数，所以，解得，所以不等式的解集为考点三指数函数的定义域和值域指数函数的定义域19．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【解析】由题意得，即，解得．故选：C.20．函数的定义域为______．【解析】根据题意，由，解得且，因此定义域为.故答案为：.21．函数的定义域为______________．【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.22．已知函数的定义域为，则_________．【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.指数函数的值域23．已知集合，，那么（

）A． B． C． D．【解析】由题设，或，，所以.故选：D.24．函数的值域为______．【解析】由于，在上单调递减，所以，所以函数的值域为.故答案为：.25．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如:，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0.故选：B26．定义运算为：如，则函数的值域为（

）A．R B． C． D．【解析】根据题意知表示取和中较小者，即，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴．故选：B．27．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为，且的值域为，所以，解得.故选：C.28．已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.【解析】∵函数的值域为，又当时，，∴，解得.故答案为：.29．已知函数的定义域和值域都是，则（

）A． B． C．1 D．【解析】当时，，方程组无解，当时，，解得故选：A.考点四指数函数的图象及应用（一）判断指数型函数图象的形状30．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【解析】因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C．故选：D．31．函数的大致图像为（

）A． B．C． D．【解析】对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；，，所以，函数为偶函数，排除B选项，因为，排除A选项.故选：D.32．函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．【解析】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；当时恒成立；，故当时，当时；所以，时，时，排除B；故选：A.33．函数在区间上的图象可能是（

）A． B．C． D．【解析】∵，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B选项；∵，∴在上不单调，排除D选项．故选：C34．函数，，则函数的图象大致是（

）A．B．C．D．【解析】因为函数，，所以函数.所以定义域为R.因为，所以为偶函数.排除A;又，排除D;因为在为增函数，在为增函数，所以在为增函数.因为为偶函数，图像关于y轴对称，所以在为减函数.故B错误，C正确.故选：C35．函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．【解析】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.故选：B.36．【多选】已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【解析】令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选：AC（二）根据指数型函数图象判断参数范围37．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（

）A． B．C． D．【解析】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A38．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【解析】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．39．(多选)已知函数的图象如图所示，则（

）A．a>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1【解析】观察图象得，函数是单调递减的，因此，，图象与y轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得，所以，.故选：BD40．若函数的图像在第一、三、四象限内，则（

）A． B．，且C．，且 D．【解析】因为函数的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动，因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故，，故选：B.41．已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．【解析】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当时，令，可得，即，即实数的取值范围，综上可得，实数的取值范围.故答案为：.42．若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（

）A．（-∞，-2） B．（-∞，-2]C．（3，+∞） D．[3，+∞）【解析】作出函数的图象，如图所示.由于将函数向上或下平移后，得到，而函数的图象不经过第二象限，由图可知，至少要向下平移2个单位，则.所以实数的取值范围是.故选：B.43．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．【解析】(1)因为的图象过点，所以解得a＝，b＝－3.(2)由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，因为，即，所以b的取值范围为．(3)由题中图①可知的图象如图，由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.指数型函数过定点问题44．函数（且）的图象恒过定点（

）A． B． C． D．【解析】因为在函数中，当时，恒有,函数的图象恒过定点.故选：B.45．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B46．已知函数（且）过定点P，且P点在幂函数的图象上，则的值为_________．【解析】由知：函数过定点，若，则，即，∴，故.故答案为：9.47．已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【解析】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.故选：D48．已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为函数（，且），令，即时，所以函数恒过定点，又角的终边经过点，所以，故选：A49．已知且，函数的图象恒经过定点，正数、满足，则的最小值为____________.【解析】因为函数的图象恒经过定点，所以，又、为正数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.（四）指数函数图象应用50．（1）若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是______；（2）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是______．【解析】（1）,其图像如图所示，要使曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围为；（2）作出曲线，如图所示，要使曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是，故答案为：；51．【多选】已知函数，实数，满足，则（

）A． B．，，使得C． D．【解析】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．故选：CD．52．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数(1)请在下面坐标系中画出函数的图像．(2)不等式的解集为________．（写出结果即可，不需写过程）(3)若，求的取值范围．【解析】(1)-2-1012013函数的图像如下：(2)由（1）所得图象中画出直线，可得如下图象，由过，故即为上图阴影部分区间，∴不等式解集为.(3)由，则，不妨设．那么，即，故，∴，可得.考点五指数型函数的单调性判断指数函数的单调性53．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【解析】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.而，可知函数为定义域上的减函数，因此，函数为奇函数，且是上的减函数.故选：D.54．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．【解析】对于A选项，设，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，A选项不满足条件；对于B选项，函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；对于C选项，设，该函数的定义域为，，即函数为奇函数，因为函数、均为上的减函数，故函数为减函数，C选项满足条件；对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D选项不满足条件.故选：C.55．已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以由，构造新函数，因此有，所以函数是增函数.A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；C：，显然符合题意；D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，故选：C由指数（型）函数的单调性求参数56．指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是，故选：D57．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为所以，即故答案为：58．【多选】若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．2【解析】因为函数（且）在上为单调函数，所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；故选：ABD59．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（）A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)【解析】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．60．已知指数函数（，且），且，则的取值范围（）A． B． C． D．【解析】由指数函数（，且），且根据指数函数单调性可知所以，故选：A比较指数幂的大小61．若，则a､b､c的大小关系是（

）A． B． C． D．【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A62．若，，，则（

）A． B． C． D．【解析】，因为在上为减函数，且，所以，所以，故选：A63．设函数，，且，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．【解析】，作出的图象如图所示，由图可知，要使且成立，则有且，故必有且，又，即为，∴．故选：D．解简单的指数不等式64．不等式的解集为_____________.【解析】不等式为，即，解得，所以不等式的解集为，故答案为：65．已知，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】解：.因为“”是“”的充分非必要条件，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A66．设函数，若，则t的取值范围是___________.【解析】函数在上单调递增，且，当时取“=”，在上单调递增，，因此，函数在上R单调递增，而，则有，解得，所以t的取值范围是.故答案为：67．设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】时，单调递增，故，当时，由对勾函数得：在单调递增，且，综上：单调递增，因为，所以，即，设，可知单调递增，且，故，故选：D考点六指数函数的最值求已知指数型函数的最值68．已知，则函数的最大值为__________.【解析】设，，则，，故当，即时，函数有最大值为.故答案为：.69．已知函数的定义域是，设，(1)求的定义域；(2)求函数的最大值和最小值.【解析】(1)的定义域是，，因为的定义域是，所以，解得于是的定义域为.(2)设.因为，即，所以当时，即时，取得最小值，值为；当时，即时，取得最大值，值为.根据指数函数的最值求参数70．函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.【解析】∵令，则，则，其对称轴为.该二次函数在上是增函数.①若，由，得，故当，即时，，解得(舍去).②若，由，可得，故当，即时，.∴或(舍去).综上可得或.故答案为：或.71．指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则______;【解析】由在[0,4]上单调，则，所以.故答案为：272．已知函数（且）在上有最大值，那么实数的取值范围为__________【解析】因为函数（且）在上有最大值，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：73．已知的最小值为2，则m的取值范围为______________【解析】当时，，当且仅当，即时取“=”，当时，，，当，即时，取最小值，因的最小值为2，于是得，解得，所以m的取值范围为.故答案为：74．已知函数.(1)求的值域；(2)当时，的最大值为7，求的值.【解析】（1）设，则.因为，所以，所以，所以，即的值域为.（2）函数图象的对称轴为直线.当时，，所以在上单调递增，则，解得或（舍去）所以；当时，，所以在上单调递增，则，解得或（舍去），因为，所以.综上，或.指数函数的最值与不等式的综合问题75．已知函数.(1)求的值域；(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)令，当时，，则可将原函数转化为，当时，；当时，.所以在上的值域为.(2)令，当时，，则关于x的不等式对恒成立，可化为对恒成立，所以，即，又在上为减函数，在上为增函数，在上的最大值为.因此实数m的取值范围为.76．已知函数(1)若是奇函数，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【解析】（1）解：∵的定义域为且是奇函数，

∴，即，解得，此时，则，符合题意．（2）解：∵在上恒成立，∴．令，因为，所以，所以，，因为

在单调递增，所以

，即

，故，解得，所以的取值范围是．77．已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，此时，所以时，是奇函数.所以；（2）由（1）可得，因为，可得，所以，所以，所以，所以函数的值域为；（3）由可得，即，可得对于恒成立，令，则，函数在区间单调递增，所以，所以，所以实数m的取值范围为．考点七指数型函数的奇偶性已和函数奇偶性求值78．是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则的值是（

）A． B． C． D．【解析】由题意，，即，，即，所以，可得，故.故选：A.79．已知函数为奇函数，则______．【解析】因为是奇函数，所以有，故答案为：由函数的奇偶性求解析式80．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．求的解析式；【解析】因为数是定义在R上的偶函数，当，，则当时，，.因此，对任意的，.81．已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足(1)求函数f（x）和g（x）的表达式；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）∵①∴即②.联立①②解得；（2）对恒成立.对恒成立，令，t（x）为减函数，，则.法一：令，当，即时，符合题意.当，即时，，解得.∴当，即时，，解得：.∴综上，a的取值范围为法二：恒成立，令，，任取，且，则，因为，所以，，所以，所以在上单调递减，∴，∴a的取值范围为已和函数奇偶性求参数82．已知函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)求的值域．【解析】(1)因为，，由，可得，，，整理得，于是，．当时，定义域为，是奇函数．当时，定义域为，是奇函数．因此．(2)当时，，定义域为，所以，于是，，因此，故的值域为．当时，，定义域为，所以，且，于是，且，所以，或．因此或，故的值域为．83．已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.(1)求实数a，b的值；(2)求函数在时的值域.【解析】（1）是奇函数，则，即，化简可得所以，解得或.又，所以，即，所以.（2），且，可得的值域为.84．已知函数（）为偶函数，则函数的值域为__________．【解析】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．函数的单调性和奇偶性的综合85．已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)函数是定义域上的奇函数，，即，解得．此时，则，符合题意；(2)因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，则不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即；86．已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】的定义域为，，所以为奇函数，在上递增，由得，∴，，解得.故选：B考点八指数函数的综合问题87．（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【解析】令，则．对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.88．已知指数函数过点，函数.(1)求，的值；(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；(3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.【解析】(1)由题设，，则，所以，.(2)，，定义域关于原点对称.又，故为偶函数；(3)由且，在上单调，所以为单调增区间，而为偶函数，则单调减区间为由可得：，即，解得.89．已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取